第20講     課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.掌握復(fù)數(shù)的三角形式,并能與代數(shù)形式進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化;2. 掌握復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則和運(yùn)算律并能熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式; 復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的應(yīng)用  知識(shí)點(diǎn)01   復(fù)數(shù)的三角形式1.復(fù)數(shù)的輔角：設(shè)復(fù)數(shù)（）對(duì)應(yīng)向量，以x軸的正半軸為始邊，向量所在的射線(起點(diǎn)為O)為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)的輻角，記作Arg，其中適合的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作．說明：（1）不等于零的復(fù)數(shù)Z的輻角有無限多個(gè)值，這些值中的任意兩個(gè)相差2π的整數(shù)倍，即Arg= +arg．（2）當(dāng)a∈R+時(shí)，arga=0，arg（-a）=π，argai=，arg（-ai）=，arg0不一定。【即學(xué)即練1】　設(shè)函數(shù)，那么是（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，．故選：C．   知識(shí)點(diǎn)02  復(fù)數(shù)的三角形式r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)的三角形式，其中，，．定義本身告訴我們復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式可以互化。  【即學(xué)即練2】復(fù)數(shù)的三角形式是（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，則.故選：A    知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算：設(shè)=r(cosθ＋isinθ)，= (cosθ1＋isinθ1)，= (cosθ2＋isinθ2)．則（1）乘法：（向量的旋轉(zhuǎn)與伸縮）（2）除法：（3）乘方：（4）開方：，其幾何意義：復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)表示以原點(diǎn)為中心的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。  【即學(xué)即練2】歐拉公式是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為數(shù)學(xué)上優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式.已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】 ， 故選：B.   反思感悟   考法01   【典例1】設(shè)復(fù)數(shù)z的輻角的主值為，虛部為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)z的輻角的主值為可設(shè)復(fù)數(shù).因?yàn)樘摬繛?/span>，所以，解得：.所以.所以.故選：A   【變式訓(xùn)練】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A.  考法02 輻角主值 【典例2】復(fù)數(shù)的輻角主值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的輻角主值是．故選：D  【變式訓(xùn)練】復(fù)數(shù)的輻角主值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，則，所以，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，滿足要求，所以輻角主值為.故選：A  考法03  復(fù)數(shù)三角形式應(yīng)用【典例3】歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】D【詳解】對(duì)于A，，其虛部為1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D, ，故的共軛復(fù)數(shù)為，D正確，故選：D    【變式訓(xùn)練】若，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】由，所以，，綜上，.故選：A   題組A  基礎(chǔ)過關(guān)練  一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故選：B2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以.故選：A.3．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以，故選：B.4．（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?/span>則故選:A5．已知復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以所以，所以.故選：B6．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的模是（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)為，，所以的共軛復(fù)數(shù)的模是.故選：C7．若，則的實(shí)部為（    ）A． B． C． D．【答案】C根據(jù)實(shí)部定義可得結(jié)果.【詳解】，，，，則的實(shí)部為.故選：C. 二、多選題8．已知非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則【答案】AC【解答】對(duì)A，即，兩邊平方可得，A對(duì)；對(duì)，取，則，當(dāng)，B錯(cuò)；對(duì)，即，兩邊平方可得，故，故，因此存在實(shí)數(shù)，使得，C對(duì)；對(duì)，取，但，D錯(cuò).故選：AC9．下列說法中正確的有（    ）A．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；B．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限；C．在中，若，則為等腰或直角三角形；D．在中，若，則為等腰三角形.【答案】ABD【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，在第四象限，故A正確；，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，在第三象限，故B正確；因?yàn)?/span>，結(jié)合正弦定理可得，因此為等腰三角形，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，即，即，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以為等腰三角形，故D正確，故選：ABD.10．已知復(fù)數(shù)（均為實(shí)數(shù)），下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．的虛部為C．若，則 D．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A; 若，則，但是復(fù)數(shù)不可以比較大小，故錯(cuò)誤，對(duì)于B; ,所以的虛部為，故正確，對(duì)于C; 若，則,故，故，正確，對(duì)于D; 而,進(jìn)而，故，所以正確，故選：BCD 三、填空題11．設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個(gè)虛根，則______．【答案】2【詳解】將代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故答案為：2 四、解答題12．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為．(1)若，求a的值；(2)若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，求a的值．【答案】(1)或(2) 【詳解】（1），解得或；（2），由于z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則，解得.  題組B  能力提升練 一、多選題1．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限 B．為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)的模等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】BC【詳解】由題知，而，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；，則為純虛數(shù)，故B正確；，則的模為，故C正確；，其共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤．故選：BC2．設(shè)復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，下列判斷中正確的是（    ）A． B．C．z是方程的一個(gè)根 D．滿足最小正整數(shù)n為3【答案】ACD【詳解】由題設(shè)，，則，，所以A正確，B錯(cuò)誤；由的根為，故z是該方程的一個(gè)根，C正確；由，則，故最小正整數(shù)n為3時(shí)，，正確.故選：ACD3．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，并給出公式（為虛數(shù)單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.據(jù)此公式，下列說法正確的是（    ）A．表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限B．C．D．【答案】BCD【詳解】解：對(duì)于A：，因?yàn)?/span>，所以，，所以表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：由，，所以，所以，選項(xiàng)D正確；故選：BCD4．以下不是復(fù)數(shù)的三角形式是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】解：，所以B正確，而，故C正確.故選：AD5．如果非零復(fù)數(shù)z有一個(gè)輻角為，那么下列對(duì)z判斷錯(cuò)誤的是（    ）A．輻角唯一 B．輻角主值唯一C．輻角主值為 D．輻角主值為【答案】ACD【詳解】輻角主值的范圍是，，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一的輻角主值，非0復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，則該復(fù)數(shù)有唯一的一個(gè)輻角主值．故選：ACD．6．歐拉公式（其中i為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．復(fù)數(shù)的值為 B．為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)的模長等于 D．【答案】CD【詳解】由于，所以A錯(cuò)誤；為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的模長為，故C正確；，D正確．故選：CD7．（，i是虛數(shù)單位，e是自然對(duì)數(shù)的底）稱為歐拉公式，被稱為世界上最完美的公式，在復(fù)分析領(lǐng)域內(nèi)占重要地位，它將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)．根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（    ）A．對(duì)任意的，B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，而，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，===，正確.故選：ABD8．下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的運(yùn)算結(jié)論，正確的有（      ）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】記，則則，A正確；因?yàn)?/span>，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以又，故C正確；因?yàn)?/span>所以，D正確.故選：ACD9．任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（    ）A． B．當(dāng)，時(shí)，C．當(dāng)，時(shí)， D．當(dāng)，時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】AC【詳解】對(duì)于復(fù)數(shù)有，，而，所以選項(xiàng)A正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，時(shí)， 此時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；時(shí)，根據(jù)棣莫弗定理，，所以選項(xiàng)C正確；時(shí)，，n為偶數(shù)時(shí)，設(shè), ，所以k為奇數(shù)時(shí)，為純虛數(shù)；k為偶數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論中正確的是（    ）A．B．C．復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根D．復(fù)數(shù)的輻角主值為【答案】ABC【詳解】，，故A正確；，故B正確；，，故C正確；，復(fù)數(shù)的輻角主值為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC   題組C  培優(yōu)拔尖練  一、單選題1．復(fù)數(shù)的值是（    ）A． B．16 C． D．【答案】A【詳解】.故選：A2．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，令對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為的輻角主值為，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】復(fù)數(shù)，因按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，依題意，，因此復(fù)數(shù)的輻角主值，所以.故選：C 二、填空題3．若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【詳解】因?yàn)?/span>，所以設(shè)，故，其中，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.4．已知復(fù)數(shù)滿足．若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則______．【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，且復(fù)數(shù)在第一象限，又復(fù)數(shù)滿足，所以，因?yàn)?/span>是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則有，也即，所以，則，故答案為：. 三、解答題5．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，它的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量．(1)若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)虛根，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，并用表示；(2)若，且點(diǎn)滿足，求的重心所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3)若，可知在變化時(shí)會(huì)對(duì)應(yīng)到不同的復(fù)數(shù)，若取不同的，，使得其所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足，求證：所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以構(gòu)成矩形．【答案】(1);;(2)；(3)證明見解析. 【詳解】（1）復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)虛根，，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍；解方程得，不妨令復(fù)數(shù)，另一根為，故.（2）由可知，故，設(shè)，則由得，即，解得，故，故的重心為，故.（3）由于，則，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓上，又，則且，不妨取，，則為單位圓的兩直徑，則四邊形的對(duì)角線互相平分且對(duì)角線相等，則四邊形為矩形，即所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以構(gòu)成矩形．6．已知.(1)設(shè)，求的三角形式；(2)如果，求實(shí)數(shù)a，b的值.【答案】(1)(2) 【詳解】（1）已知，，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)輻角為，故，又由對(duì)應(yīng)的，，得到，故的三角形式為；（2），，，解得.7．求滿足方程的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z．【答案】【詳解】設(shè)，則，即，表示以為圓心，為半徑的圓.如圖所示：當(dāng)與圓相切于點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角主值最小.易知，，，在直角中，，.同理可得，故復(fù)數(shù)的輻角主值為，，.8．設(shè)O為復(fù)平面的原點(diǎn)，和為復(fù)平面內(nèi)的兩動(dòng)點(diǎn)，并且滿足：（1）和所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值和（）；（2）的面積為定值S.求的重心Z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值．【答案】【詳解】解：設(shè)，和對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，和，其中，，由于是△的重心，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，則有，于是，又知△的面積為定值，因?yàn)?/span>，所以則，所以，即，由此，故當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．9．已知（且）．(1)證明：；(2)設(shè)z的輻角為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2) 【詳解】（1）證明：由，得．因?yàn)?/span>，，所以．（2）解：因?yàn)?/span>．可知，所以，而，所以，，同理，，由（1）知，即，所以的實(shí)部為，而的輻角為時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以．10．已知復(fù)數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【詳解】證明：因?yàn)?/span>，則，所以， ，所以，，因此，.

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