絕密★啟用前3.4復(fù)數(shù)的三角表示同步練習(xí)湘教版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫(xiě)在試卷上均無(wú)效，不予記分。 第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.  B.  C.  D. 已知復(fù)數(shù)滿足，且有，求    A.  B.  C.  D. 都不對(duì)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則    A.  B.
C.  D. 棣莫弗公式為虛數(shù)單位是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是   A.  B.  C.  D. 已知復(fù)數(shù)滿足，且有，求    A.  B.  C.  D. 都不對(duì)任何一個(gè)復(fù)數(shù)其中，，為虛數(shù)單位都可以表示成其中，的形式，通常稱(chēng)之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱(chēng)這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的   A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是    A.  B.  C.  D. 設(shè)，，則的值等于      A.  B.
C.  D. 在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，將向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為  A.  B.  C.  D. 歐拉恒等式：被數(shù)學(xué)家們驚嘆為“上帝創(chuàng)造的等式”該等式將數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、圓周率、虛數(shù)單位、自然數(shù)和完美地結(jié)合在一起，它是由歐拉公式：中，令得到的根據(jù)歐拉公式，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限第II卷（非選擇題）二、多空題（本大題共5小題，共25.0分）將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為          ，該復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)后所得到的復(fù)數(shù)為          ．已知，，則          ，          ．著名數(shù)學(xué)家棣莫佛出生于法國(guó)香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文．年棣莫佛提出了公式：，其中，根據(jù)這個(gè)公式，則          ；若，則          ．年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)出以下公式 ，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)此公式，則          ；          ．歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)此公式，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第          象限，的最大值為          ．三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）化簡(jiǎn)：；．






 計(jì)算下列各式，并作出幾何解釋?zhuān)?/span>；；；．






 計(jì)算：；；；．






 計(jì)算






 在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，求與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．






 計(jì)算：；；；．







答案和解析1.【答案】
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得到，化簡(jiǎn)后即為所求結(jié)果．【解答】解：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：．
故選B．  2.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，熟練掌握復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意可設(shè)為虛數(shù)單位；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得，利用三角函數(shù)同角關(guān)系，即可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?/span>，設(shè)為虛數(shù)單位；由棣莫佛公式，可得

，所以，所以，即因?yàn)?/span>，所以；化簡(jiǎn)可得，即，所以，所以；所以．故選：．  3.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了復(fù)數(shù)乘方公式，屬基礎(chǔ)題．
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可．
【解答】
解：根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，得

．
故選：．  4.【答案】
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的新定義，即三角形式以及運(yùn)算，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．
由復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算得，化簡(jiǎn)為，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，得虛部．【解答】解：由得，．
所以復(fù)數(shù)的虛部為．
故選C．  5.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的三角形式，屬于中檔題．
根據(jù)題意可設(shè)為虛數(shù)單位；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得，利用三角函數(shù)同角關(guān)系，即可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?/span>，設(shè)為虛數(shù)單位；由棣莫佛公式，可得

，所以，所以，即因?yàn)?/span>，所以；化簡(jiǎn)可得，即，所以，所以；所以．故選：．  6.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查充要條件的判斷、復(fù)數(shù)的概念、三角形式的運(yùn)算，屬于中檔題．
根據(jù)由棣莫弗定理復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)，結(jié)合純虛數(shù)的概念判斷即可．
【解答】解：由棣莫弗定理復(fù)數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，或或，復(fù)數(shù)不一定為純虛數(shù)，
若為純虛數(shù)，
則，且，
則，所以，，為偶數(shù)，
所以“為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要但不充分條件．
故選B．  7.【答案】
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．
由已知求得，得到在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：，


在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限．
故選B．  8.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義，考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角形式，屬于中檔題．
根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)除法的三角形式的運(yùn)算法則，即可求解．
【解答】
解：因?yàn)閺?fù)數(shù)的三角形式是，
所以根據(jù)題意可得：向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是．
故選：．  9.【答案】
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的三角表示，以及兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題目．
兩復(fù)數(shù)相乘，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩角和與差的三角函數(shù)問(wèn)題，利用公式計(jì)算即可．【解答】解：由題意

，
故選D．  10.【答案】
 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ)．
根據(jù)題意可知旋轉(zhuǎn)所得的向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：由已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
所以所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是．
故選A．  11.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查復(fù)數(shù)的三角形式及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
先根據(jù)題意化簡(jiǎn)，找到其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的正負(fù)即可求解．
【解答】
解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
因?yàn)?/span>，所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限   ，
故選B．  12.【答案】
 【解析】解：復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．
故選：．
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．
本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查復(fù)數(shù)乘法、除法的三角形式，屬于中檔題．
根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法的三角形式的運(yùn)算法則，即可求解．
【解答】
解：
由題意知
，
即將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
 因?yàn)?/span>，所以
故答案為：，  14.【答案】    
 【解析】【分析】
本題主要考查了復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算的三角表示，屬于基礎(chǔ)題．
由題意得出，利用復(fù)數(shù)的乘法和除法．
【解答】
解：因?yàn)?/span>，，所以，
故答案為；  15.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查棣莫佛定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
根據(jù)棣莫佛定理得，求解即可．
【解答】
解：依題意，，
，
所以，
故答案為．  16.【答案】
 【解析】解：，
，
因此，．
故答案為：，．
根據(jù)復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系可計(jì)算得出的值，由已知條件得出，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系可求得的值．
本題考查指數(shù)冪和三角函數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 17.【答案】三
 【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
由，化簡(jiǎn)即可得出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，由在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于單位圓，再結(jié)合圓的知識(shí)即可求動(dòng)點(diǎn)與的距離的最大值得到答案． 【解答】解：，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．
在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于單位圓上，
表示單位圓上的動(dòng)點(diǎn)與的距離，
易知當(dāng)在處時(shí)，有最大值，
故答案為三．  18.【答案】解：
；
．
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘除法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
由復(fù)數(shù)的三角形式的乘除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
由復(fù)數(shù)的三角形式的除法法則運(yùn)算．
 19.【答案】解：
，
幾何解釋?zhuān)?/span>對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；




；
幾何解釋?zhuān)喊?/span>對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
 

，
幾何解釋?zhuān)喊?/span>對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

．
幾何解釋?zhuān)喊?/span>對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．
由復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算和幾何意義得答案；
由復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算和幾何意義得答案；
由復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算和幾何意義得答案；
由復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算和幾何意義得答案．
 20.【答案】解：









．
 【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的三角表示及其乘除，屬基礎(chǔ)題．
利用復(fù)數(shù)的三角表示及其乘除運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算即可；
利用復(fù)數(shù)的三角表示及其乘除運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算即可；
利用復(fù)數(shù)的三角表示及其乘除運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算即可；
利用復(fù)數(shù)的三角表示及其乘除運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算即可；
 21.【答案】解：

．
原式
．
原式
．

原式
．
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題．
利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示運(yùn)算；
利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示運(yùn)算；
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示運(yùn)算；
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示運(yùn)算．
 22.【答案】解：所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：
 

 
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義，考查復(fù)數(shù)乘法的三角形式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法的三角形式的運(yùn)算法則，即可求解．
 23.【答案】解：原式
  
；


；原式原式．
 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的三角表示及乘除運(yùn)算法則，屬于中檔題．
運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示及乘除運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可；
運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示及乘除運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可；
運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示及乘除運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可；
運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示及乘除運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可．
 

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3.4 復(fù)數(shù)的三角表示

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