高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用第1課時教案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用第1課時教案，共9頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第1課時 函數(shù)模型的應(yīng)用

一、教學(xué)目標(biāo)
1.能將具體的實際問題化歸為函數(shù)問題，并能通過分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解其中的數(shù)學(xué)關(guān)系；
2.在已知函數(shù)模型時，能夠確定參數(shù)，計算求解，驗證結(jié)果；
3.發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點
重點：利用已知函數(shù)模型解決實際問題，初步體會數(shù)學(xué)建模的基本步驟；
難點：選擇合適的函數(shù)模型分析和解決實際問題.

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
情境：某企業(yè)由于引進(jìn)新的技術(shù)，產(chǎn)值逐年增長，如果從2023年起，每年的產(chǎn)值比上一年平均增加20%，那么至少經(jīng)過多少年產(chǎn)值能翻兩番？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
師生活動：教師給出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，教師評價.
思考1：問題中的關(guān)鍵詞有哪些？它們的含義分別是什么？
答：年平均增長率、翻兩番.
前者指的是每年在上一年的基礎(chǔ)上增長的比例；后者指的是翻了4倍.
思考2：結(jié)合所學(xué)知識，你能給出完整的解答過程嗎？
答：設(shè)經(jīng)過x年可以翻兩番，依題意得：(1+20%)x=4，
即65x=4，
兩邊同時取常用對數(shù)得xlg65=lg4=2lg2，
即x=2lg2lg65
=2lg2lg6?lg5
=2lg2lg2+lg3?lg5
=2lg2lg2+lg3?1+lg2
=2lg22lg2+lg3?1≈7.61，
所以至少要經(jīng)過8年產(chǎn)值翻兩番．
設(shè)計意圖：學(xué)生對單獨的函數(shù)問題比較熟悉，但是在利用函數(shù)解決生活中的實際問題時，往往因為對某些關(guān)鍵詞理解困難而導(dǎo)致錯誤，所以在課堂或練習(xí)中教師應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生去理解，熟知這些詞匯.此外，以問題的形式引入，讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為接下來的學(xué)習(xí)做鋪墊.
（二）探究新知
任務(wù)一：利用已知函數(shù)模型解決實際問題
探究1：人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列政策提供依據(jù)．早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率．
(1)根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)大約分別為55196萬和67207萬．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型．
(2)利用(1)中的模型計算1951~1958年各年末的人口總數(shù).查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布
的我國在1951~1958年間各年末的實際人口總數(shù)，檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符.
(3)以(1)中的模型作預(yù)測，大約在什么時候我國人口總數(shù)達(dá)到13億？
師生活動：教師出示例題并提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、分析數(shù)據(jù)，學(xué)生思考、討論、交流后回答，教師點評并總結(jié).
思考1：要建立這個模型，需要確定哪些參數(shù)的值？
答：需要確定y0和r.
思考2：我國自1950年起的人口增長模型中人口數(shù)初始量y0是多少？
答：依題意1950年末的人口總數(shù)是55196萬，即y0=55196.
思考3：如果將1950年記為第一年，那么1959年是第幾年？從1950年到1959年經(jīng)過了幾年？
答：1959年是第十年；從1950年到1959年經(jīng)過了9年.
思考4：如何計算1950～1959年期間我國人口的平均增長率r？
答：根據(jù)已知得y0=55196，且當(dāng)t=9時，y=67207.利用人口增長模型y=y0ert可以求出在1950～1959年期間我國人口的年平均增長率r.
師生活動：教師組織學(xué)生小組合作，利用多種方法計算出結(jié)果，集體交流、總結(jié)后教師出示規(guī)范解答：
解：（1）由題意知y0=55196，設(shè)1950～1959年期間我國人口的年平均增長率為r，根據(jù)馬爾薩斯人口增長模型，有67207=55196e9r，由計算工具得r≈0.021876.
因此我國在1950～1959年期間的人口增長模型為y=55196e0.021876t，t∈0,9
思考5：如何檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否吻合？
答：①利用確定的人口增長模型計算求得我國1950～1959年各年末人口總數(shù)，再與國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的我國在1950～1959年各年末的實際人口總數(shù)相比較，即可檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符.
②畫出函數(shù)y=55196e0.021876t，t∈0,9的圖象，并根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的1950～1959年各年末的我國人口總數(shù)實際數(shù)據(jù)畫出散點圖，通過觀察圖象即可檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符.
思考6：所得模型與1950～1959年的實際人口數(shù)據(jù)是否為吻合？
答：首先利用人口增長模型y=55196e0.021876t，t∈0,9求得我國在1950～1959年各年末人口總數(shù)，再查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的我國在1950～1959年各年末的實際人口總數(shù)，列出表格，比較可知所得模型與實際人口數(shù)據(jù)基本吻合.
師生活動：教師鼓勵學(xué)生動手檢驗，學(xué)生完成后，教師出示第（2）題的規(guī)范解答：
解：（2）分別取t=1,2，?，8，由y=55196e0.021876t可得我國在1951~1958年各年末的人口總數(shù)；查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站，得到我國1951~1958年各年末的實際人口總數(shù)，如下表所示：
根據(jù)1950～1959年我國人口總數(shù)的實際數(shù)據(jù)畫出散點圖，并畫出函數(shù)y=55196e0.021876t，t∈0,9的圖象，如圖.
由上表和上圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合.
思考7：如果利用所得模型計算，大約在哪一年我國人口達(dá)到13億？
答：將y=130000帶入函數(shù)模型，由計算工具算出結(jié)果即可.
師生活動：教師出示第（3）題規(guī)范解答：
解：（3）將y=130000代入y=55196e0.021876t，由計算工具得t≈39.16.
所以，如果人口按照（1）中的模型增長，那么大約在1950年后的第40年（即1990年），我國的人口就已達(dá)到13億.
思考8：事實上，我國1990年人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億.對由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實際情況不符，你有何看法？
答：因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國從20世紀(jì)70年代逐步實施了計劃生育政策.因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實際不符的情況.
總結(jié)：在人口紅利出現(xiàn)拐點、老齡化加速的背景下，我國逐步放開了二胎政策，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)關(guān)注國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中有關(guān)人口的數(shù)據(jù)，探究我國人口變化的規(guī)律.數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.本例是利用已知得函數(shù)模型解決實際問題.在用已知得函數(shù)模型刻畫實際問題時，應(yīng)注意模型的適用條件.
設(shè)計意圖：通過對具體問題的分析建模、解模過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).
任務(wù)2：構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題
探究2：2010年，考古學(xué)家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的?
師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題.學(xué)生思考并解答問題.
思考1：什么是“碳14年代學(xué)檢測”？
答：碳14年代學(xué)檢測是根據(jù)碳14的衰變程度來計算出樣品的大概年代的一種檢測方法，這一原理通常用來測得古生物化石的年代.
思考2：什么是“半衰期”？
答：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14的初始量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.
思考3：應(yīng)選擇什么函數(shù)模型比較合適？其中自變量與因變量分別是什么？
答：因為死亡生物機(jī)體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)y=kaxk∈R,k≠0；a>0,a≠1建立數(shù)學(xué)模型.其中衰減年數(shù)為x，殘余量為y.
師生活動：通過上述分析，初步建立了函數(shù)模型，教師組織學(xué)生類比探究1繼續(xù)按照問題的提示，小組合作完成解答，完成后集體點評、總結(jié)，并給出規(guī)范解答過程.
思考（4）：如果利用這種對應(yīng)關(guān)系由碳14的殘留量推斷此水壩建成的大概年代，需要確定哪個參數(shù)？
如何確定這個參數(shù)？
確定這個參數(shù)后，如何進(jìn)一步確定函數(shù)關(guān)系？
利用確定的函數(shù)關(guān)系如何推斷水壩大概是什么年代建成的？
解：設(shè)樣本中碳14的初始量為k，衰減率為p(0