第2課時 函數(shù)模型的應(yīng)用

一、教學(xué)目標
1.能將具體問題化歸成函數(shù)問題，并能通過分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的變化差異；
2.理解“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實意義；
3.能正確選擇合適的函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點
重點：選擇合適的函數(shù)模型分析和解決實際問題，體會數(shù)學(xué)建模的一般過程.
難點：理解“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實意義.

三、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入
師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考、交流，教師根據(jù)學(xué)生的回答情況評價補充.
思考1：我們學(xué)過哪些函數(shù)模型？
答：(1)y=kx+bk,b為常數(shù)，k≠0；
(2)y=ax2+bx+ca,b,c為常數(shù)，a≠0；
(3)y=bax+ca,b,c為常數(shù)，b≠0,a>0且a≠1；
(4)y=mlgax+nm,a,n為常數(shù)，m≠0,a>0且a≠1；
(5)y=axn+ba,b為常數(shù)，a≠0.
思考2：根據(jù)已學(xué)的不同函數(shù)增長的差異相關(guān)內(nèi)容，指出“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”的含義分別是什么？
答：直線上升：增長速度不變，是一個固定的值；
對數(shù)增長：增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣；
指數(shù)爆炸：增長速度越來越快，以相同倍數(shù)增加，圖象越來越陡，最終就像與x軸垂直一樣.
思考3：構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的主要步驟是什么？
答：構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的主要步驟是
(1)理解題意；
(2)提煉信息；
(3)構(gòu)建函數(shù)模型；
(4)求解模型；
(5)檢驗?zāi)Ｐ停?br>(6)應(yīng)用模型.
設(shè)計意圖：通過對函數(shù)模型等相關(guān)內(nèi)容的回顧，引導(dǎo)學(xué)生感受不同函數(shù)模型所描述的客觀事實，為進一步理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義，并依此選擇合適的函數(shù)模型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律作鋪墊.
（二）探究新知
任務(wù)一：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題
情境1：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元;
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元;
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問，你會選擇哪種投資方案？
師生活動：教師依次提出問題，逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系，寫出三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長情況，作出需要分投資天數(shù)進行選擇的初步判斷.
探究1：請初步選擇一種你認為合適的投資方案.
師生活動：學(xué)生組內(nèi)討論、交流，教師選擇有代表性的解答展示，暫不給予點評.
探究2：你能根據(jù)問題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及相互關(guān)系，并建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型嗎？
思考1：你能分別寫出三種方案前30天的回報嗎？
答：三種方案前30天的回報如下表所示：
思考2：你發(fā)現(xiàn)這三種方案的日增加量有什么不同？
答：前兩種方案的增加量都是常數(shù)，第三種方案的日增加量成倍數(shù)增加.
思考3：你能用函數(shù)關(guān)系式描述三種方案中第x天所得回報y嗎？
答：從表格中y的增加量可以看出，方案一是常數(shù)函數(shù)模型；方案二是一次函數(shù)模型；方案三是以指數(shù)函數(shù)為核心的模型.
方案一：y=40x∈N?；
方案二、方案三可利用待定系數(shù)法依次求得為：
方案二：y=10xx∈N?；
方案三：y=0.4×2x?1x∈N?.
思考4：還可以用什么方式進一步研究這三個函數(shù)模型的變化趨勢？
答：利用三個函數(shù)模型的圖象，如下圖所示.
思考5：你可以從圖象上獲取什么信息？
答：在第1~3天，方案一的回報最多；第4天，方案一與方案二回報一樣多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；從第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.
思考6：你能據(jù)此判斷投資1~3天，使用方案一；投資5~8天，使用方案二；投資9天以上，使用方案三嗎？
答：不能.投資n天，應(yīng)該看前n天累計的回報數(shù)哪個方案最多作出選擇.
累計的回報數(shù)列表如下：
從表格可以看出，投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇方案三.
師生活動：回到探究1作出的方案選擇，學(xué)生反思，教師評價.
設(shè)計意圖：通過設(shè)置分層次、有針對性的問題，逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并根據(jù)不同函數(shù)模型的增長差異選擇合適的函數(shù)模型，借助計算結(jié)果與圖象直觀理解“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”的含義.引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生作出正確選擇.
任務(wù)2：選擇合適的函數(shù)模型解決實際問題
情境2：某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=lg7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？
師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題；學(xué)生思考并解答問題.
探索：根據(jù)題目條件，你認為應(yīng)該選擇哪個獎勵模型才符合公司的要求？
思考1：x的取值有限定范圍嗎？
答：由于個人利潤不會超過公司總利潤，所以x≤1000，即x∈10,1000.
思考2：要想符合公司的要求，應(yīng)該滿足哪些條件？這對選擇模型有什么幫助？
答：(1)獎金總數(shù)不超過5萬.
從形的角度：畫出y=5的圖象，所選函數(shù)模型的圖象應(yīng)在它的下方；
從數(shù)的角度：若存在x帶入解析式中，使得y>5，則排除.
(2)獎金不超過利潤的25%，即y≤25%x.
思考3：你能作出函數(shù)的圖象，并通過觀察作出判斷并給出本題的解答過程嗎？
答：不妨先檢驗條件1是否滿足.
在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=5，y=0.25x，y=lg7x+1，y=1.002x的圖象，如圖所示．
觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的圖象都有一部分在y=5的上方，只有模型y=lg7x+1的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型y=lg7x+1進行獎勵才能符合公司要求．
下面通過計算確認上述判斷：
首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元．
對于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上是單調(diào)遞增的，
當(dāng)x∈(20,1000]時，y>5，因此該模型不符合要求．
對于模型y=1.002x，由參考數(shù)據(jù)可知，1.002806≈5，
由于y=1.002x是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈(806,1000]時，y>5，因此也不符合題意．
對于模型y=lg7x+1，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，
且當(dāng)x=1000時，y=lg71000+1≈4.550)
【答案】C
解：由圖表可知：y隨x的增大而增大，且增長越來越快，
對于A，y隨x的增大而減小，故排除A；
對于B，y隨x的增大而增大，但增長的越來越慢，故排除B；
對于D，y隨x的增大而增大，但增長速度不變，故排除D；
對于C，y隨x的增大而增大，且增長越來越快，故C符合題意．
故選：C．
3.“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內(nèi)最大限度地激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個經(jīng)過時間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分數(shù)f(t)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)=kP1+lg(t+1)，k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡郑襢(60)=16P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為 .(保留到個位)(lg 61≈1.79)
【答案】462
解：因為f(t)= kP1+lg(t+1)，
所以f(60)= kP1+lg(60+1)，所以 kP1+lg61= 16P.
所以 k=1+lg616≈2.796=0.465，
所以f(100)= 0.4651+lg(100+1) ×400≈62．
所以估計該生高考中可能取得的分數(shù)在462分左右．
故答案為462．
4.學(xué)校為了鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當(dāng)天鍛煉時間x(單位：分鐘，0≤x≤60)的函數(shù)關(guān)系式，
要求如下：
(i)函數(shù)的圖象接近圖示;
(ii)每天鍛煉時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分;
(iii)每天鍛煉時間為9分鐘時，當(dāng)天得分為6分;
(iiii)每天得分最多不超過12分．
現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：
①y=k x+b(k>0); ②y=1.01xk+b(k>0); ③y=3lg3(kx+3)+m(k>0)．
(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)條件，從中選擇一個最合適的函數(shù)模型并求出解析式;
(2)若學(xué)校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘?(參考值：lg3163≈4.63)
【答案】解：(1)對于模型 ①:由題意，有b=0 9k+b=6，得b=0k=2，
∴y=2 x(0≤x≤60)，
當(dāng)x=60時，y=2 60>2 49=14>12，不合題意；
對于模型 ②: y=k·1.01x+b(k>0)的增長越來越快，圖像越來越“陡峭”，不合題意；
對于模型 ③:由題意，有3lg33+m=03lg3(9k+3)+m=6得m=?3k=83，
∴y=3lg3(83x+3)?3(0≤x≤60)，該函數(shù)圖像增長符合題設(shè)圖像要求．
當(dāng)0≤x≤60時，y=3lg3(83x+3)?3≤3lg3(83×60+3)?3，
=3lg3163?3≈3×4.63?3

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