重慶市第八中學(xué)2023屆高考適應(yīng)性月考卷（三）數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回，滿分150分，考試用時120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 集合滿足，則集合中的元素個數(shù)為（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的結(jié)果可得，再根據(jù)并集的結(jié)果可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，即集合中的元素個數(shù)為5.故選：D.2. 復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A3. 圓關(guān)于直線對稱后的圓的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題可得圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，半徑不變，進(jìn)而即得.【詳解】圓的圓心 半徑為 ，由得，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 ，解得,所以對稱圓的方程為.故選：A.4. 如圖所示，平行四邊形對角線相交于點(diǎn)，若，則等于（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理求出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>的對角線相交于點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>，所以.所以.故選：C5. 已知，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，即的最小值為.故選：B.6. 法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點(diǎn)，若面積的最大值為34，則橢圓的長軸長為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解.【詳解】橢圓的蒙日圓的半徑為.因?yàn)?/span>，所以為蒙日圓的直徑，所以，所以.因?yàn)?/span>，當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為：.由面積的最大值為34，得，得，故橢圓的長軸長為.故選：C7. 已知數(shù)列滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先變形遞推公式為，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再利用累乘法求數(shù)列的通項公式，可得答案.【詳解】∵，，，∴數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，∴，當(dāng)時，，∵n＝1時，，∴，， 故選：D.8. 函數(shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，對，均有，則（    ）A. 575 B. 598 C. 621 D. 624【答案】C【解析】【分析】由題知的圖象關(guān)于直線對稱，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，進(jìn)而得、、，從而得到，結(jié)合的值，再解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，即，所以，的圖象關(guān)于直線對稱，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.因?yàn)閷τ?/span>，均有，所以，因?yàn)?/span>關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)?/span>關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，，又，解得，所以.故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9. 已知函數(shù)，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（    ）A. 將該函數(shù)向左平移個單位得到一個奇函數(shù)B. 在上單調(diào)遞增C. 在上只有一個極值點(diǎn)D. 曲線關(guān)于直線對稱【答案】BC【解析】【分析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱可得，從而得到，根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)律可判斷A；根據(jù)的范圍得到，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；求出的單調(diào)區(qū)間可判斷C，求出代入可判斷D.【詳解】因函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱， 所以，，所以，而，所以，，對于A，將該函數(shù)向左平移個單位得到，因?yàn)?/span>，，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B， 因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C， 由得的單調(diào)遞增區(qū)間為，由得的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有一個極值點(diǎn)，故C正確；對于D， 曲線，時，故D錯誤.故選：BC.10. 等差數(shù)列的前項和為，若.則下列結(jié)論正確的有（    ）A. B. C. 數(shù)列是遞減數(shù)列D. 使的的最大值為15【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的定義求出，，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷ABC，再由數(shù)列的求和公式判斷D.【詳解】由可知，，，，即，由等差數(shù)列性質(zhì)知，故A正確；由，所以，故B正確；又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故C正確；因?yàn)?/span>，故D錯誤.故選： ABC11. 已知點(diǎn)為圓為圓心）上的動點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A. 若直線平分圓的周長，則B. 點(diǎn)到直線的最大距離為C. 若圓上至少有三個點(diǎn)到直線的距離為，則D. 若，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時，則直線的方程為【答案】ABD【解析】【分析】利用直線過圓心求出可判斷A；求出點(diǎn)到直線的距離為，令，可得，利用有解可判斷C；轉(zhuǎn)化為，解不等式可判斷C；求出直線，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，根據(jù)≌可得，由，轉(zhuǎn)化為所以最小即四邊形的面積最小，即最小，利用，即求最小，此時，因?yàn)?/span>,可得設(shè)，由點(diǎn)在圓上和求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】，半徑為，則對于A，若直線平分圓的周長，則，所則，故A正確；對于B， 點(diǎn)到直線的距離為，令，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，有解可得，解得，所以，綜上所述，點(diǎn)到直線的最大距離為，故C正確；對于C，因?yàn)閳A的半徑為1，若圓上至少有三個點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，故C錯誤；對于D， 若，直線，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，，，所以≌，所以，即，所以，所以當(dāng)最小即四邊形的面積最小，即最小，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)最小時最小，此時，，，代入直線點(diǎn)斜式方程可得直線CQ方程為，由聯(lián)立解得，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，設(shè)，則①，②，由①②解得，或，故或，由、可得直線的方程為，即；由、可得直線的方程為，即；故D正確.故選：ABD.12. 已知點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若的最小值為1，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 拋物線的方程為B. 的最小值為C. 點(diǎn)在拋物線上，且滿足，則D. 過作兩條直線分別交拋物線（?于點(diǎn)）于兩點(diǎn)，若點(diǎn)到距離均為，則直線的方程為【答案】ACD【解析】【分析】對于A：由焦半徑公式求出,即可求出C的方程；對于B：設(shè)，表示出，利用基本不等式求出的最小值為；對于C：利用幾何法求出直線PQ的斜率，得到直線PQ的方程，與拋物線聯(lián)立后，利用“設(shè)而不求法”求出；對于D：設(shè)，證明出、滿足方程，即可判斷.【詳解】對于A：設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故,故,故C的方程為,故A正確；對于B：由C的方程為可得：.設(shè).由拋物線定義可得：.而，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.）所以的最小值為.故B錯誤；于C：不妨設(shè)PQ的斜率為正，如圖示：分別過P、Q作PC,QB垂直準(zhǔn)線于C、B, 過Q作于D.由拋物線定義可得：.因?yàn)?/span>，不妨設(shè)，則.所以在直角三角形中，.由勾股定理得：.所以直線PQ斜率為，所以直線PQ的方程為.與拋物線聯(lián)立，消去x得：，即.由焦點(diǎn)弦的弦長公式可得：.故C正確；對于D：設(shè)，則直線于是，整理得：.又，故有，即,故滿足方程.同理可得：也滿足方程,所以直線MN的方程為.故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】解析幾何簡化運(yùn)算的常見方法：（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運(yùn)算；（2）坐標(biāo)化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；（3）巧用定義，簡化運(yùn)算.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13. 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，令可求得，然后可得.【詳解】因?yàn)?/span>所以，解得所以.故答案為：14. 重慶八中某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率是__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布特點(diǎn)先求出，再由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可求解.【詳解】因?qū)W生成績符合正態(tài)分布，故，故任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率為.故答案為：15. 已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時針后得到點(diǎn)，向量為向量在向量上的投影向量，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，計算出 ，再利用投影向量的定義及模長公式即得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.故答案為：.16. 記為等差數(shù)列的前項和，若，數(shù)列滿足，當(dāng)最大時，的值為__________.【答案】3【解析】【分析】先求出等差數(shù)列的通項公式，得到，取對數(shù)后，由的單調(diào)性判斷出最大.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：.所以，兩邊同時取對數(shù)得：令，則.令得：；令得：，所以在上單增，在上單減，所以的最大值在或處取得.而，所以.所以當(dāng)最大時，的值為3.故答案為：3．四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 在①；②；，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角所對的邊分別是，若             .（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）；    （2）6.【解析】【分析】（1）選①：先利用三角公式求出，即可求出角；選②：由正弦定理及三角變換求出，即可求出角；選③：由正、余弦定理求出，即可求出角；（2）利用△ABC的面積公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周長.【小問1詳解】選①：由，得，即.所以或.因?yàn)?/span>，所以.選②：對于，由正弦定理得，即.因?yàn)?/span>，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以.選③：由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到，所以.由正弦定理得：，即.由余弦定理得：.因?yàn)?/span>，所以.【小問2詳解】因?yàn)?/span>△ABC的面積為，得：.由余弦定理得：,即，所以，所以，所以△ABC的周長為6.18. 已知數(shù)列和的前項和分別為，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；；    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得，即得；（2）根據(jù)分組求和法及裂項相消法可得，進(jìn)而即得.【小問1詳解】由題可知，，∴，即，又，∴是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴，∴；【小問2詳解】由上可知，即，，，所以，所以，.19. 多年來，清華大學(xué)電子工程系黃翔東教授團(tuán)隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實(shí)時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團(tuán)隊為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額，的數(shù)據(jù)（，2，，12），該團(tuán)隊建立了兩個函數(shù)模型：①②，其中均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖，令，計算得如下數(shù)據(jù)：206677020014460312500021500 （1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）模型的擬合程度更好    （2）（i）（ii）預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是億元【解析】【分析】（1）由題意計算相關(guān)系數(shù),比較它們的大小即可判斷；（2）（i）先建立關(guān)于的的線性回歸方程,再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于的回歸方程；(2)利用回歸方程計算時x的值即可.【小問1詳解】由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好【小問2詳解】（i）先建立關(guān)于的線性回歸方程.由，得，即.由于所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以，則.（ii）下一年銷售額需達(dá)到80億元，即，代入得，，又所以，解得，所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是億元20. 如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，，.（1）求證：；（2）若平面與平面所成的角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析    （2）【解析】【分析】（1）由題意可得出AD⊥CD，AD⊥，即可證明AD⊥平面，再由線面垂直的判定定理即可證明；（2） 取的中點(diǎn)，以為正交基底建系，設(shè)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)它們所成的銳二面角的大小為，利用夾角公式列出方程可求出，再由體積公式結(jié)合等體積法即可得出答案..【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌?/span>ABCD和側(cè)面都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥，又CD∩＝D，CD，?平面，所以AD⊥平面，又?平面，所以.【小問2詳解】取為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>AD⊥平面，又?平面，所以，又因?yàn)?/span>，所以，又AD∩＝D，AD，?平面，所以平面，取的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，底面是矩形，所以,以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:設(shè)，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，，．由可得：，令可得，，所以，設(shè)平面的法向量，，．由可得，，令可得，所以由于平面與平面所成的銳二面角的平面角為，所以，可得：，則，解得．因?yàn)?/span>AD⊥平面，，所以平面，又因?yàn)?/span>，所以平面，平面，所以平面， 所以.21. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線與拋物線交于點(diǎn).（1）求方程；（2）設(shè)是與在第一象限的公共點(diǎn)，作直線與的兩支分別交于點(diǎn)，便得.（i）求證：直線過定點(diǎn)；（ii）過作于.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？如果有，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由.【答案】（1），；    （2）（i）答案見解析；（ii）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出的方程；（2）（i）設(shè)方程為.令,利用“設(shè)而不求法”得到.表示出,整理可得： .可以判斷出直線MN的方程為,即可證明過定點(diǎn).（ⅱ）由為直角，判斷出D在以AB為直徑的圓上，得到為AB的中點(diǎn),使得為定值.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，漸近線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得：，所以拋物線經(jīng)過點(diǎn)所以，所以【小問2詳解】（i）因?yàn)?/span>在不同支,所以直線的斜率存在,設(shè)方程為.令,聯(lián)立得， ，則.聯(lián)立可得，解得：.因?yàn)?/span>,所以，代入直線方程及韋達(dá)結(jié)構(gòu)整理可得：，整理化簡得：.因?yàn)?/span>不在直線MN上,所以.直線MN方程為,過定點(diǎn).（ⅱ）因?yàn)?/span>為定點(diǎn),且為直角，所以D在以AB為直徑的圓上,AB的中點(diǎn)即為圓心,半徑為定值.故存在點(diǎn),使得為定值.22. 已知函數(shù).（1）若存在使，求的取值范圍；（2）若存在兩個零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；    （2）詳見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，即得；（2）由題可得，根據(jù)條件可得，，然后通過換元法可得只需證，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，又，不合題意；所以，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，由題意可知，解得，所以的取值范圍為；【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意，所以，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，由題意可知，即，因?yàn)?/span>的兩個零點(diǎn)，所以，所以，，即證明，令，則，所以，可得，，只需證明，即證，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
 
 

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