?第34講 圓的方程
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一、基本概念
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.
二、基本性質(zhì)、定理與公式
1.圓的四種方程
（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數(shù)方程：
①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
注 對(duì)于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
①點(diǎn)P在圓外；
②點(diǎn)P在圓上；
③點(diǎn)P在圓內(nèi).
（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
①點(diǎn)P在圓外；
②點(diǎn)P在圓上；
③ 點(diǎn)P在圓內(nèi).
三、直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
四、 直線與圓的位置關(guān)系判斷
1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
則直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
2.代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）
由 ，消元得到一元二次方程，判別式為，則：
則直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離.
五、兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
則兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
設(shè)圓心為，則圓心與點(diǎn)的連線與直線l垂直，即，
則點(diǎn)，所以圓心為，半徑，
所以方程為，
故選：C
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（ ）
A．的最小值為
B．兩圓公切線有兩條
C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為
D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為
【答案】AC
【詳解】
由圓的方程知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；
，兩圓外切；
對(duì)于A，若重合，為兩圓的切點(diǎn)，則，A正確；
對(duì)于B，兩圓外切，則公切線有條，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，兩圓相外切，兩個(gè)圓不存在相交弦，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求圓心在直線上，且過兩圓，
交點(diǎn)的圓的方程．
【詳解】
依題意可得，圓心在圓和圓公共弦的垂直平分線上．
聯(lián)立，解得，
則兩圓交點(diǎn)為，
則其公共弦的垂直平分線為，即
所以圓心是直線與直線的交點(diǎn)，
聯(lián)立，解得．
則圓半徑
所以圓方程為
例4．（2021·湖南·攸縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓的方程：.
（1）求的取值范圍；
（2）當(dāng)圓過A(1，1)時(shí)，求直線被圓所截得的弦的長(zhǎng).
【詳解】
解：（1）圓的方程可化為
令得
（2）∵圓過A(1，1)代入得，圓方程為
圓心(1，2)，半徑,
圓心(1，2)到直線的距離為
∴.
例5．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是求它的外接圓的方程．
【詳解】
設(shè)所求圓的方程為：，則圓經(jīng)過三點(diǎn)
，解之得.
所以所求圓的方程為：.
例6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
【詳解】
（1）直線：，也即，
故直線恒過定點(diǎn)，
又，故點(diǎn)在圓內(nèi)，
此時(shí)直線一定與圓相交.
（2）設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，
又，，
即，
化簡(jiǎn)可得：；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然中點(diǎn)的坐標(biāo)為也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程為：.
例7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).
（1）求過點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線方程；
（2）求的最值.
【詳解】
(1)依題意,直線的斜率存在,因?yàn)檫^點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心到直線的距離為,設(shè)直線方程為,即,所以,解得或所以直線方程為或.
(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則.


因?yàn)?所以,即的最大值為88,最小值為72.
例8．（2021·遼寧·沈陽(yáng)二中高三階段練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（2）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.
【詳解】
解：（1）設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得x－y＋4＝0，
A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，
x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程；
(2)解方程組得兩圓的交點(diǎn)A(－1，3)，B(－6，－2)，
設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因?yàn)閳A心在直線x－y－4＝0上，所以b＝a－4，
則＝，解得a＝，
所以圓心為，半徑為，
所以圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
例9．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求與圓切于點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程.
【詳解】
設(shè)與圓切于點(diǎn)的圓系方程為：
.
以點(diǎn)代入，求得.
，
化簡(jiǎn)即得所求圓的方程為.
例10．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)以及曲線與交點(diǎn)的圓的方程.
【詳解】
(1)設(shè),因?yàn)?,所以,整理得,所以曲線的方程為.
(2)設(shè)所求方程為,即,將代入上式得,解得,
所以所求圓的方程為.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））己知圓C經(jīng)過A（5，2）， B（－1，4）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13 B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40 D．（x－1）2 +y2 = 20
【答案】D
【分析】
設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到距離相等求得，然后再求出半徑后可得．
【詳解】
由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，
圓半徑為．
所以圓方程為．
故選：D．
2．（2021·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（理））圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓問題，第一步求圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，半徑不變，第二步直接寫出圓的方程.
【詳解】
圓的圓心 半徑為 ，由得設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，利用
兩圓心的連線與直線垂直，兩圓心的中點(diǎn)在直線上列方程求解， ，化簡(jiǎn)得，解得所以對(duì)稱圓的方程為.
故選:C.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑可求得正數(shù)的值，由此可得出圓的方程.
【詳解】
由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，
因?yàn)閳A與直線相切，則，因?yàn)椋獾茫?br /> 因此，圓的方程為.
故選：A.
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程．
【詳解】
因?yàn)檫^點(diǎn)與，
所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
所以線段AB的中垂線的斜率為，
所以線段AB的中垂線的方程為，
又因?yàn)閳A心在直線上，
所以，解得，
所以圓心為，
所以圓的方程為.
故選：A
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由圓心到切線距離等于半徑求得圓半徑后可得圓方程．
【詳解】
因直線與圓相切，所以圓的半徑等于點(diǎn)到直線的距離，
即，則所求圓的方程為.
故選：D．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．內(nèi)含 B．外離 C．相交 D．相切
【答案】D
【分析】
根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距與兩個(gè)半徑的關(guān)系，即可判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．
【詳解】
因?yàn)閳A與圓
所以兩個(gè)圓的圓心距
兩個(gè)圓的半徑分別為
因?yàn)椋詢蓚€(gè)圓相切.
故選：D
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與圓相切，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，令其等于半徑即可求出 的值
【詳解】
圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，
因?yàn)?，
所以，
所以
故選：A
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，以線段為直徑的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得，的坐標(biāo)，進(jìn)而得圓心坐標(biāo)和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后化為一般方程即可.
【詳解】
由直線截距式方程知：，，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，
所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以以線段為直徑的圓的方程為，
化為一般方程為.
故選：A.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓的公切線有（ ）
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
【答案】D
【分析】
判斷出兩圓的位置關(guān)系即可得到答案.
【詳解】
由題意，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)式分別為，，
則圓心和半徑分別為，，
所以,，則，故兩圓相離，一共有4條公切線.
故選：D.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則
A． B． C． D．2
【答案】A
【詳解】
試題分析：由配方得，所以圓心為，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.
【考點(diǎn)】 圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式
【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離. 已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．

11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)，解不等式即可求解.
【詳解】
由方程表示圓，
則，
解得.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：D
12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于點(diǎn)在圓的外部，所以，從而可求出的取值范圍
【詳解】
解：由題意得，解得，
故選：C．
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】
設(shè)出圓的一般式，根據(jù)求出，然后將點(diǎn)帶入圓的方程即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)圓的方程為，
由題意得，解得，
所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.
故選：C.
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））圓心在軸上，且過點(diǎn)的圓與軸相切，則該圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)，建立方程，求解即可.
【詳解】
解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在軸上且圓與軸相切，所以即為半徑,
則根據(jù)題意得：，解得，
所以圓心坐標(biāo)為：，半徑為5，該圓的方程是,
展開得：.
故選：C.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，若圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可得出答案.
【詳解】
解：因?yàn)閳A，
所以圓C的圓心坐標(biāo)為，
又因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，
所以直線過圓心，
則，解得.
故選：D.
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定
【答案】B
【分析】
求出直線恒過的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】
解：直線，即，
由得，所以直線恒過定點(diǎn)，
因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，
故選：B.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)有兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由于有兩條直線與圓相切，所以可知點(diǎn)在圓外；由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及圓的判斷條件，可得m的取值范圍．
【詳解】
圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為
因?yàn)辄c(diǎn)有兩條直線與圓相切
所以點(diǎn)在圓外
所以
解不等式組得
所以選D
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
18．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
將的最小值問題，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最小值減去圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.
【詳解】
點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，
故的最小值可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離減去半徑，
又圓的圓心為，半徑為，
則.
故選：.
19．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是，最小值是，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求得圓心到直線的距離d，再由圓上的點(diǎn)到該直線的距離的最大值為，最小值為求解.
【詳解】
圓即圓，
圓心到直線的距離，
圓上的點(diǎn)到該直線的距離的最大值，
最小值，
，
故選：．
20．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)是
A．8 B．4 C．2 D．與有關(guān)的值
【答案】B
【分析】
先根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)直線方程可知，圓心在直線上，推斷出直線被圓截得的弦長(zhǎng)正好為圓的直徑，答案可得．
【詳解】
解：根據(jù)圓的方程可知圓心為（1，1），半徑為2，
直線方程，所以直線過定點(diǎn)
，即直線過圓的圓心，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)正好為圓的直徑4
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是推斷直線過定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)M滿足|MA|=2，那么M點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0
【答案】A
【分析】
設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】
解：設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)滿足，
可得：，
即：，
所以M點(diǎn)的軌跡方程是.
故選：A．
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線被動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
設(shè)，根據(jù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，再由圓的性質(zhì)求解.
【詳解】
設(shè)，由得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，
即，
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線為圓，圓心為．
又點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，
所以最短弦所在直線的斜率為2，
所以所求直線方程為，即．
故選：A
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓到直線的距離為的點(diǎn)有（ ）
A．個(gè) B．個(gè)
C．個(gè) D．個(gè)
【答案】B
【分析】
先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出圓心到直線的距離，判斷出直線與圓的位置關(guān)系，從而可判斷出結(jié)論
【詳解】
由，得，則圓心為，半徑，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，且，
所以圓到直線的距離為的點(diǎn)有2個(gè)，
故選：B
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【分析】
由直線方程可得直線過定點(diǎn)，又點(diǎn)在圓內(nèi)，得到答案.
【詳解】
直線：過定點(diǎn)，
因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
∴直線與圓相交，
故選：A.
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】
先判斷出在圓上，求出切線斜率，即可得到切線方程.
【詳解】
把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：.
因?yàn)樵趫A上，所以過P的切線有且只有一條.
顯然過點(diǎn)且斜率不存在的直線:與圓相交，
所以過P的切線的斜率為k.
因?yàn)榍芯€與過切點(diǎn)的半徑垂直，所以，解得：，
所以切線方程為：，即.
故選：B
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與直線切于點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由圓心和切點(diǎn)求得切線的斜率后可得切線方程．
【詳解】
圓可化為，
所以點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率為，
則所求直線的斜率為，
由點(diǎn)斜式方程，可得，
整理得.
故選：A.
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)，則直線PA的方程為，
直線PB的方程為，
點(diǎn)均在兩直線上，故，
直線AB的方程為3x+4y=4.
點(diǎn)到直線AB的距離，
則.
本題選擇D選項(xiàng).
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，直線，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
求得圓的圓心，半徑，根據(jù)，得到，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得的最小值，進(jìn)而求得的最小值.
【詳解】
如圖所示，化簡(jiǎn)圓的方程為，可得圓心，半徑，
因?yàn)闉閳A的切線且為切點(diǎn)，所以，
由勾股定理可得，
所以當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，
因?yàn)椋?br /> 所以，即的最小值為.
故選：D.

29．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過圓О外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，再將兩圓的方程相減，即可得到直線AB的方程．
【詳解】
由題意知點(diǎn)O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，易求該圓的方程為，AB為圓與圓的公共弦，將這兩圓的方程相減，得，即AB的方程為.
故選：B．
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作直線與圓相切于、兩點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出，求出以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓的方程，然后與圓的方程作差可得出直線的方程.
【詳解】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
由圓的切線的性質(zhì)可得，則，
所以，以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓的方程為，
將圓的方程與圓的方程作差并化簡(jiǎn)可得.
因此，直線的方程為.
故選：B.
31．（2021·江蘇常州·一模）過圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】
本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出，再然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理得出、，最后通過等面積法即可得出結(jié)果.
【詳解】
如圖，結(jié)合題意繪出圖像：

因?yàn)閳A：，直線、是圓的切線，
所以，，，，
因?yàn)?，所以，?br /> 根據(jù)圓的對(duì)稱性易知，則，
解得，，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓的切點(diǎn)弦長(zhǎng)的求法，主要考查圓的切線的相關(guān)性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理的應(yīng)用，考查等面積法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則m的值為（ ）
A．3或 B．1或
C．0或4 D．或0
【答案】A
【分析】
利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式計(jì)算即得.
【詳解】
圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，
則點(diǎn)到直線的距離為，整理得，解得或，
所以m的值為3或.
故選：A
33．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.
【詳解】
圓心到直線的距離為，
圓的半徑為，
又，故，
故選：B.
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，進(jìn)而得到方程，注意檢驗(yàn)是否符合題意即可.
【詳解】
設(shè)，則，，
兩式做差可得，
即，
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，
因此，即，
所以，
因此直線的方程為，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故弦所在直線的方程為.
故選：B.
35．（2019·天津·耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，的面積為2，則值為（ ）
A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或6
【答案】C
【分析】
利用垂徑定理表示,再由面積可得,利用點(diǎn)到直線距離列方程求解即可.
【詳解】
圓：，可得，半徑.
∴圓心到直線的距離.
∵的面積為2，，
∴，
解得.
∴，解得或-5.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,利用垂徑定理表示弦長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，求出兩圓的圓心，半徑及圓心距，分析可得兩圓相交，由此分析可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圓心為(2，4)，半徑R＝3，
圓C2：(x-5)2+y2＝16，其圓心為(5，0），半徑r＝4，
圓心距|C1C2|5，則有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以兩圓相交，
所以兩圓有2條共切線；
故選：B．
37．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【分析】
求出兩個(gè)圓的交點(diǎn)，再求出中垂線方程，然后求出圓心坐標(biāo)，求出半徑，即可得到圓的方程．
【詳解】
由解得兩圓交點(diǎn)為與
因?yàn)?，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）
所以垂直平分線為y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）
所以r
所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故選：A
38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.
【詳解】
由題意，圓與圓
可得，，
因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得．
故選：C.
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
將兩圓的方程作差即可得到答案.
【詳解】
將兩圓的方程相減得到兩個(gè)圓公共弦所在直線方程為
故選：D.
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
先求出兩個(gè)圓的半徑和圓心距，然后在中，利用余弦定理求出的值，從而可求出，再利用圓的半徑，圓心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果
【詳解】
圓的半徑，圓的半徑，，
故在中，，
故．
故選：D

41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【詳解】
試題分析： 由圓的方程，可得圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，因?yàn)榘霃綖?，則到直線：的距離等于，直線的一般方程為：，，解得，故選D.
考點(diǎn):1、圓的幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式.
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，由題意可得，解不等式即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
由可得，
則即，
所以圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
因?yàn)閳A上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，
所以，即，解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：A.
43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線：的距離為2，則的取值不可能是（ ）
A．-15 B．13 C．15 D．0
【答案】A
【分析】
根據(jù)圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為2，可得圓心到直線的距離小于3，列不等式求解即可.
【詳解】
圓：化為，
則圓心，半徑，
若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線：的距離為2，
則圓心到直線的距離，如圖.
即，
∴.
故選：A

44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求圓心到直線的距離，再求半徑的范圍.
【詳解】
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3．
圓心到直線的距離為：
，
又圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，所以，
解得或．
故選：D．

二、多選題
45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5
C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6
【答案】BD
【分析】
首先得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，即可判斷A錯(cuò)誤，B正確，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可判斷C錯(cuò)誤，D正確.
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以圓的圓心為，半徑為，故A錯(cuò)誤，B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，圓心到軸的距離為，
所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，圓心到軸的距離為，
所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故D正確.
故選：BD
46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)可能為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】ABC
【分析】
由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心和半徑，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得，由此可得選項(xiàng).
【詳解】
解：因?yàn)閳A的圓心為，半徑，又，所以，
因?yàn)镸為上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以線段的長(zhǎng)可能為3，5，7，
故選：ABC.
47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若P是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離可以為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AB
【分析】
利用圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑即可求P到直線的距離范圍，結(jié)合各選項(xiàng)判斷符合要求的距離即可.
【詳解】
由題設(shè)，且半徑為，
∴到的距離，
∴點(diǎn)P到直線的距離：，即，
∴只有A、B符合要求.
故選：AB
48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓有且僅有兩條公切線，實(shí)數(shù)的值可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
由題可知兩個(gè)圓相交，列出不等式可求得答案.
【詳解】
因?yàn)閳A與圓有且僅有兩條公切線，所以兩圓相交，
因?yàn)榈膱A心為，半徑，圓的圓心為，半徑，
所以即，解得，
故選：AB
49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
通過圓心距和半徑關(guān)系，判斷出兩圓有四條公切線，再設(shè)切線，列等式解方程即可.
【詳解】
, 半徑 , 兩圓相離，有四條公切線
兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有兩條切線過原點(diǎn),
設(shè)切線, 則圓心到直線的距離 , 解得 或 ,
另兩條切線與直線平行且相距為1,,
設(shè)切線 , 則 ,解得.
所以只有項(xiàng)不正確（也可以不計(jì)算，通過斜率即可排除D）
故選：ABC


三、雙空題
50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程為，則圓心坐標(biāo)為________，圓半徑為__________．
【答案】
【分析】
將圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】
，
所以圓的圓心為，半徑.
故答案為：；

四、填空題
51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心在第一象限的圓經(jīng)過點(diǎn)，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．
【答案】
【分析】
由圓心在直線上，可設(shè)圓心為，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，半徑為，結(jié)合圓心在第一象限，可求出的值，從而寫出圓的方程.
【詳解】
解：因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心為，
又此圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為，
所以有

因?yàn)閳A心在第一象限
所以.
所以圓心為.
故答案為：.
52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C和直線相切于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，則圓C的方程為___________.
【答案】
【分析】
由已知可求得過點(diǎn)的直徑所在直線為，因?yàn)閳A心在以，兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線，然后兩直線方程聯(lián)立方程組可求出圓心坐標(biāo)，從而可求得圓的半徑，進(jìn)而可求得圓的方程
【詳解】
解：因?yàn)閳AC和直線相切于點(diǎn)，
所以過點(diǎn)的直徑所在直線的斜率為，其方程為，即.
又因?yàn)閳A心在以，兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線，即上，
由解得圓心為（3，5），所以半徑為，
故所求圓的方程為.
故答案為：
53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的圓的方程為___________.
【答案】
【分析】
求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
圓心關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故所求圓的方程為.
故答案為：.
54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)點(diǎn)，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________.
【答案】(1，3)
【分析】
設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)后可求解.
【詳解】
設(shè)圓的方程為，
則，解得，
所以圓方程為，即，
所以圓心坐標(biāo)為.
故答案為：.
55．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則該圓的半徑為__________
【答案】2
【分析】
根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱可知,直線經(jīng)過圓心.將圓心坐標(biāo)代入直線方程,結(jié)合圓的半徑公式即可求得半徑.
【詳解】
將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得
所以圓心坐標(biāo)為,
因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱,所以直線經(jīng)過圓心
則,化簡(jiǎn)可得
所以
故答案為:2
【點(diǎn)睛】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,直線過圓心的方程,屬于基礎(chǔ)題.
56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．
【答案】2
【分析】
求出兩圓的圓心距及半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.
【詳解】
解：將兩圓分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程：
，，
所以兩圓的圓心分別為，
半徑分別為，，
圓心距為，
因?yàn)椋?br /> 所以兩圓相交，所以公切線的條數(shù)是2條.
故答案為：2.
57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B
兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為______________．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，分析圓C的圓心與半徑，將直線l的方程變形為y﹣2＝k（x﹣2），恒過定點(diǎn)M（2，2），分析可得M在圓C內(nèi)部，分析可得：當(dāng)直線l與CM垂直時(shí)，弦|AB|最小，求出此時(shí)|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，
圓心C的坐標(biāo)為（1，3），半徑r＝2，
直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0，即y﹣2＝k（x﹣2），恒過定點(diǎn)M（2，2），
又由圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，則點(diǎn)M（2，2）在圓內(nèi)，
分析可得：當(dāng)直線l與CM垂直時(shí)，弦|AB|最小，
此時(shí)|CM|＝＝，
則|AB|的最小值為2＝；
故答案為：．
58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓上一定點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為______________．
【答案】
【分析】
設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)公式求得，代入即可求解.
【詳解】
設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，
又由，可得，解得，
又由，可得，即.
故答案為：.
59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為___________.
【答案】相交
【分析】
根據(jù)圓的一般方程求得圓的圓心和半徑，再求圓心到直線的距離，且與圓的半徑比較可得結(jié)論.
【詳解】
解：由圓得，圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
所以直線和圓的位置關(guān)系為相交，
故答案為：相交.
60．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為___________.
【答案】或.
【分析】
分斜率不存在與斜率存在兩種情況，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得斜率存在時(shí)的切線方程.
【詳解】
由題意：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為：，滿足與圓相切，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，
則：，解得，此時(shí)切線方程為：，即，
故答案為：或
61．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)Q是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線恒過定點(diǎn)___________.
【答案】(1，－1)
【分析】
設(shè)Q的坐標(biāo)為(m，n)，根據(jù)方程，寫出切點(diǎn)弦AB所在直線方程，利用的關(guān)系，求得動(dòng)直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】
由題意可設(shè)Q的坐標(biāo)為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，過點(diǎn)Q作圓O：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，則直線AB的方程變形可得nx＋ny＋4x－4＝0，則有，解得，則直線AB恒過定點(diǎn)(1，－1).
故答案為：(1，－1).
62．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．
【答案】
【分析】
設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【詳解】
設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，
由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，
則，解得或，所以，
因?yàn)?，?
故答案為：.
63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝25相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.
【答案】6
【分析】
求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長(zhǎng)．
【詳解】
圓心到直線的距離為，圓半徑為，
所以．
故答案為：6．
64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值是______．
【答案】或
【分析】
由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓被直線所截弦長(zhǎng)得圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得值．
【詳解】
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
又圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，
所以，圓心到直線的距離．
則，解得或.
故答案為：或.
65．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直線與圓相交于A?B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為___________.
【答案】0或
【分析】
求出圓心到直線的距離，再由圓的半徑，圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)之間的關(guān)系求出k的值，進(jìn)而求出直線l的傾斜角．
【詳解】
直線，即，
可得圓心到直線l的距離，
圓的半徑r＝2，
所以弦長(zhǎng)，

由題意
整理可得：，
解得或
所以傾斜角為0或；
故答案為：0或.
66．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l，與圓C：交于M，N兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)是2，則k的值是________．
【答案】
【分析】
設(shè)直線l的方程為，先求得圓心到直線的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式求解.
【詳解】
設(shè)直線l的方程為，即，
∵圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，且弦的長(zhǎng)是2，
∴，
解得．
故答案為：．
67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓截直線所得弦長(zhǎng)是，則的值為______．
【答案】2
【分析】
化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心和半徑，求得圓心到直線的距離d，代入弦長(zhǎng)公式，即可求得答案.
【詳解】
圓可變形為：，
所以圓心為，半徑，
所以圓心到直線的距離，
根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得，
因?yàn)?，解?
故答案為：2
68．（2021·河北秦皇島·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則面積為___________.
【答案】2
【分析】
求得圓心到直線的距離，求得弦長(zhǎng)，由此求得三角形的面積.
【詳解】
圓心為，半徑，
因?yàn)閳A心C到直線的距離為，
所以，
所以面積為.
故答案為：

五、解答題
69．（2021·山東·鄒平市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直．
（1）求直線的一般式方程；
（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由題意求出兩直線的交點(diǎn)，再求出所求直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；
（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）
解：由題意知，解得，
直線和的交點(diǎn)為；
設(shè)直線的斜率為，與直線垂直，；
直線的方程為，化為一般形式為；
（2）
解：設(shè)圓的半徑為，則圓心為到直線的距離為
，由垂徑定理得，
解得，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
70．（2020·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知圓心為C（4，3）的圓經(jīng)過原點(diǎn)O．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線3x﹣4y+15＝0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC的面積．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】
（1）求出半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）作CD⊥AB于D，則CD平分線段AB，求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理求出弦長(zhǎng)，從而可求出面積．
【詳解】
解：（1）圓C的半徑為 ，
從而圓C的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，則CD平分線段AB，

在直角三角形ADC中，由點(diǎn)到直線的距離公式，得|CD|＝3，
所以，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面積．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
71．（2021·山西·天鎮(zhèn)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知圓和圓.
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）求公共弦所在直線的方程；
（3）求公共弦的長(zhǎng)度.
【答案】
（1）相交
（2）
（3）
【分析】
（1）將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心和半徑，然后算出圓心距，和半徑之差的絕對(duì)值和半徑之和比較可得答案；
（2）將兩圓的方程作差可得答案；
（3）聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得答案.
（1）
將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為
，,
則圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑.
，，，
，兩圓相交.
（2）
將兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為.
（3）
由,
解得或,
兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為和.
兩圓的公共弦的長(zhǎng)度為.


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