?專題12 拋物線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)性質(zhì)
題型一 求軌跡方程
1．已知點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)為，則
根據(jù)題意

．
故答案為：．
2．已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動(dòng)圓圓心軌跡方程．
【解答】解：若動(dòng)圓在軸右側(cè)，則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，其軌跡是拋物線，方程為，
若動(dòng)圓在軸左側(cè)，則動(dòng)圓圓心軌跡是負(fù)半軸，方程為，，
綜上，動(dòng)圓圓心軌跡方程是或，．
3．點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是　?。?br /> 【解答】解：設(shè)，依題意得
點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，
由兩點(diǎn)間的距離公式，得，
根據(jù)平面幾何原理，得，原方程化為
兩邊平方，得，整理得
即點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：．

4．點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是　?。?br /> 【解答】解：點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，點(diǎn)到直線的距離和它到點(diǎn)的距離相等．
根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為．
5．平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
【解答】解：設(shè)，
由到定點(diǎn)的距離為，
到軸的距離為，
當(dāng)時(shí)，的軌跡為；
當(dāng)時(shí)，又動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，
列出等式：
化簡(jiǎn)得，為焦點(diǎn)為的拋物線．
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：或．
6．設(shè)動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為　或　．
【解答】解：設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，則
動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故答案為：或．
7．已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線相切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．
【解答】解：令點(diǎn)坐標(biāo)為，，動(dòng)圓得半徑為，
則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，，，
在直線的左側(cè)，故到定直線的距離是，
所以，，即，
化簡(jiǎn)得：
8．已知是拋物線的頂點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）試判斷直線是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．
【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，
設(shè)，，，，
故，
因?yàn)椋?br /> 則，
因?yàn)?、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則有，，
故，
整理可得，解得，
由，消去可得，
則有，，
所以，解得，
故直線的方程為，
所以直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又直線的斜率為，
所以線段的垂直平分線的方程為，①
同理，線段的垂直平分線的方程為，②
由①②解得，
設(shè)點(diǎn)，則有，
消去，得到，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．

題型二 拋物線的幾何性質(zhì)
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在上有一點(diǎn)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為　　
A．4 B．5 C． D．6
【解答】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
由拋物線的定義可知，，
故的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，
故的中點(diǎn)到軸的距離為4．
故選：．

10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示：

拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為：，
過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，可得，
又由且，
所以，
所以，解得，
代入拋物線的方程，可得，
又由且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以為的中點(diǎn)，
所以的面積為，
解得，
所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，
故選：．
11．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：設(shè)，，，，直線方程為．
聯(lián)立，消去，得，所以．
所以，
因?yàn)?、中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，
故，又，所以的取值范圍，．
故選：．
12．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)．若，，則　　
A．2 B．3 C．6 D．8
【解答】解：設(shè)、在準(zhǔn)線上的射影分別為、，
過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，
由，可得：，
因?yàn)?，，可得?br /> 故選：．

13．以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，已知，，則　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：設(shè)拋物線為，如圖，，
，，，，
，丨丨丨丨丨丨丨丨，
，解得，
故選：．

14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于，、，，過(guò)點(diǎn)、作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，
此時(shí)，，成立，不成立；
，，，
，，成立；
，不成立．
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，可設(shè)，
聯(lián)立，得．
得，，故成立；
而，故不成立；
，，，
故，成立；
而
，故不成立．
故選：．
15．已知拋物線，焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線拋物線相交于，，，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法一定正確的是　　
A．的最小值為2
B．線段為直徑的圓與直線相切
C．為定值
D．若，則
【解答】解：拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以的最小值為，故不正確，
如圖：設(shè)線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義可得，，
所以，
所以以線段為直徑的圓與直線相切，故正確；
設(shè)直線所在的直線方程為，
由，消去可得，
所以，，
所以，故正確；
所以，故正確．
故選：．


題型三 最值問(wèn)題
16．已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為　　．
【解答】解：由題意，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，
從而到軸的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離減1．
過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，
，則，
則的最小值為．
故答案為：．
17．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為　?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，，，
則由，得，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
直線的斜率的最大值為．
故答案為：．
18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則線段的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由，可得，則，即，
易知直線過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，
因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以線段的最小值為，
故選：．
19．拋物線的焦點(diǎn)為，的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由題意可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
求的最小值等價(jià)于求的最大值，
設(shè)，
，
所以，，
所以，．
當(dāng)時(shí)，最小值為，
所以最小值為．
故選：．

20．已知為曲線上一點(diǎn)，，，則的最小值為　　
A．6 B． C．5 D．
【解答】解：由題意可得，曲線是拋物線的右半部分且是焦點(diǎn)，
為曲線上一點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，
，要使其最小，則即為到準(zhǔn)線的距離，
的最小值為．
故選：．
21．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由題意，得，故直線的方程為，
聯(lián)立可得，
設(shè)，，，，則，，
故，，
過(guò)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可得：，
故選：．
22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為　　
A． B． C．2 D．1
【解答】解：設(shè)，，
由拋物線定義，得，
在梯形中，．
由余弦定理得，

配方得，，
又，

得到．（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
則的最小值為1．
故選：．

23．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B． C． D．6
【解答】解：作軸于點(diǎn)，軸于
設(shè)，
由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線的方程為，
作于，于，
由拋物線的定義可得，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，
所以，，
所以，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，
綜上，的最小值為，
故選：．

24．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為　　
A．3 B．1 C． D．
【解答】解由題意可得在拋物線的內(nèi)部，過(guò)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線交準(zhǔn)線于交拋物線于，
中，三角形的周長(zhǎng)為：，
由拋物線的性質(zhì)，可得，
由拋物線的方程可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
所以，，
所以三角形的周長(zhǎng)的最小值為：．
故選：．

25．拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離

，當(dāng)時(shí)，．
故選：．
26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值為　　
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如圖，解：分別過(guò)點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，
則
設(shè)直線的方程為，，，，．
聯(lián)立，整理得，
則，．

．
故選：．

27．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)，則，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，
由，可得，，
，
；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)作直線的方程為，不妨設(shè)，，，，
由，消可得，
，，
，，
．
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．
故的最小值為．
故選：．


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