?專題07 拋物線的簡單幾何性質(zhì)

要點　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
標準方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形




頂點
O(0,0)
離心率

對稱軸
x軸
y軸
焦點
F
F
F
F
離心率
e＝1
準線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y(tǒng)0＋
|PF|＝－y0＋
【方法技巧】
(1)通過上述表格可知，四種形式的拋物線的頂點相同，均為O(0,0)，離心率均為1，它們都是軸對稱圖形，關(guān)于焦點所在的坐標軸對稱．
(2)拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：
①拋物線、橢圓和雙曲線都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率取值范圍是00)有一條對稱軸為y軸．(　　)
(2)拋物線y＝－x2的準線方程是x＝.(　　)
(3)拋物線是中心對稱圖形．(　　)
(4)過定點P(0,1)作與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線，共可作3條．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√
2．頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是(　　)
A．x2＝16y　　B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y
【答案】D
【解析】頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點到準線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.故選D.
3．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則|AB|＝(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選B.
4．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝________.
【答案】2
【解析】F(1,0)，由拋物線定義得A點橫坐標為1.∴AF⊥x軸，∴|BF|＝|AF|＝2.

題型一　由拋物線的幾何性質(zhì)求其方程
【例1】已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程．

【解析】解法一：由拋物線開口方向向下，可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F.
因為M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
所以解得
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
解法二：設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F，準線l：y＝，如圖所示，作MN⊥l，垂足為N，則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因為點M在拋物線上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.

【方法技巧】
1．代數(shù)法：將幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標表達式，解方程(組)求出未知數(shù)．
2．幾何法：將幾何性質(zhì)與拋物線定義相結(jié)合，采用幾何法求出焦準距，從而得到拋物線的標準方程．
【變式訓(xùn)練】
1.邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．
又A(取點A在x軸上方)，
則有＝±a，解得a＝±，所以拋物線方程為y2＝±x.故選C.
2.已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2，則拋物線的方程為________．
【答案】(2)y2＝3x或y2＝－3x
【解析】(2)根據(jù)拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標為±，交點橫坐標為±1，則拋物線過點(1，)或(－1，)，設(shè)拋物線方程為
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
則2p＝3，從而拋物線方程為y2＝3x或y2＝－3x.
題型二　由拋物線的方程研究其幾何性質(zhì)
【例2】已知等邊三角形AOB的頂點A，B在拋物線y2＝x上，O為坐標原點，頂點A到拋物線的焦點F的距離等于，則△AOB的面積為________.
【答案】3
【解析】∵△AOB是等邊三角形，A、B在拋物線y2＝x上，∴頂點A，B關(guān)于拋物線的對稱軸(x軸)對稱，
不妨設(shè)A(y0，)(y0>0)，則B(y0，－)．
由|AF|＝y(tǒng)0＋＝，解得y0＝3，∴＝，
∴△AOB的邊長|AB|＝2＝2，
∴△AOB的面積為×(2)2×＝3.
【方法技巧】
把握三個要點，確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)
1．開口方向：由拋物線標準方程看其開口方向，關(guān)鍵是看準二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負．
2．位置關(guān)系：頂點位于焦點和準線與坐標軸的交點中間，準線垂直于對稱軸．
3．定值：焦點到準線的距離為|p|，過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2|p|.

【變式訓(xùn)練】
拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.
【答案】x2＋＝1
【解析】設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，由中點坐標公式得∴又∵點P在橢圓＋＝1上，∴＋＝1，即x2＋＝1.

【答案】6
【解析】如圖，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，則B點坐標為.又點B在雙曲線上，故－＝1.解得p＝6.
題型三　直線與拋物線的位置關(guān)系
探究1 弦長問題

【例3】已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．
(1)若|AF|＝4，求點A的坐標；
(2)求線段AB的長的最小值．
【解析】由y2＝4x，得p＝2，其準線方程為x＝－1，焦點F(1,0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋，從而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴點A的坐標為(3,2)或(3，－2)．
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)．
與拋物線方程聯(lián)立，得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直線與拋物線相交于A，B兩點，
則k≠0，并設(shè)其兩根為x1，x2，∴x1＋x2＝2＋.
由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，－2)，此時|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即線段AB的長的最小值為4.
【方法技巧】
拋物線弦長的求解思路
1．當(dāng)直線的斜率k存在且k≠0時，弦長公式為|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；當(dāng)直線的斜率k＝0時，只有拋物線的對稱軸是y軸時弦長存在，弦長公式為|AB|＝|x1－x2|；當(dāng)直線的斜率k不存在時，只有拋物線的對稱軸是x軸時弦長存在，弦長公式為|AB|＝|y1－y2|.
2．焦點弦是特殊的弦，除了可以利用以上方法求解，還可以利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為焦半徑和焦點弦長問題處理．注意熟記拋物線的四種標準方程對應(yīng)的焦點弦長公式．
探究2 中點弦問題
【例4】已知拋物線y2＝2x，過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點的軌跡方程．
【分析】方法一：利用點差法，設(shè)點作差，要考慮斜率不存在的情況；
方法二：可設(shè)出斜率存在時的直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式，消參即可得軌跡方程，同時要考慮斜率不存在的情況．
【解析】方法一　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點為M(x，y)，則y1＋y2＝2y，當(dāng)直線AB的斜率存在時，kAB＝＝.
易知
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，
所以2y·＝2，即2y·＝2，即2＝x－(y≠0)．
當(dāng)直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時，AB的中點為(2,0)，適合上式，故所求軌跡方程為2＝x－.
方法二　當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y－1＝k(x－2)(k≠0)，由得y2－y＋1－2k＝0.則所以k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為P(x，y)，則y1＋y2＝，y1y2＝.
所以x1＋x2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝.
則x＝＝，y＝＝，
消去k得2＝x－(y≠0)．
當(dāng)直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時，AB的中點為(2,0)，適合上式．
故所求軌跡方程為2＝x－.
【方法技巧】
(1)方法一中得到kAB的等式是為點差法做準備．
(2)方法一中因為用點差法求軌跡方程時用到了斜率，所以必須驗證斜率不存在的情況．
(3)方法二中直線與拋物線相交于兩點，隱含著條件Δ>0.
(4)方法二中求y1＋y2及x1＋x2是為利用中點坐標公式做準備.
【方法技巧】
解決中點弦問題的思路
解決中點弦問題的基本方法是點差法、利用根與系數(shù)的關(guān)系，直線與拋物線的方程聯(lián)立時消y有時更簡捷，此類問題還要注意斜率不存在的情況，避免漏解．一般地，已知拋物線y2＝2px(p>0)上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)及AB的中點P(x0，y0)，則kAB＝.
直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)．
線段AB的垂直平分線的方程為y－y0＝－(x－x0)．
【變式訓(xùn)練】
1.斜率為的直線經(jīng)過拋物線x2＝8y的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長為________．
【答案】10
【解析】(1)方法一　由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則對于拋物線x2＝8y，焦點弦長|AB|＝p＋y1＋y2＝4＋y1＋y2.
因為拋物線x2＝8y的焦點為(0,2)，且直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為y＝x＋2，代入拋物線方程x2＝8y，消去x整理得y2－6y＋4＝0，從而y1＋y2＝6，所以|AB|＝10.
故線段AB的長為10.
方法二　由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題意得拋物線的焦點為(0,2)，故直線AB的方程為y＝x＋2，即x－2y＋4＝0，
由消去y得x2－4x－16＝0，
則x1＋x2＝4，x1x2＝－16，代入弦長公式|AB|＝，得|AB|＝10.
2.已知斜率為k的直線l與拋物線C：y2＝4x交于A、B兩點，線段AB的中點為M(2,1)，則直線l的方程為(　　)
A．2x－y－3＝0 B．2x－y－5＝0 C．x－2y＝0 D．x－y－1＝0
【答案】A
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?＝＝2，所以k＝2，因為直線過點M(2,1)，所以直線l的方程為2x－y－3＝0.故選A.
易錯辨析　忽略直線與拋物線有一個公共點的特殊情況致誤
【例5】(多選)過定點P(－1,1)且與拋物線y2＝2x只有一個交點的直線l的方程為(　　)
A．y＝－1 B．y＝1 C．(－1)x－2y＋＋1＝0 D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
【答案】BCD
【解析】(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，
①若直線l與拋物線的對稱軸平行，則直線l的方程為y＝1，此時直線l與拋物線只有一個公共點．
②若直線l與拋物線的對稱軸不平行，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0
由題意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝
故所求直線l的方程為：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0
綜上所述，所求直線l的方程為y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.故選BCD.
【易錯提醒】

易錯原因
糾錯心得
本題易錯的地方是只考慮直線l的斜率k存在且不為0時的情形，而忽略k不存在及直線l平行于拋物線的對稱軸這兩種情形.
在涉及直線與拋物線只有一個交點的問題時，應(yīng)提防兩處陷阱：一是直線與對稱軸平行時，直線與拋物線只有一個交點，這是由Δ＝0無法得到的(事實上，此時消元后對應(yīng)的“一元二次”方程的“二次”項系數(shù)一定為零)；二是若由Δ＝0僅得到一條直線，則意味著斜率不存在的直線可能與拋物線相切(僅有一個交點)，應(yīng)檢驗斜率不存在的直線是否滿足條件.



1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,且垂直于x軸的弦為AB,O為拋物線的頂點,則∠AOB的度數(shù)(　　)
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能確定
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線y2=2px的焦點為F,則其坐標為p2,0,將x=p2代入拋物線的方程,解得Ap2,p,Bp2,-p.在直角三角形AOF中,|OF|45°.由拋物線的對稱性可知,∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°.
2．（2021·安徽高二期中）在同一平面直角坐標系中，方程9x2＋4y2＝1與3x＋2y2＝0的曲線大致為(　　)

【答案】D
【解析】將方程9x2＋4y2＝1與3x＋2y2＝0轉(zhuǎn)化為＋＝1與y2＝－x，所以橢圓的焦點在y軸上，拋物線的焦點在x軸上，且開口向左．故選D.
3．（2021·上海市七寶中學(xué)高二月考）已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p＞0)，則(　　)
A．直線與拋物線有一個公共點
B．直線與拋物線有兩個公共點
C．直線與拋物線有一個或兩個公共點
D．直線與拋物線可能沒有公共點
【答案】C
【解析】∵直線y＝kx－k＝k(x－1)，∴直線過定點(1,0)．∴當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有一個公共點；當(dāng)k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點．
4．（2021·浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二期中）設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標為(　　)
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
【答案】B
【解析】設(shè)A(x，y)，則y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2，故A點坐標為(1，±2)．
5．(多選)(2021·鄭州一中高二月考)拋物線E：x2＝4y與圓M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B兩點，圓心M(0,1)，點P為劣弧上不同于A，B的一個動點，平行于y軸的直線PN交拋物線于點N，則△PMN的周長的可能取值是(　　)
A．8 B．8.5 C．9 D．10
【答案】BC
【解析】如圖，可得圓心M(0,1)也是拋物線的焦點，

過P作準線的垂線，垂足為H，根據(jù)拋物線的定義，可得|MN|＝|NH|，
故△PMN的周長l＝|NH|＋|NP|＋|MP|＝|PH|＋4，由得B(2，3)．
|PH|的取值范圍為(4,6)，∴△PMN的周長|PH|＋4的取值范圍為(8,10)，
故B，C滿足條件．
6．（2021·上海華師大二附中高二月考）直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點坐標是________．
【答案】 (3,2)
【解析】將y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2.
∴所求點的坐標為(3,2)．
7．（2021·四川省南充高級中學(xué)高二月考）已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上的一點，則|AB|的最小值為________．
【答案】
【解析】設(shè)點B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以當(dāng)x＝時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
8．已知正三角形的一個頂點位于坐標原點,另兩個頂點在拋物線y2=2x上,則這個正三角形的邊長是　　　　　.
【答案】43
【解析】根據(jù)拋物線的對稱性可知,正三角形另外兩個頂點關(guān)于x軸對稱,設(shè)一個頂點坐標為y022,y0,邊長為a,則有tanπ6=2y0y02,解得y0=23,故邊長a=43.
9．（2021·天津高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線W：y2＝4x的焦點為F，直線l：y＝x＋m與拋物線W相交于A，B兩點，點Q為線段AB的中點．
(1)求m的取值范圍；
(2)求證：點Q的縱坐標為定值．
【答案】2
【解析】(1)直線l：y＝x＋m與拋物線W聯(lián)立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1.
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，則點Q的縱坐標為＝＝2.
∴點Q的縱坐標為定值2.
10．（2021·山西太原五中高二月考）拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的標準方程．
【解析】如圖，依題意可設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)，

則直線方程為y＝－x＋p.
設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，D，則由拋物線定義，得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線和拋物線的交點，
由
消去y，得x2－3px＋＝0.
所以x1＋x2＝3p，②
將②代入①，得p＝2.
所以拋物線的標準方程為y2＝4x.
當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p＞0)時，
同理可求得拋物線標準方程為y2＝－4x.
故拋物線的標準方程為y2＝4x或y2＝－4x.

11．（2021·甘肅省白銀高三聯(lián)考）如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到其準線的距離等于______．

【答案】1
【解析】由，得，則，，，
以為坐標原點，為x軸，與平行的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設(shè)拋物線的方程為，∴，解得，故焦點到其準線的距離等于．

12．(多選) （2021·上海市楊浦高級中學(xué)高二月考）設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則(　　)
A．△ABF是等邊三角形
B．|BF|＝3
C．點F到準線的距離為3
D．拋物線C的方程為y2＝6x
【答案】ACD
【解析】∵以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等邊三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面積為|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又點F到準線的距離為|BF|sin 30°＝3＝p，則該拋物線的方程為y2＝6x.
13．（2021·安徽馬鞍山二中高二開學(xué)考試）已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點P是拋物線上的一動點，則點P到直線l的最短距離為________，此時點P的坐標為________．
【答案】　
【解析】設(shè)點P(x0，y0)是y2＝2x上任意一點，則點P到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝＝，當(dāng)y0＝1時，dmin＝＝，此時x0＝，所以點P的坐標為.
14．（2021·河北滄州市·高二期中）在①，②，③軸時，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并回答．
問題：已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且______，
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若直線與拋物線交于，兩點，求的面積．
【解析】（1）若選①：由拋物線的性質(zhì)可得
因為，所以，解得．
故拋物線C的標準方程為．
若選②：因為所以，
因為點在拋物線C上，所以，
即，解得，
故拋物線C的標準方程為．
若選③：因為軸，所以，
因為，所以．
故拋物線C的標準方程為．
（2）設(shè)由（1）可知．
聯(lián)立，整理得，
則，
故，
因為點到直線的距離，
所以的面積為.


15.（2021·山東青島二中高二期中）如果你留心使會發(fā)現(xiàn)，汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀，把拋物線沿它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周，就會形成一個拋物面．這種拋物面形狀，正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀，這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射很遠的平行光束，又能發(fā)出較暗的，照射近距離的光線．我們都知道常規(guī)的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成，明亮的光束，是由位于拋物面形狀反射鏡焦點的光源射出的，燈泡位于拋物面的焦點上，燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束，再經(jīng)過配光鏡的散射、偏轉(zhuǎn)作用，以達到照亮路面的效果，這樣的燈光我們通常稱為遠光燈：而較暗的光線，不是由反射鏡焦點的光源射出的，光線的行進與拋物線的對稱軸不平行，光線只能向上和向下照射，所以照射距離并不遠，如果把向上射出的光線遮?。嚐艟椭荒馨l(fā)出向下的、射的很近的光線了．請用數(shù)學(xué)的語言歸納表達遠光燈的照明原理，并證明．
【解析】遠光燈照明原理：由拋物線的焦點所在的光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與拋物線的對稱軸平行．
證明：不妨設(shè)拋物線方程為：y2＝2px（p＞0），焦點為F，P為拋物線上一點，F(xiàn)P的反射光線為PN，
如圖所示：設(shè)拋物線過點P的切線為直線l，法線交x軸于M，
由光的反射性質(zhì)可知∠FPM＝∠MPN，
由y2＝2px，不妨設(shè)P在第一象限，P（，y0），
當(dāng)y0＝0時，直線l與y軸重合，顯然PN與x軸重合，
當(dāng)y0≠0時，設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l的方程為：y＝k（x）+y0，
代入拋物線方程可得：ky2﹣2py﹣ky02+2py0＝0，
令△＝4p2﹣4k（2py0﹣ky02）＝0可得k，
故法線PM的斜率為．
不妨設(shè)P在第一象限，設(shè)∠PMx＝α，∠PFM＝β，∠NPM＝θ，
則tanα，tanβ，
∴tanθ＝tan∠FPM＝tan（α﹣β）．
∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，
∴PN∥x軸．




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