專題10 橢圓方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中檔題突破——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

? 專題10 橢圓方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中檔題突破
題型一橢圓的定義
1．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
所以，并且，
解得：．
故選：．
2．方程，化簡(jiǎn)的結(jié)果是　?。?br /> 【解答】解：方程，
表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，
它的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；
，，；
橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果．
故答案為：．
3．方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．
【解答】解：橢圓方程化為．
焦點(diǎn)在軸上，則，即．
又，
．
故答案為：
4．已知兩定點(diǎn)，，直線，在上滿足的點(diǎn)有　　個(gè)．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【解答】解：由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
故，，，
其方程是，
把代入橢圓方程并整理得：
，
由△，
在上滿足的點(diǎn)有1個(gè)．
故選：．
5．方程表示橢圓的必要不充分條件是　　
A． B．
C．，， D．
【解答】解：由方程表示橢圓，可得，，且，
解得且，
故是方程表示橢圓的必要條件．
但由，不能推出方程表示橢圓，
例如時(shí)，方程表示圓，不是橢圓，
故是方程表示橢圓的必要條件，而不是充分條件，
故選：．

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且與軸垂直，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，，，則由題意可得，，可得，所以可得，
所以，
由題意且與軸垂直，可得，，所以，所以，
因?yàn)?，又因?yàn)椋?br /> 所以，所以，所以，
而，，，
所以橢圓的方程為：，
故選：．

7．求與橢圓有相同的離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程．
【解答】解　由題意，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為，
橢圓過點(diǎn)，，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)方程為，
橢圓過點(diǎn)，，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
8．分別求滿足下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，；
（2）離心率，且與橢圓有相同焦點(diǎn)．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為，且
由解得，．
所以橢圓方程為．
（2）由于所求橢圓與橢圓有相同焦點(diǎn)，
設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，所以．
由，則．
所以．
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
9．點(diǎn)在焦點(diǎn)為和的橢圓上，若△面積的最大值為16，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意，，即，
△面積的最大值為16，，
即，，
．
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
10．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，且，，，
，，
，，
，則在軸上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根據(jù)，可得，
解得，．
橢圓的方程為：．
故選：．

11．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則三角形的面枳為　　
A． B． C． D．
【解答】解：橢圓的焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，
則：，
若，所以，．
利用余弦定理：，
所以，
則：．
故選：．
12．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在直線的方程是　?。?br /> 【解答】解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)，，，，斜率為，
則，，
兩式相減得，
即，
弦所在的直線方程，即．
故答案為：．
13．如圖，已知橢圓的中心為原點(diǎn)，，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足，且，則橢圓的方程為　　

A． B．
C． D．
【解答】解：由題意可得，設(shè)右焦點(diǎn)為，由知，
，，
所以，
由知，
，即．
在中，由勾股定理，得，
由橢圓定義，得，從而，得，
于是，
所以橢圓的方程為．
故選：．

14．已知中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則的方程是　?。?br /> 【解答】解：由題意設(shè)橢圓的方程為．
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以，
又離心率等于，所以，則．
所以橢圓的方程為．
故答案為：．

題型三橢圓的性質(zhì)
15．點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是圓和上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是　，?。?br /> 【解答】解：依題意，橢圓的焦點(diǎn)分別是兩圓和的圓心，
所以，
，
則的取值范圍是，
故答案為：，．
16．點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．點(diǎn)為橢圓內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)．則△周長(zhǎng)的取值范圍為　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：設(shè)橢圓的半焦距為，
橢圓，
，，
，即，
△周長(zhǎng)為，
當(dāng)在之間時(shí)，最小值為2，但此時(shí)構(gòu)不成三角形，故，
當(dāng)在橢圓上時(shí)，，△周長(zhǎng)取得最大值，但點(diǎn)為橢圓內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)．
故，
△周長(zhǎng)的取值范圍為．
故選：．
17．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△的內(nèi)切圓的半徑的最大值是　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由橢圓，得，，，則，
如圖，

，
，則，
要使△內(nèi)切圓半徑最大，則需最大，
，
△內(nèi)切圓半徑的最大值為．
故選：．
18．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為　　
A．4 B．5 C．7 D．8
【解答】解：圓，則圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，
又橢圓，則，，，
由橢圓的定義可知，，
則，
所以，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值1，
所以的最小值為．
故選：．
19．已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：橢圓，所以為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，
則由橢圓定義，
于是．
當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，、、三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，
而當(dāng)在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，
在第三象限交點(diǎn)時(shí)有．
顯然當(dāng)在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為
．
故選：．

題型四橢圓的離心率問題
20．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和為，則點(diǎn)軌跡的離心率的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．
【解答】解：由已知到兩定點(diǎn)，的距離之和為的點(diǎn)的軌跡
是一個(gè)橢圓，
其中心坐標(biāo)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為2，
故，，
所以離心率
，，
綜上知，點(diǎn)軌跡的離心率的取值范圍為，
故選：．
21．在橢圓中，，分別是其左右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，若，則該橢圓離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)橢圓定義，將設(shè)代入得，
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，，故，即
，故，即，又，
故該橢圓離心率的取值范圍是．
故選：．
22．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，則，
，由，
，
化為，，
整理得，，
，解得，
故選：．
23．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，
直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
即，整理可得，
即，即，從而，
則橢圓的離心率，
故選：．
24．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)．若，，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，以，為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，
則，所以，
則，
則在三角形中，，
由余弦定理可得：，
即，整理可得：，
解得，所以，且由勾股定理可得，
又為的中點(diǎn)，則三角形為等腰三角形，所以，
由橢圓的定義可得：，
解得，
故選：．

25．橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、，右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，，
右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，可得，
，．
故選：．
26．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，且，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)榍遥匀切螢榈冗吶切危?br /> 所以可得在軸上，設(shè)為，可得，①
又因?yàn)棰?，由①②可得：?br /> 故選：．
27．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，
則，
，
故，，，
又對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
故只需要滿足，即，則，
所以，
又，
故的范圍為，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
則，解得，
所以，
又，
故不滿足題意，
綜上所述的的范圍為，，
故選：．
28．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則該橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，則，
由余弦定理得，
即，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
整理得，即，整理得，
所以，，，
故選：．
29．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，△的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為，，若，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，則．
因?yàn)椋?br /> 所以，
則，則．
由等面積法可得，
整理得，
因?yàn)?，所以，故?br /> 故選：．
30．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，
則，且由，可得，
所以，則，
由余弦定理可得，
即，
橢圓的離心率，
故選：．

31．，為橢圓上的兩點(diǎn)，，為其左、右焦點(diǎn)，且滿足，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為　?。?br /> 【解答】解：設(shè)，由，得，
再由橢圓定義可得：，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得．
在△中，由余弦定理可得：，
即，
整理得，即．
故答案為：．

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