?第一章 勾股定理
1.2一定是直角三角形嗎
一、教學(xué)目標(biāo)
1．掌握直角三角形的判別條件，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；
2．經(jīng)歷直角三角形的判別條件的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和歸納能力；
3．體驗(yàn)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的興趣．
二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
重點(diǎn)：會(huì)通過邊長判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，準(zhǔn)確理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容．
難點(diǎn)：探索三角形是否是直角三角形過程及熟練應(yīng)用勾股定理逆定理解決生活中的實(shí)際問題．
三、教學(xué)準(zhǔn)備
多媒體課件，帶有13個(gè)等距結(jié)的繩子
四、相關(guān)資源
視頻《利用13個(gè)打結(jié)的繩子作直角》
五、教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)回顧】復(fù)習(xí)回顧，引如新課
教學(xué)過程
師：直角三角形有哪些性質(zhì)？（可從邊、角兩方面分別說明）
學(xué)生：①有一個(gè)內(nèi)角為直角；②兩個(gè)銳角互余；③兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)，鋪墊知識(shí)，為新課接受打好基礎(chǔ)．
師：我們前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是已知直角三角形，利用這些性質(zhì)解決問題，那如果我們想得到一個(gè)直角三角形應(yīng)如何做呢？
學(xué)生發(fā)表見解
教師總結(jié)：可以利用直角得到一個(gè)直角三角形. 引出問題：三角形的三條邊滿足什么關(guān)系就能得到直角三角形.
我們通過視頻看看古人是如何做的.


那么這樣做出來的三角形一定是直角三角形嗎？這就是我們這節(jié)課探究的問題.
板書：2.一定是直角三角形嗎
【新知講解】
探究：利用三邊數(shù)量關(guān)系判定直角三角形
活動(dòng)1：仿照視頻演示
下面我們一同還原視頻中的做法，并畫出圖形．
拿出事先準(zhǔn)備好的繩子，上面有13個(gè)等距的結(jié)，把這根繩子分成等長的12段．讓一個(gè)同學(xué)同時(shí)握住繩子的第(1)個(gè)和第(13)個(gè)結(jié)，再讓兩個(gè)同學(xué)分別握住繩子的第(4)個(gè)結(jié)和第(8)個(gè)結(jié)，(如下圖所示)拉緊繩子，大家可以發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生通過觀察，很容易得到一個(gè)直角三角形，在第(4)個(gè)結(jié)處的角是直角．
教師進(jìn)一步進(jìn)行引導(dǎo)，看在第(1)個(gè)結(jié)到第(4)個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長度即b＝3；同理a＝4，c＝5．因?yàn)?2＋42＝52，所以a2＋b2＝c2．那么是不是三角形的三邊滿足a2＋b2＝c2，就可以得到一個(gè)直角三角形呢？不妨再找?guī)捉M數(shù)試一試．
設(shè)計(jì)意圖：在活動(dòng)中探索結(jié)論，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.
活動(dòng)2：做一做
下面四組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊a，b，c的長：
（1）5，12，13；（2）7，24，25；（3）8，15，17；（4）5，6，7．
問題： 這四組數(shù)都滿足a2＋b2＝c2嗎？ 分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？(學(xué)生分為4人活動(dòng)小組，每個(gè)小組可以任選其中的一組數(shù)．)
師生共析：(1)52＋122＝169＝132；
(2)72＋242＝625＝252；
(3)82＋152＝289＝172；
(4)52＋62＝61≠72．
這四組數(shù)，前三組滿足a2＋b2＝c2，而最后一組不滿足．
學(xué)生們通過作三角形，測量三角形三個(gè)內(nèi)角發(fā)現(xiàn)：前三組數(shù)滿足a2＋b2＝c2，作出的三角形都是直角三角形；而最后一組數(shù)不滿足a2＋b2＝c2，作出的三角形不是直角三角形．
設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生親自動(dòng)手作三角形，并用量角器量出各個(gè)內(nèi)角，然后小組內(nèi)交流，從而獲得一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)三邊滿足的條件．
活動(dòng)3：歸納總結(jié)
總結(jié)1：判定直角三角形的條件：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．滿足的a2＋b2＝c2三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).
總結(jié)2：
（1）常見的勾股數(shù)有：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.
（2）勾股數(shù)有無數(shù)組,一組勾股數(shù)中，各數(shù)的相同整數(shù)倍得到一組新的勾股數(shù).
注意：
（1）勾股數(shù)必須都是正整數(shù)；
（2）判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)，看較小兩個(gè)數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方.
設(shè)計(jì)意圖：明確結(jié)論，總結(jié)常見勾股數(shù)及注意事項(xiàng)，使學(xué)生在解決問題時(shí)有明確的解題思路.
【典型例題】
例1. 一個(gè)零件的形狀如左下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右下圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此這個(gè)零件符合要求．
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，鞏固所學(xué)知識(shí)，并強(qiáng)化訓(xùn)練．
例2．下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？請說說你的理由．
(1)9，12，15；(2)15，36，39；(3)12，35，36；(4)12，18，32．
解：根據(jù)直角三角形的判定條件進(jìn)行判斷．
(1)92＋122＝152；(2)152＋362＝392，所以(1)(2)兩組數(shù)可以作為直角三角形的三邊；
但(3)122＋352≠362，(4)122＋182≠322，所以(3)(4)兩組數(shù)不能作為直角三角形的三邊．
例3.①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n＞1，且為自然數(shù))．
上面各組數(shù)中，勾股數(shù)有______組．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
①
√
∵72＋242＝252，且7，24，25都是正整數(shù)，
∴7，24，25是勾股數(shù)．
②
×
∵82＋152≠192，∴8，15，19不是勾股數(shù)．
③
×
∵0.6，0.8，1.0不是正整數(shù)，
∴0.6，0.8，1.0不是勾股數(shù)．
④
√
∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2(n＞1，且為自然數(shù))，
且它們都是正整數(shù)，∴3n，4n，5n(n＞1，且為自然數(shù))是勾股數(shù)．
歸納總結(jié)：勾股數(shù)的判斷方法
判斷勾股數(shù)要看兩個(gè)條件，一看能否滿足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整數(shù)．這兩者缺一不可．
例4.（1）下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是(　A )
A．a(chǎn)＝1.5，b＝2，c＝3
B．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25
C．a(chǎn)＝6，b ＝8，c＝10
D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5
（2）如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（ A ）
A．直角三角形 B． 銳角三角形
C．鈍角三角形 D． 以上答案都不對

（3）如圖，正方形ABCD是由9個(gè)邊長為1的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫格點(diǎn)，連接AE，AF，則∠EAF=（ B ）
A．30° B． 45° C． 60° D． 35°



【隨堂練習(xí)】
1.如圖是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，AC＝9 m，請你幫他看一下，挖的地基是否合格？

分析：本題是數(shù)學(xué)問題在生活中的實(shí)際應(yīng)用，所以我們要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，運(yùn)用直角三角形的判定條件，來判斷它是否為直角三角形．
解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，
∴AD2＋DC2≠AC2．
∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°．
又∵按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，四個(gè)角應(yīng)為直角，
∴該農(nóng)民挖的地基不合格．
2.如圖，在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC．

分析：先用三邊數(shù)量關(guān)系的判定形狀，然后用勾股定理求數(shù)據(jù)．
解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理知△ADB為直角三角形．∴AD⊥BC．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92．∴DC＝9．
3.如圖，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四邊形ABCD的面積．

解：連接BD，
在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，
∴
△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，
52+122=132，即BC2+BD2=DC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC
=AD?AB+BD?BC
=×4×3+×5×12
=6+30
=36．
六、課堂小結(jié)
談?wù)劚竟?jié)課的收獲：
1.判定直角三角形的方法：如果一個(gè)三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
2. 勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍為勾股數(shù)．
七、板書設(shè)計(jì)
2.一定是直角三角形嗎
1.直角三角形的判別:如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.
2.勾股數(shù):滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).
3.練習(xí)：


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2 一定是直角三角形嗎

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