?特訓(xùn)10 期末解答題匯編（題型歸納）
一、解答題
1．己知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且是實數(shù)，其中是虛數(shù)單位.
(1)求復(fù)數(shù)；
(2)若復(fù)數(shù)所表示的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)且，化簡得到，結(jié)合題意得到，即可求解；
（2）由，求得，根據(jù)題意得到且，即可求解.
【解析】（1）解：由題意，設(shè)，其中且，
可得，
因為為實數(shù)，可得，解得，即.
（2）解：由，則，
因為復(fù)數(shù)所表示的點在第一象限，可得且，
解得，所以實數(shù)的取值范圍為.
2．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，.
(1)若為純虛數(shù)，求的值；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的特征，即可列式求解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等，轉(zhuǎn)化為實部和虛部對應(yīng)相等，將寫為關(guān)于的二次函數(shù)，
列式求解.
【解析】（1）因為為純虛數(shù)，
所以，解得.
（2）由，得.
因此.
因為，所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，.故的取值范圍是.
3．已知復(fù)數(shù)，的實部和虛部均為非零實數(shù)，且的實部等于虛部.
(1)請寫出一個；
(2)求的最小值.
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)

【分析】（1）由題意可設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可解，根據(jù)的實部等于虛部得，從而可得結(jié)論.
（2）由（1）可得，利用復(fù)數(shù)的模公式計算可得，從而可得出最小值.
【解析】（1）設(shè)，a，b為非零實數(shù)，
因為，
所以，得.
故可以為.（答案不唯一，滿足，即可，例如，，）
（2）由（1）可得，
所以，
當(dāng)時，.
4．已知，均為銳角，且，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用湊角的方法，，代入即可求得;(2)借助第一問的結(jié)論，用正弦的和差角公式計算.
【解析】（1）由，得，

．
（2）由，得，從而
又因為，

．
5．已知，且，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）解方程求出，化簡即得解；
（2）化簡即得解.
【解析】（1）由，解得或，
又因為，．
則．
（2）．
．
6．已知，，，.
(1)求的值：
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)兩角和與差的余弦公式化簡，得，根據(jù)半角公式化簡，得，再得，根據(jù)二倍角的余弦公式可得；
（2）先得和，再由兩角和的正切公式可得結(jié)果.
【解析】（1）由，得，
即，
因為，所以，
又因為，所以，即，所以，
所以.
（2）由（1）知，，，
又因為，，
所以，，
所以，，
所以.
7．（1）求的值域
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）令，根據(jù)輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出所求值域；
（2）令，結(jié)合立方和公式得出，進而得出的取值范圍.
【解析】（1）令，則，
即，其中，所以.
即，則，，解得.
即的值域為.
（2）令，因為，
所以，因為，
所以，
所以
，解得.
即的取值范圍為.
8．已知函數(shù)的最大值為．
(1)求的最小正周期；
(2)求使成立的自變量x的集合．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）用倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，由周期公式求函數(shù)最小正周期，由函數(shù)最大值求出的值.
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用整體代入法解不等式.
【解析】（1）因為
．
根據(jù)題意，，解得．
故．
所以函數(shù)的最小正周期．
（2）由，即．
則，解得，其中．
故使成立時x的集合．
9．設(shè)函數(shù)
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值并求出對應(yīng)的.
【答案】(1)，
(2)最大值為，；最小值為，

【分析】（1）先根據(jù)三角恒等變換將整理化簡，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解.
【解析】（1）
所以的最小正周期是，
由，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）當(dāng)時，，
根據(jù)單調(diào)性可知，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
于是此時，可得.
故最大值為，此時；最小值為，此時
10．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．

(1)求與的解析式；
(2)令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用圖象求出函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式；
（2）利用兩角和與差的正弦公式函數(shù)的解析式，然后在時解方程，將相應(yīng)的根全部相加可得結(jié)果.
【解析】（1）解：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，
因為，可得，
因為，則，所以，，可得，
所以，的解析式為．
由題可知，．
（2）解：因為
，
由可得，故或，
解得或．
又，故．
故所求的實數(shù)解的和為．
11．已知函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)
(2)，

【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的平移和變換公式得到，再利用正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.
【解析】（1）由，
整理得：，
由于相鄰兩對稱軸間的距離為，
故函數(shù)的最小正周期為π，故．
所以；
（2）由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
可得的圖象，
再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)，
令，，
即，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.
12．已知，．
(1)若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的值；
(2)若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化簡，依題意，即可求出，從而得到函數(shù)解析式，再代入計算可得；
（2）由對稱性得到，，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.
【解析】（1）因為，
因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，
所以，則，所以，解得，
所以，所以.
（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以，，所以，，
由，，則，
又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，
所以當(dāng)時.
13．在中，，，，與交于點.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的面積的最大值.
【答案】(1)
(2)12

【分析】（1）連接，根據(jù)三點共線得到，，確定，，，根據(jù)余弦定理得到，再計算面積得到答案.
（2）設(shè)，則，，計算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計算最值得到答案.
【解析】（1）法1：連接，由、、三點共線，設(shè)，（），
即，

由、、三點共線，設(shè)，（），
即 ，
故，代入解得，，.
所以，即，，即，????
所以，
因為為中點，所以，
因為，所以，，???
在中，由余弦定理得：，
所以，
所以.
法2：取中點為，連接，因為為中點，所以，

因為，所以為中點，則為中點，所以，
因為，所以.
以下同法1.
（2）因為，設(shè)，則，
在中：，，由(1)得，則，，故，
在中，由余弦定理得：，
所以，
所以
，
因為，所以，
所以當(dāng)，即時，的面積的最大值為12.
14．在中，，從條件①；條件②，兩個條件中，選出一個作為已知，解答下面問題.
(1)若，求的面積；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)面積為
(2)

【分析】（1）由所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)及三角恒等變換求得，再應(yīng)用正弦定理求角，最后求出三角形的面積；
（2）由題設(shè)及（1）得，應(yīng)用三角恒等變換化簡，注意求的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.
【解析】（1）選①：，又，則，
由，故，
根據(jù)，而，故，，
所以或（舍），
綜上，，則的面積為；
選②：，
所以，則，
由，則，，可得，
根據(jù)，而，故，，
所以或（舍），
綜上，，則的面積為；
（2）由（1），，則，且，
所以，
又為銳角三角形，，則，故，
所以，則.
15．在中，角所對的邊分別為，已知，且.
(1)求；
(2)點在邊上，滿足，且，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意和正弦定理化簡得到，求得，即可求解；
（2）由，利用余弦定理求得， 再在中，根據(jù)余弦定理得到，聯(lián)立方程組求得的值，進而求得的值.
【解析】（1）解：因為，由正弦定理得，
所以，
因為，所以，所以，
又因為，所以.
（2）解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，可得，
即，解得，
又在中，由余弦定理得，
聯(lián)立方程組，可得，解得，或（舍），
代入，可得.???

16．已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)若角，求角；
(2)若，求的最大值
【答案】(1)
(2)最大值為

【分析】（1）運用兩角和差的正余弦公式進行化簡即可；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運用正弦定理得到，然后把表示為的函數(shù)，再利用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍及求解.
【解析】（1）由題意知.
所以，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，因為，所以，
由角，所以.
（2）由（1）知，所以，，
因為，所以，
由正弦定理得：，所以，
因為，所以，
所以，
因為為銳角三角形，且，則有，得，所以，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，取得最大值，
所以的最大值為.
17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若____________.
(1)求角B；
(2)若，求△ABC周長的最小值，并求出此時△ABC的面積.
【答案】(1)
(2)周長的最小值為6，此時的面積

【分析】（1）分別選三個條件，結(jié)合三角恒等變換，以及邊角互化，化簡后即可求解；
（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周長最小值，再利用面積公式求出面積.
【解析】（1）選①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，∴.
選②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴.
選③，∵，
由已知結(jié)合正弦定理可得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）∵，即，
∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
∴，周長的最小值為6，此時的面積.
18．的內(nèi)角的對邊分別為，若.
(1)求；
(2)若，的面積為.
（i）求；
（ii）邊上一點，記面積為，面積為，當(dāng)達到最小值時，求的長.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）

【分析】（1）由正弦定理可得，進而得出，即可得出答案；
（2）根據(jù)面積公式可推得，然后根據(jù)余弦定理可求得；設(shè)，，推得，.代入，根據(jù)“1”的代換，即可根據(jù)基本不等式得出取最小值時的值，進而得出.根據(jù)余弦定理，在中，求出.然后在中，根據(jù)余弦定理，即可求出的長.
【解析】（1）由正弦定理以及可得，.
因為，所以.
又，所以.
（2）（i）由已知可得，，所以.
由余弦定理可知，，
所以，.
（ii）設(shè)，，則.

所以，則，所以.
同理可得，.
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
所以，.
又在中，有，
在中，有，
所以，.
19．如圖，已知半圓的直徑，點在的延長線上，為半圓上的一個動點，以為邊作等邊三角形，且點與圓心分別在的兩側(cè)，記.

(1)當(dāng)時，求四邊形面積；
(2)求當(dāng)取何值時，四邊形的面積？并求出這個最大值.
【答案】(1)
(2)，最大值為

【分析】（1）先根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；
（2）先根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【解析】（1）在中，由余弦定理得
，
四邊形的面積為
；
（2）在中，
由余弦定理得，
所以四邊形的面積為

，
因為，所以，
當(dāng)，即時，，
所以四邊形面積的最大值為.
20．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)若，求.
(2)求的取值范圍；
（可能運用的公式有
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，得到，計算得到答案.
（2）根據(jù)余弦定理得到，代入計算根據(jù)均值不等式得到，得到答案.
【解析】（1），
則，
即，展開得到，
，，故，，故，
.
（2），則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.
21．已知的夾角為，
(1)求的值；
(2)當(dāng)為何值時，.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式及向量的模公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量垂直的條件即可求解.
【解析】（1）因為的夾角為，
所以.
所以.
（2）由（1）知，，，
因為，
所以，即，
所以，解得.
所以當(dāng)時，.
22．在直角坐標(biāo)系中，向量，，，，其中，，.
(1)若 ，，三點共線，求實數(shù)的值；
(2)若四邊形為菱形，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù) ，，三點共線，可得共線，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列式計算，可得答案；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合向量模以及向量的線性運算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.
【解析】（1）由已知得，，
因為 ，，三點共線，共線，
所以；
（2）,,
由四邊形為菱形得，即，
即①，
由菱形得,
將代入①，解得，
所以.
23．設(shè)兩個向量滿足，
(1)求方向的單位向量；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)，求得的坐標(biāo)和模后求解；
（2）根據(jù)向量與向量的夾角為鈍角，由，且向量不與向量反向共線求解.
【解析】（1）由已知，
所以，
所以，
即方向的單位向量為；
（2）由已知，，
所以，
因為向量與向量的夾角為鈍角，
所以，且向量不與向量反向共線，
設(shè)，則，解得，
從而，
解得.
24．如圖，在中，，點為中點，點為上的三等分點，且靠近點，設(shè)，．

(1)用，表示，；
(2)如果，，且，求BC．
【答案】(1)；；
(2)

【分析】（1）利用向量的加減法法則結(jié)合圖形求解；
（2）先求得，由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得即可.
【解析】（1）因為，點為中點，點為的三等分點，且靠近點，
所以，
.
（2）因為，

又因為，所以，
所以，由，可得，
所以的長為.
25．如圖，在菱形中，.

(1)若，求的值；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由題意可知，即可求解；
（2），從而即可求解.
【解析】（1）因為在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）顯然，
所以
①，
因為菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
26．如圖，在長方形中，E為邊DC的中點，F(xiàn)為邊BC上一點，且．，設(shè)，．

(1)試用基底，，表示，，；
(2)若G為長方形內(nèi)部一點，且，求證：E，G，F(xiàn)三點共線．
【答案】(1)；；
(2)證明見解析

【分析】（1），，，計算得到答案.
（2）設(shè)，代入數(shù)據(jù)解得，得到，得到證明.
【解析】（1）；
；
.
（2），，，設(shè)，
，
即，解得，故，，
故三點共線.
27．等邊三角形，邊長為2，為的中點，動點在邊上，關(guān)于的對稱點為．

(1)若為的中點，求．
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用平行四邊形法則表示向量，然后利用向量數(shù)量積計算即可；
（2）利用已知條件求出的值，根據(jù)關(guān)于的對稱點為，得，
然后計算，由于動點在上，當(dāng)時，取最小值，當(dāng)與重合時，取最大值，即可求得的取值范圍.
【解析】（1）因為為中點，
所以.
因為為中點，
所以，
所以
.
（2）因為等邊三角形，邊長為2，為中點
所以為，
因為關(guān)于的對稱點為，
所以，
所以
，
因為動點在上，
所以當(dāng)時，取最小值，即，
當(dāng)與重合時，取最大值，即，
所以，
所以的取值范圍為.
28．如圖所示，在中，是邊的中點，在邊上，與交于點．

(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由三點共線，以及三點共線結(jié)合共線定理得出的值；
（2）由得出，進而得出，結(jié)合得出的值．
【解析】（1）
因為，所以，
因為三點共線，所以①
又，所以②
由①②可得，

（2）設(shè)，

所以，解得
所以.

又，所以，
即
29．如圖，在正方體中，分別為，AB中點．

(1)求證：平面；
(2)求異面直線EF與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】取的中點M，連接，推導(dǎo)出，利用線面平行的判定定理即可證明平面；
由可知為異面直線EF與所成角，從而利用余弦定理求解即可.
【解析】（1）證明：取的中點M，連接，

在中，因為分別為的中點，所以且，
又且，所以且，
所以四邊形MEFA為平行四邊形，有，
又平面平面，
所以平面；
（2）不妨設(shè)正方體棱長為2，
由可知為異面直線EF與所成角，
在中，已知，
由余弦定理得，
所以異面直線EF與所成角的余弦值為
30．如圖，正四棱錐的高，，，為側(cè)棱的中點．

(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）計算出點到底面的距離以及的面積，再利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.
【解析】（1）證明：因為四邊形為正方形，，則為的中點，
因為為的中點，則，
又因為平面，平面，所以，平面.
（2）解：在正四棱錐中，為底面的中心，則底面，
因為為的中點，則點到平面的距離為，
，
因此，.
31．如圖，直四棱柱的底面是邊長為的菱形，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).

【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）根據(jù)給定條件，求出，再作出直線與平面所成的角，在直角三角形中計算作答.
【解析】（1）在直四棱柱中，平面，平面，則，
四邊形為菱形，則，而，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）令，連接，如圖，

平面，平面，則，由（1）知，，平面，
因此平面，又平面，于是得，而平面平面，
平面平面，平面，則平面，而平面，有，即，
菱形中，，，則，，令，
則，由得，令，連，
過M作交于N，則有平面，連，則是直線與平面所成的角，
，顯然，則，
又，因此，，
所以與平面所成角的正弦值是.
【點睛】思路點睛：定義法求直線與平面所成的角，先找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；再計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．
32．如圖，四棱錐中，平面，，．過點作直線的平行線交于為線段上一點．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成二面角的大?。?br /> 【答案】(1)證明過程見解析
(2)

【分析】（1）證明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故證明面面垂直；
（2）作出輔助線，找到∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小.
【解析】（1）因為平面，AB平面ABCD，
所以PA⊥AB，
因為，
所以⊥AD，
因為PAAD=A，平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因為CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因為CF平面CFG，
所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因為，，
由勾股定理得：，則∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，
故，，，
過點B作BE⊥PC于點E，連接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
則，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因為，所以DE⊥PC，
所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
故平面與平面所成二面角的大小為.

33．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點在棱上，且．

(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
(3)求四面體的體積．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)﹒

【分析】(1)證明AC⊥平面PBD即可；
(2)連接OE，證明是二面角的平面角，證明PD⊥OE，利用幾何關(guān)系求出OE，根據(jù)即可求得答案；
(3)求出PE、ED、E到底面ABCD的距離，再利用即可求解．
【解析】（1）∵平面，平面ABCD，∴，
∵在菱形中，，且，BD、PO平面PBD，
∴平面，∵AC平面ACE，∴平面平面；
（2）連接，則平面平面=OE，

由(1)知平面，則，OC⊥PD，
故是二面角的平面角．
∵，CE∩OE＝E，CE、OE平面OCE，
∴PD⊥平面OCE，∴⊥OE．
在菱形中，，，則△ABC是等邊三角形，
則易知，
又，∴，
故，
∴，
即二面角的余弦值為．
（3）由(2)可知，PE=，ED＝PD－PE＝，
∵PO⊥底面ABCD，∴點到底面的距離為E到直線BD的距離，為，
而，
．
34．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，點E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G為AE中點.

(1)求證：DG⊥平面ABCE；
(2)求四棱錐D-ABCE的體積；
(3)在線段BD上是否存在點P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，

【分析】(1)由平面平面ABCE，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理推證出平面，(2)求得棱錐的高，再結(jié)合棱錐的體積公式，即可求得結(jié)果；(3) 過點C作交AB于點F，過點F作交DB于點P，通過證明平面//平面證明CP//平面ADE，即可求得線段之比.
（1）
因為G為AE中點，，所以．
因為平面平面ABCE，平面平面，
平面ADE，所以平面ABCE．
（2）
在直角三角形ADE中，∵AD＝DE＝2，∴AE＝2，∴DG=AE＝.
又梯形的面積
所以四棱錐D-ABCE的體積為
；
（3）
過點C作CF∥AE交AB于點F，則AF：FB＝1：3.

過點F作FP//AD交DB于點P，連接PC，則DP：PB＝1：3.
又因為CF//AE，AE平面ADE，CF平面ADE，所以CF//平面ADE.
同理FP//平面ADE.
又因為CF∩PF＝F，CF平面PFC，PF平面PFC，
所以平面PFC//平面ADE.
因為CP平面PFC，所以CP//平面ADE.
所以在BD上存在點P，使得CP∥平面ADE，且.
35．如圖在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，為直角三角形，其中D為直角頂點，.E?F?G?H分別是線段???上的動點，且四邊形為平行四邊形.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)二面角的平面角為，求在區(qū)間變化的過程中，線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；
(3)設(shè)，且平面平面，則當(dāng)為何值時，多面體的體積恰好為？
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).

【分析】（1）先通過線面平行的判定定理，證得平面，通過線面平行的性質(zhì)定理，證得，由此證得平面；
（2）畫出為、時的投影，由此判斷出線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域，進而求得區(qū)域的面積；
（3）先求得三棱錐的面積為，通過分割的方法，得到，分別求得與的關(guān)系式，再由列方程，解方程求得的值.
【解析】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴．
而面，面，∴面．而面，面面，
∴∥．而面，面，
∴∥平面．
（2）∵，∴在平面上的投影滿足，即在線段的中垂線上．
如圖所示，將補成邊長為的正，
當(dāng)二面角為角時，即點在平面上，此時為，
當(dāng)二面角為角時，此時為中點，
故在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域為，而，
故線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積為；

（3）取中點，連接OD，則，
又平面平面，平面平面，面，
則平面，平面．
所以，
是邊長為2的等邊三角形，為直角三角形，其中D為直角頂點，，所以，，根據(jù)勾股定理，∴．
所以．
而多面體的體積恰好為，即多面體的體積恰為四面體體積的一半．
連接．設(shè)F到面AEH的距離為，C到面ABD的距離為 ，A到面DGH的距離為，A到面BCD的距離為，
，
∴．
，
∴．
∴，
∴，整理：，即，
解得：（舍去）．

36．在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率.
【答案】(1)47.9
(2)0.89

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求值即可；
（2）由頻率分布直方圖即可得到該區(qū)間的患疾病的概率.
【解析】（1）設(shè)平均年齡為，則由頻率分布直方圖可得：

從而估計本地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為47.9歲.
（2）由頻率分布直方圖可知患病年齡超過20歲低于70歲的概率為：
從而估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在該區(qū)間的概率為0.89.
37．期末考試結(jié)束后，某校從高一1000名學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計他們數(shù)學(xué)成績，成績?nèi)拷橛?5分到145分之間，將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分數(shù)分布直方圖的一部分.

(1)求第七組的頻率；
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計該校的1000名學(xué)生這次考試成績的平均分；
(3)若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機抽取2名，求他們的分差的絕對值大于10分的概率.
【答案】(1)
(2)（分）
(3)

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1求解即可；
（2）根據(jù)求解即可；
（3）由頻率分布直方圖知樣本成績屬于第六組的有（人），設(shè)為，樣本成績屬于第八組的有（人），設(shè)為，，再用列舉法求解即可.
【解析】（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：；
（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的1000名學(xué)生這次考試成績的平均分為：（分）；
（3）由頻率分布直方圖知，
樣本成績屬于第六組的有（人），設(shè)為，
樣本成績屬于第八組的有（人），設(shè)為，，
從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機抽取2名，有
，，，，，
，，，，共10種，
其中他們的分差得絕對值大于10分包含的基本事件有
，，，
，，共6種，
所以他們的分差的絕對值大于10分的概率.
38．足球號稱世界第一大體育運動，2022卡塔爾世界杯剛剛落下帷幕．主辦方為了調(diào)查球迷對本次世界杯的滿意度，從來自本地（A地區(qū)）和外地（B地區(qū)）的球迷中，分別隨機調(diào)查了20名球迷，得到他們對本屆世界杯的滿意度評分，如莖葉圖所示：

(1)設(shè)表示A地區(qū)20名球迷滿意度的方差，表示B地區(qū)20名球迷滿意度的方差，則______（用“”或“”填空，不要求寫出計算過程）；
(2)計算B地區(qū)的分位數(shù)；
(3)根據(jù)滿意度評分，將滿意度從低到高分為三個等級：
滿意度評分
低于70分
70分到89分
不低于90分
滿意度等級
1級（不滿意）
2級（滿意）
3級（非常滿意）
從A地區(qū)和B地區(qū)分別隨機抽取1名球迷，記事件C：“A地區(qū)球迷的滿意度等級高于B地區(qū)球迷的滿意度等級”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用調(diào)查樣本的頻率估計地區(qū)總體概率，求C的概率．
【答案】(1)
(2)87
(3)0.44

【分析】（1）根據(jù)莖葉圖的知識，發(fā)現(xiàn)A地區(qū)數(shù)據(jù)更集中，方差更小.
（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可求解.
（3）利用事件的相互獨立性和互斥即可求事件發(fā)生的概率.
【解析】（1）根據(jù)莖葉圖發(fā)現(xiàn)A地區(qū)數(shù)據(jù)更集中，所以；
（2）設(shè)B地區(qū)的20個數(shù)據(jù)由小到大依次為，，…，，
由，得分位數(shù)等于．
（3）設(shè)事件分別表示抽取A地區(qū)1名球迷的滿意度為i級，則兩兩互斥，
設(shè)事件分別表示抽取B地區(qū)1名球迷的滿意度為j級，則兩兩互斥，且有與相互獨立，由題意得，，，，，，
又有，且，，互斥，
故
．
39．近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，語、數(shù)、英三門為必考科目，剩下三門為選考科目（物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理）．選考科目采用賦分”，即原始分不直接使用，而是按照學(xué)生在本科目考試的排名來劃分等級，并以此打分得到最后的得分，假定某省規(guī)定：選考科目按考生原始分數(shù)從高到低排列，按照占總體15%，35%，35%，13%和2%劃定A、B、C、D、E五個等級，并分別賦分為90分、80分、70分、60分和50分．該省某高中高一（1）班（共40人）進行了一次模擬考試選考科目全考，單科全班排名，（已知這次模擬考試中歷史成績滿分100分）的頻率分布直方圖和地理成績的成績單如下所示，李雷同學(xué)這次考試地理70多分．

地理成績
40
44
43









52
53
53









61
61
62
63
64
65






71
72
73
73
73
74
75
75
76
76
77
78
82
83
83
85
85
85
86
86
88
88
89

91
92
93
93
96








(1)采用賦分制前，求該班同學(xué)歷史成績的平均數(shù)與中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果精確到0.01）；
(2)采用賦分制后，若李雷同學(xué)地理成績的最終得分為80分，那么他地理成績的原始分的所有可能值是多少?
(3)若韓梅同學(xué)必選歷史，從地理、政治、物理、化學(xué)、生物五科中等可能地任選兩科，則她選考科目中包含地理的概率是多少?
【答案】(1)平均數(shù)76.5，中位數(shù)為77.14.
(2)可能的原始分數(shù)為76,77,78.
(3)

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)，先找出中位數(shù)所在的組，設(shè)出來，列出方程解出即可；
（2）計算成績應(yīng)該在名和名之間，即到之間，得到分數(shù)；
（3）列舉所有情況，統(tǒng)計滿足條件的個數(shù)，得到概率；
【解析】（1）由頻率分布直方圖知，采用賦分制前，該班同學(xué)歷史成績的平均數(shù)為：
（分），
由，
所以該班同學(xué)歷史成績的中位數(shù)在70與80，設(shè)為，
則，
（2）采用賦分制后，李雷同學(xué)地理成績的最終得分為80分，
，，
故成績在名和名（包含7、20名）之間，即到之間，
又因為其地理70多分，
故可能的原始分數(shù)為76,77,78.
（3）記地理、政治、物理、化學(xué)、生物分別為，
共有10種情況，
滿足條件的有4種，故所求概率為：.
40．近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種流行的營銷形式．某直播平臺800個直播商家，對其進行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．

(1)該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機抽取40個直播商家進行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的40個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請根據(jù)頻率分布直方圖計算下面的問題；
（?。┕烙嬙撝辈テ脚_商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點値作代表）；
（ⅱ）若將平均日利潤超過420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)．
【答案】(1)小吃類16家，玩具類4家；
(2)（i）中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；
（2）128.

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計算即可；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可；
（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)來估計總體中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)即可.
【解析】（1），，
所以應(yīng)抽取小吃類16家，玩具類4家.
（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)中位數(shù)為，因為，，所以，解得，
平均數(shù)為，
所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.
（ii）,
所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為128.
41．某校團委舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？
(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
【答案】(1)派乙參賽贏得比賽的概率更大
(2)

【分析】（1）記事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”，由表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”求解即可；
（2）記表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”由（1）知，，由表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，且求解即可.
【解析】（1）記事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”，
事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”，
所以表示“甲贏得比賽”，，
表示“乙贏得比賽”，，
因為，所以派乙參賽贏得比賽的概率更大；
（2）記表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”
由（1）知，，
所以表示“兩人中至少有一個贏得比賽”，
所以，
所以兩人至少一人贏得比賽的概率為.
42．年月日中國神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，這標(biāo)志著此次載人飛行任務(wù)取得圓滿成功．在太空停留期間，航天員們開展了兩次“天宮課堂”，在空間站進行太空授課，極大的激發(fā)了廣大中學(xué)生對航天知識的興趣．為此，某班組織了一次“航空知識答題競賽”活動，競賽規(guī)則是：兩人一組，兩人分別從3個題中不放回地依次隨機選出個題回答，若兩人答對題數(shù)合計不少于題，則稱這個小組為“優(yōu)秀小組”．現(xiàn)甲乙兩位同學(xué)報名組成一組，已知3個題中甲同學(xué)能答對的題有個、乙同學(xué)答對每個題的概率均為，并且甲、乙兩人選題過程及答題結(jié)果互不影響．
(1)求甲同學(xué)選出的兩個題均能答對的概率；
(2)求甲乙二人獲“優(yōu)秀小組”的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用古典概率模型即可求解;(2)根據(jù)古典概型和事件的獨立性對獲“優(yōu)秀小組”分類討論即可.
【解析】（1）設(shè)三個題中甲能答對的題編號為,答錯的題編號為1,
則樣本空間,
共有6個樣本點, 兩個題均能答對的有2個樣本點,
由古典概型的概率公式可得兩個題均能答對的概率為.
（2）設(shè)表示“甲答對的題數(shù)為”，表示“乙答對的題數(shù)為”，
表示“甲、乙二人獲得優(yōu)秀小組”．
由(1)知由古典概型得或．
由事件的獨立性，，．
由題意，．
而事件、、兩兩互斥，事件與相互獨立，，

．
所以，甲、乙二人獲“優(yōu)秀小組”的概率為．
43．某班同學(xué)利用春節(jié)進行社會實踐，對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．
序號
分組（歲）
本組中“低碳族”人數(shù)
“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55, 60)
15
0.3

（一）人數(shù)統(tǒng)計表???????????????（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖
(1)在答題卡給定的坐標(biāo)系中補全頻率分布直方圖，并求出、、的值；
(2)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動．若將這6個人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．
【答案】(1)頻率分布直方圖見解析；，，；
(2)

【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長方形面積和為1得第二組的頻率，除以組距得高，再補全直方圖，根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)求得、、
（2）先根據(jù)分層抽樣確定兩區(qū)間抽取人數(shù)，利用列舉法確定總的基本事件數(shù)，以及歲中被抽取的人恰好又分在同一組的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.
（1）
結(jié)合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，
所以第二組高為．故補全頻率分布直方圖如下：

結(jié)合人數(shù)統(tǒng)計表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數(shù)為，頻率為，所以；
因為第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為，所以；
因為第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．
（2）
因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，
所以采用分層抽樣法抽取6人，則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人．
設(shè)年齡在中被抽取的4個人分別為：；
年齡在歲中被抽取的2個人分別為：；
則總的基本事件有：,,,,,……，共20個；
記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組” 為事件C，而事件C包含的基本事件有8個；
所以.
【點睛】頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1; 頻率分布直方圖中組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù); 頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應(yīng)概率之比,也等于對應(yīng)頻數(shù)之比.



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2023-2024學(xué)年特訓(xùn)06 期中解答題（江蘇精選歸納56道，第9-12章）-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（蘇教版必修第二冊，江蘇專用）：

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特訓(xùn)10 期末解答題匯編（題型歸納）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末重難點沖刺（蘇教版2019必修第二冊）：

這是一份特訓(xùn)10 期末解答題匯編（題型歸納）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末重難點沖刺（蘇教版2019必修第二冊），文件包含特訓(xùn)10期末解答題匯編題型歸納原卷版docx、特訓(xùn)10期末解答題匯編題型歸納解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共77頁， 歡迎下載使用。

特訓(xùn)09 期末選填題匯編66道（題型歸納）-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（蘇教版必修第二冊，江蘇專用）：

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