?特訓(xùn)09 期末選填題匯編66道（題型歸納）
一、單選題
1．若，則（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義即可.
【解析】，
.
.
故選：B.
2．（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由結(jié)合平方差公式以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.
【解析】，即.
所以.
所以
.
故選：B
3．復(fù)數(shù)，將復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（????）
A． B． C．1 D．i
【答案】A
【分析】求出復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)向量的終點(diǎn)所在角終邊，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所對(duì)角終邊，再求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)作答.
【解析】復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)向量的終點(diǎn)在坐標(biāo)軸的第四象限的角平分線上，
將此角平分線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得x軸的非負(fù)半軸，令點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
由得：，即，點(diǎn)所對(duì)復(fù)數(shù)為，
所以將復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故選：A
4．已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等變換，將問題由弦化切計(jì)算即可.
【解析】，分子分母同時(shí)除以可得：
=5，
故選：A.
5．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用和角、差角公式（輔助角公式）、二倍角公式、誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.
【解析】因?yàn)椋?br /> ，
，
因?yàn)椋?br /> 所以．
故選：B.
6．已知，，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正切的倍角公式和和角公式計(jì)算即可.
【解析】由已知可得，
所以.
故選：B
7．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角恒等變換整理得，結(jié)合正弦函數(shù)求最值.
【解析】由題意可得：，
∵，則，
當(dāng)，即，取到最小值；
當(dāng)，即，取到最大值；
故選：B.
8．已知函數(shù)，若函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，由可計(jì)算出的取值范圍，再根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【解析】因?yàn)?br />
，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得.
故選：D.
9．在中，，，邊上的高為，則（????）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】設(shè)邊上的高為，解三角形求，再由余弦定理求.
【解析】作，垂足為，
由已知可得，，，
所以，故，
由余弦定理可得，
又，，，
所以，
所以，
故選：D.

10．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則一定是(????)
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合邊的關(guān)系進(jìn)行判斷.
【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 即，所以.
故選：D.
11．如圖，某公園有一個(gè)半徑為2公里的半圓形湖面，其圓心為O，現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊取點(diǎn)C、D、E，且，在扇形區(qū)域內(nèi)種植蘆葦，在扇形區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目，在四邊形區(qū)域內(nèi)種植荷花，并在湖面修建棧道和作為觀光線路.當(dāng)最大時(shí)，游客有更美好的觀賞感受，則的最大值為（????）

A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】設(shè)，利用三角恒等變換、余弦定理求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【解析】設(shè)，則，
，則、為正數(shù).
在三角形中，連接，由余弦定理得：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以,
由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
也即時(shí)，取得最大值為.

故選：C
12．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—1261）提出“三斜求積”求三角形面積的公式．以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上．余四約之，為實(shí)．一為從隅開方得積．如果把以上這段文字寫成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所對(duì)邊長分別為，其中為方程的兩根，，則的面積為（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由根與系數(shù)關(guān)系及三角形面積公式求的面積即可.
【解析】由題意，則.
故選：C
13．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，求得，得到，求得，再由，求得的值，由求得的值，結(jié)合，即可求解.
【解析】因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得，
因?yàn)?，可得?br /> 又因?yàn)椋傻茫?br /> 代入上式，可得，
因?yàn)椋傻?，所以?br /> 又因，所以，
因?yàn)椋?，所以?br /> 由，可得，則，
所以.
又由.
故選：B.
14．下列向量中不是單位向量的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)單位向量的定義，一一判斷各選項(xiàng)中的向量，即得答案.
【解析】由于，故，即為單位向量；
，則，故不是單位向量；
，則， 為單位向量；
根據(jù)單位向量的定義可知為單位向量，
故選：B
15．已知是邊長為2的等邊三角形，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘向量的幾何意義，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及圖象，即可判斷A、B、C項(xiàng)；根據(jù)幾何關(guān)系得出，，根據(jù)數(shù)量積的定義，即可得出D項(xiàng).
【解析】
對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，
所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，分別是邊，的中點(diǎn)，所以，且.
又因?yàn)榉聪颍?，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，分別是邊，，的中點(diǎn)，
所以，且,，且，
所以，，.
因?yàn)椋?，所以?br /> 所以，
所以，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
16．下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（????）
①己知非零向量，，，若，，則
②已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則k的取值范圍是
已知向量，，則向量在向量上的投影向量為
④已知，，，可以作為平面向量的一組基底
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的共線定理和所成的角，以及投影向量的定義、基底的定義，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷真假性即可.
【解析】對(duì)于①，非零向量，，，若，，則，，，
所以，，所以，命題①正確；
對(duì)于②，，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，
則，且與不共線，
所以且，所的取值范圍是，命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，向量，，
則向量在向量上的投影向量為，命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：，，則，
所以，共線，不能作為平面向量的一組基底，故④錯(cuò)誤.
所以真命題只有1個(gè)，序號(hào)為①.
故選：A.
17．已知向量，，則下列說法正確的是（????）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)與方向相同時(shí)，
C．與角為鈍角時(shí)，則t的取值范圍為
D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積、平行、垂直及投影向量的坐標(biāo)表示依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.
【解析】對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)，有，解得，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，，即，與方向相反，故B錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，與方向相反，
當(dāng)，解得，
所以與角為鈍角，則，且，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，有時(shí)，，
所以在上的投影向量為，
故D正確.
故選：D.
18．如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量線性運(yùn)算可得，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值的求解，由此可得結(jié)果.
【解析】設(shè)，則，
是的中點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：B.
19．設(shè)有兩條不同的直線m、n和兩個(gè)不同的平面、，下列命題中錯(cuò)誤的命題是（????）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面的位置關(guān)系判斷C；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷D.
【解析】對(duì)于A，若，，則可能平行、異面或相交，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，，，，不一定為相交直線，
只有當(dāng)為相交直線時(shí)，才可得到，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，可能是，推不出一定是，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，D正確，
故選：ABC
20．已知一個(gè)裝滿水的圓臺(tái)容器的上底面半徑為5，下底面半徑為1，高為，若將一個(gè)鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入鐵球的表面積的最大值為（????）
A．32π B．36π C．48π D．50π
【答案】D
【分析】確定表面積最大時(shí)鐵球的特性，作出圓臺(tái)及球的軸截面，借助圓的切線性質(zhì)及直角三角形求出球半徑作答.
【解析】依題意，鐵球的表面積最大時(shí)，該球與圓臺(tái)上底面和側(cè)面相切，顯然鐵球球心在圓臺(tái)的軸線上，
過圓臺(tái)的軸作平面截面圓臺(tái)得等腰梯形，截球得球的大圓，圓與都相切，如圖，

令的中點(diǎn)為，過點(diǎn)的圓的直徑另一端點(diǎn)為，過作圓的切線交分別于，
則，即圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，過作的垂線，垂足分別為，
令圓切于，于是,，令圓的半徑為，，
顯然，又，則有，而，
因此，又，即，
中，，于是，解得，
所以可放入鐵球的表面積的最大值.
故選：D
21．如圖，正方體的棱長為1，動(dòng)點(diǎn)在直線上，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（????）

A．∥ B．平面
C． D．存在點(diǎn)，使得平面∥平面
【答案】D
【分析】對(duì)于A，可證FM∥AC與∥AC，即可得出結(jié)果；對(duì)于B，，，可得，再結(jié)合線面垂直的定義與判定定理分析判定；對(duì)于C多次利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，可證與相交，則平面BEF與平面CC1D1D相交．
【解析】對(duì)A，連接AC，∵F，M分別是AD，CD的中點(diǎn)，則FM∥AC
又∵∥，，則為平行四邊形，即∥AC
∴FM∥，A正確；

對(duì)B，連接，∵，，即
∴，即

又∵⊥平面ABCD，平面ABCD，則，
因?yàn)?，平面?br /> ∴BM⊥平面，B正確；
對(duì)C，分別連接，，，
平面，平面，
，，，且平面，
平面，平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面，，
平面，
平面，平面，，故C正確；

對(duì)D，∵F是AD的中點(diǎn)，則∥，=，則為梯形
∴與相交，則平面BEF與平面相交，故D不正確；
故選：D．
22．有一組樣本數(shù)據(jù)如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
則其25%分位數(shù)、中位數(shù)與75%分位數(shù)分別為（????）
A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82
【答案】D
【分析】由百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.
【解析】因?yàn)?，所以樣本?shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)據(jù)即66；
中位數(shù)為：，
因?yàn)椋詷颖緮?shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第十七個(gè)數(shù)據(jù)即82.
故選：D.
23．某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如下表：
鞋號(hào)
34
35
36
37
38
39
40
41
日銷量/雙
2
5
9
16
9
5
3
2
如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計(jì)量中對(duì)你來說最重要的是（　　）
A．平均數(shù) B．眾數(shù)
C．中位數(shù) D．極差
【答案】B
【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義進(jìn)行選擇.
【解析】鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪個(gè)鞋號(hào)的鞋銷量最大，由表可知，鞋號(hào)為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，所以這組數(shù)據(jù)最重要的是眾數(shù)．
故選：B.
24．某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分?jǐn)?shù)為70，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得80分卻記為50分，乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式，比較數(shù)據(jù)的變化，即可求得答案.
【解析】甲少記30分，乙多記30分，則總分不變，由此知平均分不發(fā)生變化.
設(shè)其余46名學(xué)生的成績分別為，
則原方差，
更正后方差
，
故選：B.
25．已知數(shù)據(jù)是某市普通職工個(gè)人的年收入，設(shè)這個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，如果再加上世界首富的年收入，那么關(guān)于這個(gè)數(shù)據(jù)的說法正確的是（　?。?br /> A．平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變
B．平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大
C．平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變
D．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變
【答案】B
【分析】根據(jù)極端值對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)和方差的影響直接判斷即可.
【解析】插入的時(shí)大的極端值，則平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不發(fā)生變化，方差因?yàn)閿?shù)據(jù)更加分散而變大，ACD錯(cuò)誤，B正確.
故選：B.
26．已知事件A與事件B是互斥事件，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、必然事件的概念可得答案.
【解析】因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，則不一定是互斥事件，所以不一定為0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以，則，而不一定為0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，不一定是對(duì)立事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
27．如圖，隨機(jī)事件A，B互斥，記分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么（　?。?br />
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．與一定互斥
D．與一定不互斥
【答案】B
【分析】用集合的思想看事件的Venn圖即可的解.
【解析】由Venn圖可知A，B互斥，即為不可能事件，∪是必然事件，
故選：B.
28．出租車司機(jī)老王從飯店到火車站途中經(jīng)過六個(gè)交通崗，已知各交通崗信號(hào)燈相互獨(dú)立.假設(shè)老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是，則他遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.
【解析】因?yàn)樗緳C(jī)老王在第一、二個(gè)交通崗未遇到紅燈，
在第三個(gè)交通崗遇到紅燈之間是相互獨(dú)立的，且遇到紅燈的概率都是，
所以未遇到紅燈的概率都是，
所以遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為.
故選：B
29．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題．已知他答對(duì)這三道題的概率分別為a，a，，且各題答對(duì)與否互不影響，若他恰好能答對(duì)兩道題的概率為，則他三道題都答錯(cuò)的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，并利用D，E，F(xiàn)構(gòu)造相應(yīng)的事件，根據(jù)概率加法公式與乘法公式求解相應(yīng)事件的概率.
【解析】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨(dú)立，
且.
恰好能答對(duì)兩道題為事件，且兩兩互斥，
所以

，
整理得，他三道題都答錯(cuò)為事件，
故.
故選：C.
30．從高一（男、女生人數(shù)相同,人數(shù)很多）抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件A為“三名學(xué)生都是女生”，事件B為“三名學(xué)生都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，事件D為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下錯(cuò)誤的是（????）
A． B．
C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件C對(duì)立
【答案】B
【分析】由獨(dú)立乘法公式求，根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對(duì)立事件的概念判斷B、C、D即可.
【解析】由所抽學(xué)生為女生的概率均為，則，A正確；
兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件，C正確；
事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，
其對(duì)立事件為，D正確；
事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，
與事件含義相同，故，B錯(cuò)誤；
故選：B.

二、多選題
31．下列有關(guān)復(fù)數(shù)的敘述正確的是（????）
A．若，則 B．若，則的虛部為
C．若，則不可能為純虛數(shù) D．若復(fù)數(shù)z滿足，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念判斷各選項(xiàng)即可．
【解析】對(duì)A，，所以，A正確；
對(duì)B，，虛部是，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，若，則是實(shí)數(shù)，若，則是虛數(shù)，不是純虛數(shù)，C正確；
對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)椋?br /> 由得，則，所以D正確.
故選：ACD．
32．已知復(fù)數(shù)滿足，，x，，，所對(duì)應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（????）
A．的共輒復(fù)數(shù)為 B．當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)
C．若，則 D．若，則
【答案】CD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)以及虛部的定義可判斷A，B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及向量的垂直平行坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即可判斷C，結(jié)合復(fù)數(shù)模長公式即可判斷D.
【解析】A選項(xiàng)：由于，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
,B選項(xiàng)：當(dāng)當(dāng)時(shí)，，若，則為為實(shí)數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：易知，，又，則，即，故選項(xiàng)C正確;
D選項(xiàng)：由于，則，
，
，
故，選項(xiàng)D正確．
故選：CD.
33．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（????）
A． B．
C． D．若，則
【答案】ABD
【分析】利用和差公式和同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算得到ABD正確，計(jì)算得到，C錯(cuò)誤，得到答案.
【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：
，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：，則，
故，故，正確.
故選：ABD
34．關(guān)于函數(shù)，則下列命題正確的是（????）
A．函數(shù)的最大值為2
B．是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸
C．點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】AC
【分析】由題可得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.
【解析】因?yàn)椋?br /> 對(duì)A，由可得函數(shù)的最大值為2，故A對(duì)；
對(duì)B，，故B錯(cuò)；
對(duì)C，，故C對(duì)；
對(duì)D，，在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，錯(cuò).
故選：AC.
35．設(shè)函數(shù)，則（????）
A．的一個(gè)周期為 B．在上單調(diào)遞增
C．在上有最大值 D．圖象的一條對(duì)稱軸為直線
【答案】BD
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得，可判斷選項(xiàng)A；利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)B和C；利用誘導(dǎo)公式化簡可得，可判斷選項(xiàng)D．
【解析】對(duì)A：，故不是的周期，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：令，則，
則，
∵，則，
∴在上單調(diào)遞增，且，
又∵在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，B正確；
對(duì)C：∵，則，
∴，則，
又∵在上單調(diào)遞增，且，
∴在上最大值為，
即在上有最大值，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：，故圖象的一條對(duì)稱軸為直線，D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
若，則關(guān)于直線對(duì)稱，特別地，則關(guān)于直線對(duì)稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，特別地，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
36．若函數(shù)，則（????）
A．函數(shù)的一條對(duì)稱軸為
B．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為
C．函數(shù)的最小正周期為
D．若函數(shù)，則的最大值為2
【答案】ACD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角關(guān)系和二倍角的正、余弦公式化簡可得，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【解析】由題意得，
.
A：當(dāng)時(shí)，，又，
所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故A正確；
B：由選項(xiàng)A分析可知，所以點(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
C：由，知函數(shù)的最小正周期為，故C正確；
D：，所以，故D正確.
故選：ACD．
37．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列判斷正確的是（????）
A．若，則
B．若，則△ABC是鈍角三角形
C．若，，則△ABC面積的最大值是
D．若，則△ABC為直角三角形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，
在三角形中，大角對(duì)大邊，所以，所以A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，
所以，所以為鈍角，故三角形是鈍角三角形，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，由余弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
所以三角形面積的最大值是，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，若，則，
，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC
38．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（????）
A．
B．若為斜三角形，則
C．若，則是銳角三角形
D．若，則一定是等邊三角形
【答案】ABD
【分析】由正弦定理和比例性質(zhì)可以判斷A，D選項(xiàng)，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和公式判斷B選項(xiàng)，由平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀判斷C選項(xiàng)，
【解析】對(duì)于A，由正弦定理和比例性質(zhì)得，故A正確；
對(duì)于B，由題意，，則，
所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以C為鈍角，是鈍角三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，且A，B，，所以，所以為等邊三角形，故D正確．
故選:ABD．
39．下列說法中正確的是（????）
A．非零向量和滿足，則與的夾角為
B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．若，則在方向上的投影向量的模為
D．若，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】BC
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再求出，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算即可判斷A，由即可判斷B，根據(jù)投影的定義判斷C，根據(jù)且與不能同向，即可得到不等式組，解得即可判斷D.
【解析】對(duì)于A：由，，
所以，即，
所以，
所以，所以與的夾角為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由，，所以，則與共線，不能作為平面向量的基底，故B正確；
對(duì)于C：，則或，則在方向上的投影向量的模為，故C正確；
對(duì)于D：由，，則，
若與的夾角為銳角，則且與不能同向，
即，解得且，故D正確；
故選：BC．
40．在中，，，，點(diǎn)為線段上靠近端的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．與的夾角的余弦值為
C． D．的面積為
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算直接判斷即可知A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可求得B錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可求得C正確；由可知D錯(cuò)誤.
【解析】對(duì)于A，為中點(diǎn)，，A正確；
對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，
，
即與夾角的余弦值為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
41．如圖，在中，，，直線AM交BN于點(diǎn)Q，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合三點(diǎn)共線定理逐一判斷即可.
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B和C，因?yàn)锳，M，Q三點(diǎn)共線，由共線定理可知，存在實(shí)數(shù)，
使得，設(shè)，
所以，所以
解得，
，
顯然成立，
因?yàn)?，所以?br /> 故B，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，因此，
由上可知，
，故D錯(cuò)誤．
故選：BC
42．設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（????）
A．若，則點(diǎn)在線段上
B．若，則點(diǎn)是的重心
C．若，則點(diǎn)的軌跡必過的內(nèi)心
D．若，且，則的面積是面積的
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的線性運(yùn)算以及三角形重心的定義可判斷B選項(xiàng)；利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量的線性運(yùn)算以及三角形面積的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，可得，
所以， 點(diǎn)在射線上，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

則，
因?yàn)椋?br /> 此時(shí)點(diǎn)為重心，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br /> 則，

因?yàn)?、分別是與、方向相同的單位向量，
記住，，以、為鄰邊作平行四邊形，
則四邊形為菱形，則平分，且，
即，
此時(shí)，點(diǎn)的軌跡必過的內(nèi)心，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋遥?br /> 所以，且，
設(shè)，則，
即，即，所以，、、三點(diǎn)共線，
又因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，如圖所示：

所以，故D正確.
故選：BCD.
43．已知空間中的平面，直線，，以及點(diǎn)，，，，則以下四個(gè)命題中，不正確的命題是（????）
A．在空間中，四邊形滿足，則四邊形是菱形.
B．若，，則.
C．若，，，，，，則.
D．若和是異面直線，和是平行直線，則和是異面直線.
【答案】ABD
【分析】舉特例即可說明A、D錯(cuò)誤；根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可判斷B；由已知結(jié)合基本事實(shí)2，即可得出C.
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，正四面體的各個(gè)棱長均相等，但顯然不是菱形，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，若，則或與相交，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，即直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，
根據(jù)基本事實(shí)2可知，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，如圖正方體中，和異面，，但是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD.
44．如圖所示，一個(gè)平面圖形的直觀圖為，其中，則下列說法中正確的是（????）

A．該平面圖形是一個(gè)平行四邊形但不是正方形
B．該平面圖形的面積是8
C．該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是
D．以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的體對(duì)角線長為
【答案】BC
【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，由直觀圖得出平面圖形，即可判定；對(duì)于CD根據(jù)幾何體的體積公式和對(duì)角線計(jì)算即可.
【解析】如圖所示將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，AC=4=BD，故該平面圖形為正方形.即A錯(cuò)誤；面積，即B正確；
將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個(gè)圓錐，底面半徑均為2，
故體積，即C正確；
以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實(shí)為長方體，體對(duì)角線長為，即D錯(cuò)誤.
故選：BC

45．如圖，已知正方體的棱長為，則下列選項(xiàng)中正確的有（????）

A．異面直線與的夾角的正弦為
B．二面角的平面角的正切值為
C．正方體的外接球體積為
D．三棱錐與三棱錐體積相等
【答案】ACD
【分析】由知就是異面直線所成的角，求解即可判斷A；連接交于點(diǎn)O，由題意得BD⊥平面，為二面角的平面角，求解可B；正方體外接球的半徑，求出外接球體積可判斷C；由，及三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，可判斷D.
【解析】對(duì)于A，∵，中，就是異面直線所成的角，
，則，A正確；
對(duì)于B，連接交于點(diǎn)O，連接，

∵平面ABCD，BDì平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，ì平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴為二面角的平面角，
在中，，B不正確；
對(duì)于C，∵正方體外接球的半徑，
∴正方體的外接球體積為，C正確；
對(duì)于D，∵，
三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，
故三棱錐與三棱錐體積相等，D正確.
故選：ACD.
46．如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)分別位于兩側(cè)，則（????）

A．
B．平面
C．二面角的平面角的余弦值為
D．多面體的外接球的體積為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題干數(shù)據(jù)可知正棱錐側(cè)棱兩兩垂直，于是可以放進(jìn)正方體，利用正方體的性質(zhì)分析每個(gè)選項(xiàng).
【解析】正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC = 2，
則正三棱錐A-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，正三棱錐D-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，
則正三棱錐可以放到正方體中，
當(dāng)點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)分別位于兩側(cè)時(shí)，
如圖所示，

連接，，如圖所示

A選項(xiàng)，正方體中且，四邊形為平行四邊形，則有
為等邊三角形，則與夾角為，，有與夾角為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，平面BDC ，平面BDC ，平面，選項(xiàng)B正確；
C選項(xiàng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程可知，二面角的平面角是下圖二面角平面角的補(bǔ)角.
取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三線合一，，，
于是二面角的平面角為.
根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，連線經(jīng)過的外心，
根據(jù)正棱錐邊長數(shù)據(jù)可得，，，
即，由余弦定理，，
即二面角平面角的余弦值為，故二面角的平面角的余弦值為，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，體積為，選項(xiàng)D正確；
故選：BCD
47．（多選）對(duì)下面三個(gè)事件最適宜采用的抽樣方法判斷正確的有（????）
①從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；
②一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某班有10人的成績?cè)?10分以上，40人的成績?cè)?0～110分，10人的成績低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況；
③運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道．
A．①②適宜采用分層抽樣 B．②③適宜采用分層抽樣
C．②適宜采用分層抽樣 D．③適宜采用簡單隨機(jī)抽樣
【答案】CD
【分析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的特征進(jìn)行判斷.
【解析】對(duì)于①，從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，不滿足分層抽樣的條件，且樣本容量比較大，適合采用等距抽樣；
對(duì)于②，總體由差異明顯且互不重疊的幾部分組成，若要從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況，適合采用分層抽樣的方法；
對(duì)于③，運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參加決賽的6名同學(xué)安排跑道，具有隨機(jī)性，且樣本容量小，適合用簡單隨機(jī)抽樣．故A，B錯(cuò)誤.
故選：CD.
48．某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．若從第3，4，5組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名志愿者參與廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．應(yīng)從第3，4，5組中分別抽取3人、2人、1人
B．第4組志愿者恰有一人被抽中的概率為
C．第5組志愿者被抽中的概率為
D．第3組志愿者至少有一人被抽中的概率為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)分層抽樣得定義即可判斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計(jì)算即可判斷ABC.
【解析】第3組的人數(shù)有人，
第4組的人數(shù)有人，
第5組的人數(shù)有人，故A正確；
設(shè)第3組的人分別為，第4組的人分別為，第5組的人分別為，
則6人中隨機(jī)抽取2人有，
共15種抽法，
其中第4組志愿者恰有一人被抽中有8種，
則其概率為，故B正確；
第5組志愿者被抽中有5種，
其概率為，故C正確；
第3組志愿者至少有一人被抽中有12種，
其概率為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
49．下列說法中正確的是（　?。?br /> A．?dāng)?shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)是4，6
B．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，4，4的眾數(shù)是4
C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)
D．8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
【答案】BCD
【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的定義和計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【解析】對(duì)于A中，數(shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)為 ，所以A是錯(cuò)誤的，
對(duì)于B中，數(shù)據(jù)1，2，3，4，4，根據(jù)眾數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4，所以B正確；
對(duì)于C中，例如：數(shù)據(jù)2，2，2，2，2中的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是2，所以C正確；
對(duì)于D中，根據(jù)平均數(shù)的定義，可得這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，所以D正確.
故選：BCD.
50．如圖是某電視臺(tái)主辦的歌手大賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中m為數(shù)字0~9中的一個(gè)），則下列結(jié)論不正確的是（　?。?br />
A．甲選手的平均分有可能和乙選手的平均分相等
B．甲選手的平均分有可能比乙選手的平均分高
C．甲選手得分的中位數(shù)比乙選手得分的中位數(shù)低
D．甲選手得分的眾數(shù)比乙選手得分的眾數(shù)高
【答案】ABC
【分析】通過莖葉圖，逐一對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算判斷，從而得到結(jié)果.
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A和B，甲、乙兩位選手得分的莖葉圖中，每個(gè)莖上的葉的數(shù)目相同，
乙的所有葉上的數(shù)字之和是37，甲的所有葉上的數(shù)字之和是20+m

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2023-2024學(xué)年特訓(xùn)06 期中解答題（江蘇精選歸納56道，第9-12章）-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（蘇教版必修第二冊(cè)，江蘇專用）：

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2023-2024學(xué)年特訓(xùn)05 期中選填題（江蘇精選歸納62道，第9-12章）-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（蘇教版必修第二冊(cè)，江蘇專用）：

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特訓(xùn)09 期末選填題匯編66道（題型歸納）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末重難點(diǎn)沖刺（蘇教版2019必修第二冊(cè)）：

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