?一元二次方程
1. 一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般式：.
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4. 一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“△”來表示，即.
（1）當時，一元二次方程有2個不相等的實數根；
（2）當時，一元二次方程有2個相等的實數根；
（3）當時，一元二次方程沒有實數根.
5. 一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
如果一元二次方程的實數根分別為、，則，.
證明：若一元二次方程有兩個實數根，
，
則，
.
一元二次方程的根的判別式都成立，主要應用有以下幾個：
（1）不需要解方程就可以判定方程根的情況；
（2）根據系參數的性質確定根的范圍；
（3）解與根有關的證明題；
（4）已知方程的一個根，不需要解方程求另一個根與參數系數；
（5）已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；
（6）已知方程兩個根，求以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程.
例1：根的判別式的應用
（1）
（2）
【解答】（1）兩個不相等的實數根；（2）兩個實數根.
【解析】（1）在中，，
，
∴方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程是一元二次方程，常數項為0，
無論取任何實數，均為非負數，
，故方程有兩個實數根.
例2：根的判別式的逆運用
關于的一元二次方程.
（1）k為何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）k為何值時，方程有兩個相等的實數根？
（3）k為何值時，方程沒有實數根？
【解答】見解析
【解析】.
（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴，即，解得；
（2）∵方程有兩個相等的實數根，
，即，解得；
（3）∵方程沒有實數根，
，即，解得.
例3：通過根的判別式推理論證
求證：關于的方程沒有實數根.
【解答】見解析
【解析】

∵不論m取任何實數，，∴，即，




鞏固練習
一．選擇題
1． 已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，則方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（　　）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
【解答】B
【解析】∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣1和3.
2． 已知一元二次方程的兩根都滿足，則實數的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】C
【解析】設，
則，
解得.
3． 若x為任意實數，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），則M的最大值為（　　）
A．10 B．84 C．100 D．121
【解答】C
【解析】M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）]?[（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值為100．
4． 已知x，y為實數，且滿足x2﹣xy+4y2＝4，記u＝x2+xy+4y2的最大值為M，最小值為m，則M+m＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】C
【解析】∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2+4y2＝xy+4，
∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，
∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，當且僅當x＝﹣2y，
即，或時等號成立．
∴xy的最小值為，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值為，即．
∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，當且僅當x＝2y，
即或時等號成立．
∴xy的最大值為，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值為，即．
．
或由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．
設xy＝t，若x＝0，則μ＝4；x≠0時，，將代入x2﹣xy+4y2＝4，
得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①
由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．
將代入方程①，解得代入方程①，解得，．
∴xy的最大值為，最小值為．
因此，.
二．填空題
5．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一個根，求a2﹣2012a+2013a2+1的值為　2012?。?br /> 【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一個根，
∴a2﹣2013a+1＝0，
∴a2＝2013a﹣1，
∴原式＝2013a﹣1﹣2012a+20132013a-1+1=a+1a-1
=a2+1a-1
=2013a-1+1a-1
＝2013﹣1
＝2012．
故答案為：2012．
6．已知關于x的方程x2+（a﹣6）x+a＝0的兩根都是整數，則a的值等于　0或16?。?br /> 【解答】解：設兩個根為x1≥x2，
由韋達定理得x1+x2=6-ax1x2=a，
從上面兩式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
∴（x1+1）（x2+1）＝7，
∴x1+1=7x2+1=1或x1+1=-1x2+1=-7，
∴x1=6x2=0或x1=-2x2=-8，
∴a＝x1x2＝0或16．
故答案為：0或16．
7． 已知，則的值等于 ?。?br /> 【解答】
【解析】m2+＝4m﹣3n﹣13
（m﹣2）2+（n+6）2＝0，
則m﹣2＝0，n+6＝0，
所以m＝2，n＝﹣6，
所以．
8． 對于一切正整數n，關于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的兩個根記為an、bn，則＝ ?。?br /> 【解答】
【解析】由根與系數的關系得an+bn＝n+3，an?bn＝﹣3n2，
所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1），
則，
∴原式＝

＝
＝.
9． 已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一個根，求a2﹣2012a+的值為　 ?。?br /> 【解答】2012
【解析】∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一個根，
∴a2﹣2013a+1＝0，
∴a2＝2013a﹣1，
∴原式＝2013a﹣1﹣2012a+＝
＝
＝﹣1
＝2013﹣1
＝2012．
三．解答題
10．當m為整數時，關于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果沒有，請說明理由．
【解答】見解析
【解析】當m為整數時，關于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0沒有有理根．理由如下：
①當m為整數時，假設關于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，則要△＝b2﹣4ac為完全平方數，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，
設△＝n2（n為整數），即（2m﹣1）2+4＝n2（n為整數），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，
∵2m﹣1與n的奇偶性相同，并且m、n都是整數，
所以或，
解得m＝，
②2m﹣1＝0時，m＝（不合題意舍去）．
所以當m為整數時，關于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0沒有有理根．
11．已知關于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝0．
（1）求證：這個方程總有兩個實數根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a＝4，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數根，求△ABC的周長．
【解答】（1）證明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k-12）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵無論k取什么實數值，（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0，
∴無論k取什么實數值，方程總有實數根；

（2）解：∵x=2k+1±(2k-3)2，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵b，c恰好是這個方程的兩個實數根，設b＝2k﹣1，c＝2，
當a、b為腰，則a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k=52，此時三角形的周長＝4+4+2＝10；
當b、c為腰時，b＝c＝2，此時b+c＝a，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的周長為10．
12．已知實數a，b，c滿足：a2+b2+c2+2ab＝1，．又α，β為方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0的兩個實根，試求的值．
【解答】4
【解析】∵a2+b2+c2+2ab＝1，，
∴a2+b2+c2，2ab為方程x2﹣x+＝0的二根，
∴a2+b2+c2＝2ab＝，
由a2+b2+c2＝2ab得（a﹣b）2+c2＝0，
∴或
把兩組值代入原方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0得到的方程相同．
即x2﹣x﹣1＝0，
∴＝α2+β2﹣αβ＝（α+β）2﹣3αβ＝4．
13．已知關于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0
（1）若此方程為一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程為一元二次方程，且有實數根，試求k的取值范圍．
【解答】（1）k＝；（2）﹣1≤k≤2且k≠
【解析】（1）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝；
（2）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0為一元二次方程，且有實數根，得
△＝（2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）≥0，且1﹣2k≠0，k+1≥0，
4k+4+4（1﹣2k）≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，即﹣1≤k≤2，k≠
此方程為一元二次方程，且有實數根，k的取值范圍為﹣1≤k≤2且k≠．
14．已知關于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程有兩根分別為x1，x2，且滿足1x1+1x2-1x1+x2=2，求k的值．
【解答】（1）證明：Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×（﹣1）＝k2+4，
∵k2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；
（2）解：根據題意可得，
x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣1，
∵1x1+1x2-1x1+x2=2，即x1+x2x1x2-1x1+x2=2，
∴k+1k=2，
解得k＝1，
經檢驗，k＝1是原方程的解．
故k的值為1．
15．先閱讀后解題．
已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．
解：把等式的左邊分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．
即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．
因為（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．
所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．
利用以上解法，解下列問題：
（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC為等腰三角形，求c．
【解答】解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1；
（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，
（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，
（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，
∴a＝6，b＝4，
∵△ABC為等腰三角形，
∴c＝4或6．
16．閱讀下列材料：
問題：已知方程x2+x﹣1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為y，則y＝2x，所以x=y2，把x=y2，代入已知方程，得（y2）2+y2-1＝0．
化簡，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程為y2+2y﹣4＝0
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為　y2﹣2y﹣1＝0?。?br /> （2）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．
【解答】解：（1）設所求方程的根為y，則y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程x2+2x﹣1＝0，得：y2﹣2y﹣1＝0，
故答案為：y2﹣2y﹣1＝0；

（2）設所求方程的根為y，則y=1x（x≠0），于是x=1y（y≠0），
把x=1y代入方程ax2+bx+c＝0，得a （1y）2+b（1y）+c＝0，
去分母，得 a+by+cy2＝0，
若c＝0，有ax2+bx＝0，
于是，方程ax2+bx+c＝0有一個根為0，不合題意，
∴c≠0，
故所求方程為a+by+cy2＝0 （ c≠0）．
17．今年奉節(jié)臍橙喜獲豐收，某村委會將全村農戶的臍橙統(tǒng)一裝箱出售．經核算，每箱成本為40元，統(tǒng)一零售價定為每箱50元，可以根據買家訂貨量的多少給出不同的折扣價銷售．
（1）問最多打幾折銷售，才能保證每箱臍橙的利潤率不低于10%？
（2）該村最開始幾天每天可賣5000箱，因臍橙的保鮮周期短，需要盡快打開銷路，減少積壓，村委會決定在零售價基礎上每箱降價3m%，這樣每天可多銷售m%；為了保護農戶的收益與種植積極性，政府用“精準扶貧基金”給該村按每箱臍橙m元給予補貼進行獎勵，結果該村每天臍橙銷售的利潤為49000元，求m的值．
【解答】（1）x≥8.8；（2）6
【解析】（1）設打x折銷售，才能保證每箱臍橙的利潤率不低于10%，
由題意得：%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折銷售，才能保證每箱臍橙的利潤率不低于10%；
（2）由題意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，
m2﹣5m﹣6＝0，
m1＝6，m2＝﹣1（舍）．
18．每年九月是開學季，大多數學生會購買若干筆記本滿足日常學習需要，校外某文具店老板開學前某日去批發(fā)市場進貨，購進甲乙丙三種不同款式的筆記本共950本，已知甲款筆記本的進價為2元/本，乙款筆記本的進價是4元/本，丙款筆記本的進價是6元/本．
（1）本次進貨共花費3300元，并且甲款的筆記本數量是乙款筆記本數量的2倍，請問本次購進丙款筆記本多少本？
（2）經過調研發(fā)現，甲款筆記本、乙款筆記本和丙款筆記本的零售價分別定為4元/本、6元/本和10元/本時，每天可分別售出甲款筆記本30本，乙款筆記本50本和丙款筆記本20本．如果將乙款筆記本的零售價提高元（a＞25），甲款筆記本和丙款筆記本的零售價均保持不變，那么乙款筆記本每天的銷售量將下降a%，丙款筆記本每天的銷售量將上升a%，甲款筆記本每天的銷量仍保持不變；若調價后每天銷售三款筆記本共可獲利260元，求a的值．
【解答】（1）230本；（2）50
【解析】（1）設乙款筆記本的數量為x本，
則甲款2x本，丙款（950﹣3x）本，根據題意，得
2×2x+4x+6（950﹣3x）＝3300
解得x＝240，
∴950﹣3x＝230．
答：本次購進丙款筆記本230本．
（2）根據題意，得
（4﹣2）×30+（6+﹣4）×50（1﹣a%）+（10﹣6）[20（1+a%）]＝260
整理得a2﹣70a+1000＝0
解得a1＝50，a2＝20（不符合題意，舍去）
答：a的值為50．

相關學案

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題18《集合間的運算》講學案：

這是一份【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題18《集合間的運算》講學案，文件包含暑假初高銜接初三數學暑假預習-專題17《集合間的運算》講學案解析版docx、暑假初高銜接初三數學暑假預習-專題17《集合間的運算》講學案原卷版docx等2份學案配套教學資源，其中學案共17頁， 歡迎下載使用。

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題17《集合間的關系》講學案：

這是一份【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題17《集合間的關系》講學案，文件包含暑假初高銜接初三數學暑假預習-專題16《集合間的關系》講學案解析版docx、暑假初高銜接初三數學暑假預習-專題16《集合間的關系》講學案原卷版docx等2份學案配套教學資源，其中學案共13頁， 歡迎下載使用。

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題16《集合的含義及表示》講學案：

這是一份【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題16《集合的含義及表示》講學案，文件包含暑假初高銜接初三數學暑假預習-專題15《集合的含義及表示》講學案解析版docx、暑假初高銜接初三數學暑假預習-專題15《集合的含義及表示》講學案原卷版docx等2份學案配套教學資源，其中學案共16頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關學案 更多

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題11《無理方程》講學案

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題11《無理方程》講學案
【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題04《分式》講學案

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題04《分式》講學案
【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題02《乘法公式》講學案

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題02《乘法公式》講學案
【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題01《絕對值》講學案

【暑假初高銜接】初三數學暑假預習-專題01《絕對值》講學案
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部