1.已知點P(6,y)在拋物線y2=2px(p>0)上,若點P到拋物線焦點F的距離等于8,則焦點F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于(　　)A.2B.1C.4D.8
解析 拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=- ,因為P(6,y)為拋物線上的點,所以點P到焦點F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,所以6+ =8,所以p=4,所以焦點F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4.
2.過點P(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個公共點的直線有(　　)A.4條B.3條C.2條D.1條
若k≠0,則令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k= ,此時直線與拋物線相切,只有一個公共點.當(dāng)過點P(0,1)的直線不存在斜率時,該直線方程為x=0,與拋物線相切,只有一個公共點.綜上,過點P(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個公共點的直線有3條.
3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)表示的曲線大致為(　　)
(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,將y換成-y,其結(jié)果不變,即ax+by2=0表示的曲線關(guān)于x軸對稱,排除B,C;由方法1知橢圓的焦點在y軸上,排除A.故選D.
4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標(biāo)原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4 ,則拋物線方程為(　　)A.y2=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2= x
5.設(shè)拋物線y2=4x上一點P到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線l:3x+4y+12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為(　　)
則直線3x+4y+12=0與拋物線相離.又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1為點P到準(zhǔn)線x=-1的距離,故d1+1等于點P到焦點F(1,0)的距離,從而d1+1+d2的最小值為點F到直線3x+4y+12=0的距離,即
6.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F且傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點,若|AB|=8,則p=　　　.?
7.已知正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點,另兩個頂點在拋物線y2=2x上,則這個正三角形的邊長是　　　　　.?
8.已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為 的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
解析 設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,則直線AB與x軸的交點為M(m,0),則m>0.設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),把x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,滿足Δ>0,則y1y2=-m.
10.(多選題)已知拋物線E:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過F的直線與E交于A,B兩點,C,D分別為過點A,點B向l作垂線得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M為AB的中點,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.∠CFD=90°B.△CMD為等腰直角三角形C.直線AB的斜率為±D.△AOB的面積為4
解析 由y2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦點F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1.設(shè)直線AB的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.從而x1+x2=4m2+2,①x1x2=1.②
即x1=3x2+2.③
11.已知A是拋物線x2=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點,B為拋物線的焦點,點P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|,當(dāng)m取最大值時,點P恰好在以A,B為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為(　　)
解析 由x2=4y,得p=2,∴焦點B(0,1),準(zhǔn)線l:y=-1,從而A(0,-1),如圖所示.過點P作PQ⊥l于點Q,設(shè)∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴ .結(jié)合圖形知,當(dāng)AP與拋物線相切時,sin θ最小,從而m最大.設(shè)直線AP的方程為y=kx-1(k≠0),由 得x2-4kx+4=0,由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得點P坐標(biāo)為(2,1).
12.已知直線l與拋物線y2=8x交于A,B兩點,且線段AB恰好被點P(2,2)平分.(1)求直線l的方程.(2)拋物線上是否存在點C和D,使得C,D關(guān)于直線l對稱?若存在,求出直線CD的方程;若不存在,請說明理由.
解 (1)由題意可得直線AB的斜率存在,且不為0.設(shè)直線AB:x-2=m(y-2),m≠0,與拋物線方程聯(lián)立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
(2)不存在.理由如下,假設(shè)C,D兩點存在,則可設(shè)lCD:y=- x+n,與拋物線方程y2=8x聯(lián)立,消去y,得 x2-(n+8)x+n2=0,其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,則n>-4. (*)又因為xC+xD=4(n+8),所以CD的中點為(2(n+8),-8),代入直線l的方程,得n=- ,不滿足(*)式.所以滿足題意的C,D兩點不存在.
13.已知點A,B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱,|AB|=4,圓M過點A,B且與直線x+2=0相切.(1)若點A在直線x+y=0上,求圓M的半徑.(2)是否存在定點P,使得當(dāng)A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由.
解 (1)因為圓M過點A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上,且A,B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱,所以圓心M在直線y=x上,故可設(shè)M(a,a).因為圓M與直線x+2=0相切,所以圓M的半徑為r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又 ,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故圓M的半徑r=2或r=6.

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3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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