?浙江省杭州市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（9套）-03解答題（提升題）2
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共2小題）
1．（2023?濱江區(qū)一模）直線y1＝k1x+b（k1，b為常數(shù)，且k1≠0）與雙曲線（k為常數(shù)，且k2≠0）相交于A（2，﹣4），B（4，n）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．
（3）求△OAB的面積．
2．（2023?蕭山區(qū)一模）已知函數(shù)和函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1k2≠0）．
（1）若兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（a，1），求函數(shù)y1，y2的表達(dá)式．
（2）若點(diǎn)C（﹣1，n）向上平移6個(gè)單位恰好落在函數(shù)y1上，又點(diǎn)C（﹣1，n）向右平移2個(gè)單位恰好落在函數(shù)y2上，且k1+k2＝0，求b的值．
二．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共2小題）
3．（2023?西湖區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣（a+2）x+2a+1，
（1）若a＝4，求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若函數(shù)圖象向下平移一個(gè)單位，恰好與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值．
（3）若拋物線過點(diǎn)（﹣1，y0），且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（x1，y1）都有y1≥y0，若點(diǎn)A（m，n），B（2﹣m，p）是這條拋物線上不同的兩點(diǎn)，求證：n+p＞﹣8．
4．（2023?濱江區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（m，0）兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，求m的值．
（2）當(dāng)0＜a＜2，c＝2時(shí)，
①求證：m＞1．
②點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2）在該拋物線上，且x1＞x2，x1+x2＜2，試比較y1與y2的大?。?br /> 三．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
5．（2023?蕭山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，試求該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（s，t），求證：t＝s+1．
（3）若a＜0，且當(dāng)自變量x滿足0≤x≤m時(shí)，﹣2≤y≤2，求m的值．
四．四邊形綜合題（共3小題）
6．（2023?淳安縣一模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)．F是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF＝AE，連接BE．
（1）如圖1，若E是線段AC上任意一點(diǎn)，連接EF，DF，DE，求證：△ADE≌△CDF．
（2）在第（1）題的前提下，求證：BE＝EF．
（3）如圖2，若E是線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．
7．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OC上一點(diǎn)，以BE為邊在BD的右下方作等邊三角形BEF，連結(jié)DE，DF．
（1）求證：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度數(shù)改變嗎？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)角的值．
（3）若，求FD的最小值．

8．（2023?上城區(qū)一模）點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD邊CD、AD上一點(diǎn)，滿足AF＝CE，連結(jié)BF和BE．
（1）求證：△AFB≌△CEB；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥BF交AB于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)N．
①判斷△MBE的形狀，并說明理由；
②當(dāng)M在AB邊上時(shí)，設(shè)∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面積分別是S1和S2，求證：．

五．圓周角定理（共1小題）
9．（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，，BF與CD交于點(diǎn)G．
（1）求證：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長(zhǎng)．
（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：．

六．圓的綜合題（共3小題）
10．（2023?蕭山區(qū)一模）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接AE，CE，分別交OD，OB于點(diǎn)F，G，連接AC，AD，F(xiàn)G．
（1）若∠AFO＝60°，求∠CGO的度數(shù)．
（2）求證：AC2＝AG?CF．
（3）設(shè)∠AFO＝α，△CFG的面積為S1，△AOF的面積為S2，求證：＝tanα﹣1．

11．（2023?杭州一模）如圖，點(diǎn)A，B，C分別是⊙O上的三等分點(diǎn)，連接AB，BC，CA．點(diǎn)D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，且BE＝CD．過點(diǎn)D作EO的垂線，垂足為H，與⊙O分別交于N、M，與邊AB交于F點(diǎn)．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）探索FN與MD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）點(diǎn)E從點(diǎn)B沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，若⊙O的半徑為2，則點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？

12．（2023?桐廬縣一模）如圖1，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)D是直徑AB右側(cè)半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC交DE于點(diǎn)P．
（1）求證：AC?PE＝AP?BC．
（2）連結(jié)OC、AD，若AD∥OC，求證：PE＝PD．
（3）如圖2，連結(jié)CD，若CD是⊙O的切線，求證：PE＝PD．

七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
13．（2023?蕭山區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)AM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)CM．
（1）求證：AM＝CM．
（2）若∠CME＝45°，求的值．
?

八．相似形綜合題（共2小題）
14．（2023?桐廬縣一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線與AD邊相交于點(diǎn)E，若∠D＝60°．
（1）求：．
（2）如圖2，連結(jié)CE并延長(zhǎng)，與BA延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求證：AF?DE＝CD2．
（3）在（2）條件下，連結(jié)DF，若AB＝4，求△DEF的面積．
??
15．（2023?西湖區(qū)一模）已知E是正方形ABCD邊CD上任意一點(diǎn)，

（1）將△ADE沿AE翻折至△AEF，
①如圖1，若F點(diǎn)恰好在對(duì)角線AC上，，求AB的長(zhǎng)．
②如圖2，若點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若S△ADE＝2，射線AF與BC邊交于點(diǎn)G，求四邊形EFGC的面積．
（2）如圖3，點(diǎn)Q是邊BC上任意一點(diǎn)，記DQ與AE的交于點(diǎn)H，射線AE與射線BC交于點(diǎn)P，求證：BP?HE＝AH?QC．

浙江省杭州市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（9套）-03解答題（提升題）2
參考答案與試題解析
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共2小題）
1．（2023?濱江區(qū)一模）直線y1＝k1x+b（k1，b為常數(shù)，且k1≠0）與雙曲線（k為常數(shù)，且k2≠0）相交于A（2，﹣4），B（4，n）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．
（3）求△OAB的面積．
【答案】（1）y1＝x﹣6，；
（2）0＜x＜2或；
（3）6．
【解答】解：（1）把A（2，﹣4）代入y2＝得，﹣4＝，
解得k2＝﹣8，
∴y2＝﹣，
把點(diǎn)B（4，n）代入y2＝﹣得到，n＝﹣＝﹣2，
∴B（4，﹣2），
把A（2，﹣4），B（4，﹣2）代入y1＝k1x+b得，，
解得，
∴y1＝x﹣6，
（2）由圖象可知，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜2或x＞4；

（3）S△OAB＝×4×2＝6，
即△OAB的面積是6．
2．（2023?蕭山區(qū)一模）已知函數(shù)和函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1k2≠0）．
（1）若兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（a，1），求函數(shù)y1，y2的表達(dá)式．
（2）若點(diǎn)C（﹣1，n）向上平移6個(gè)單位恰好落在函數(shù)y1上，又點(diǎn)C（﹣1，n）向右平移2個(gè)單位恰好落在函數(shù)y2上，且k1+k2＝0，求b的值．
【答案】（1）y1＝，y2＝﹣x+5；
（2）b＝﹣6．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（a，1）在函數(shù)圖象上，
∴k1＝1×4＝a×1，
∴k1＝4，a＝4，
∴函數(shù)y1的表達(dá)式為y1＝，B（4，1），
把點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（4，1）代入y2＝k2x+b，得，
解得，
∴函數(shù)y2的表達(dá)式為y2＝﹣x+5；
（2）∵點(diǎn)C（﹣1，n）向上平移6個(gè)單位恰好落在函數(shù)y1上，
∴點(diǎn)（﹣1，n+6）在函數(shù)上，
∴k1＝﹣1×（n+6）＝﹣n﹣6，
∵點(diǎn)C（﹣1，n）向右平移2個(gè)單位恰好落在函數(shù)y2上，
∴點(diǎn)（1，n）在函數(shù)y2＝k2x+b上，
∴n＝k2+b，
∴k2＝n﹣b，
∵k1+k2＝0，
∴﹣n﹣6+（n﹣b）＝0，
∴b＝﹣6．
二．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共2小題）
3．（2023?西湖區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣（a+2）x+2a+1，
（1）若a＝4，求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若函數(shù)圖象向下平移一個(gè)單位，恰好與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值．
（3）若拋物線過點(diǎn)（﹣1，y0），且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（x1，y1）都有y1≥y0，若點(diǎn)A（m，n），B（2﹣m，p）是這條拋物線上不同的兩點(diǎn)，求證：n+p＞﹣8．
【答案】（1）x＝3，（3，0）；
（2）a＝2；
（3）見詳解．
【解答】解：（1）∵a＝4，
∴y＝x2﹣（4+2）x+8+1，
∴y＝x2﹣6x+9，
∴y＝（x﹣3）2，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：直線x＝3，（3，0）；
（2）函數(shù)圖象向下平移一個(gè)單位得y＝x2﹣（a+2）x+2a+1﹣1，
∴y＝x2﹣（a+2）x+2a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝（a+2）2﹣4×2a＝0，
解方程得：a＝2；
（3）∵拋物線過點(diǎn)（﹣1，y0），且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（x1，y1）都有y1≥y0，
∴（﹣1，y0）為拋物線的頂點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
∴，
∴a＝﹣4，
∴拋物線為：y＝x2+2x﹣7，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）在拋物線上，
∴n＝m2+2m﹣7，p＝（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7，
∴n+p＝m2+2m﹣7+（m﹣2）2+2（2﹣m）﹣7，
∴n+p＝2（m﹣1）2﹣8，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）是這條拋物線上不同的兩點(diǎn)，
∴m≠2﹣m，
∴m≠1
∴n+p＞﹣8．
4．（2023?濱江區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（m，0）兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，求m的值．
（2）當(dāng)0＜a＜2，c＝2時(shí)，
①求證：m＞1．
②點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2）在該拋物線上，且x1＞x2，x1+x2＜2，試比較y1與y2的大?。?br /> 【答案】（1）﹣3；
（2）①見解析；②y1＜y2．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，y＝x2+2x+c，
把A（1，0）代入得，0＝1+2+c，
解得c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3，
把B（m，0）代入y＝x2+2x﹣3得，0＝m2+2m﹣3，
解得m＝1或﹣3；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，
∴m＝﹣3；
（2）①把A（1，0），B（m，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，
a+b+c＝0，am2+bm+c＝0，
∵c＝2，
∴a+b+2＝0，am2+bm+2＝0，
由b＝﹣a﹣2得到am2﹣（a+2）m+2＝0，
則Δ＝（a+2）2﹣4a×2＝（a﹣2）2≥0，
∴，
∴m1＝1（舍去），，
∵0＜a＜2，
∴m＞1．
②由①得b＝﹣a﹣2，c＝2，
∴y＝ax2﹣（a+2）x+2，
把C（x1，y1），D（x2，y2）代入得y1，y2，
∵x1＞x2，x1+x2＜2，
∴x1＜2﹣x2，
∵0＜a＜2，
∴2a﹣（a+2）＝a﹣2＜0，
∴a（x1+x2）＜0，
∴y1﹣y2＝（x1﹣x2），
∴y1＜y2．
三．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
5．（2023?蕭山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，試求該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（s，t），求證：t＝s+1．
（3）若a＜0，且當(dāng)自變量x滿足0≤x≤m時(shí)，﹣2≤y≤2，求m的值．
【答案】（1）該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）證明見解答過程；
（3）m的值為3．
【解答】（1）解：當(dāng)a＝時(shí)，y＝x2+2x+1，
令y＝0得0＝x2+2x+1，
解得x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，
∴該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）證明：∵二次函數(shù)y＝ax2+2x+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（s，t），
∴s＝﹣＝﹣，t＝＝1﹣，
∴t＝1+s；
（3）解：在y＝ax2+2x+1中，令x＝0得y＝1，
由（2）知拋物線y＝ax2+2x+1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，1﹣），
∵a＜0，當(dāng)0≤x≤m時(shí)，﹣2≤y≤2，
∴當(dāng)x＝m時(shí)函數(shù)值最小為﹣2，當(dāng)x＝﹣時(shí)，函數(shù)值（1﹣）最大為2，
∴，
解得或（不符合題意，舍去），
∴m的值為3．
四．四邊形綜合題（共3小題）
6．（2023?淳安縣一模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)．F是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF＝AE，連接BE．
（1）如圖1，若E是線段AC上任意一點(diǎn)，連接EF，DF，DE，求證：△ADE≌△CDF．
（2）在第（1）題的前提下，求證：BE＝EF．
（3）如圖2，若E是線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．
【答案】（1）證明見解答；
（2）證明見解答；
（3）tan∠AFC的值是﹣2．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（2）證明：∵AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴EF＝DE，
∴BE＝EF．
（3）解：如圖2，點(diǎn)E是線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，
∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
∵BE∥CF，
∴△ECB∽△ACF，
∴＝，
∴CF?EC＝AC?CB，
作AH⊥BF于點(diǎn)H，設(shè)AC＝CB＝a，AE＝CF＝x，則EC＝x﹣a，
∴x（x﹣a）＝a2，
解關(guān)于x的方程得x1＝a，x2＝a（不符合題意，舍去），
∴CF＝a，
∵∠AHF＝90°，∠ACB＝60°，
∴AH＝AC?sin60°＝a，CH＝AC?cos60°＝a，
∴FH＝CF+CH＝a+a＝a，
∴tan∠AFC＝＝＝﹣2，
∴tan∠AFC的值是﹣2．

7．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OC上一點(diǎn)，以BE為邊在BD的右下方作等邊三角形BEF，連結(jié)DE，DF．
（1）求證：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度數(shù)改變嗎？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)角的值．
（3）若，求FD的最小值．

【答案】（1）證明見解析部分；
（2）30°；
（3）2．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△ADE，
∴EB＝ED，
∵△BEF是等邊三角形，
∴EB＝EF，∠BEF＝60°，
∴EB＝EF＝ED，
∴點(diǎn)E是△BDF是外心，
∴∠BDF＝∠BEF＝30°；

（3）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BCD＝90°，
∴BD＝BC＝4，
∵∠BDF＝30°，點(diǎn)E在線段OC上運(yùn)動(dòng)，
∴觀察圖象可知當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，AF的長(zhǎng)最小，此時(shí)BF⊥DF，
∴DF＝BD?cos30°＝4×＝2．
∴DF的最小值為2．
8．（2023?上城區(qū)一模）點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD邊CD、AD上一點(diǎn)，滿足AF＝CE，連結(jié)BF和BE．
（1）求證：△AFB≌△CEB；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥BF交AB于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)N．
①判斷△MBE的形狀，并說明理由；
②當(dāng)M在AB邊上時(shí)，設(shè)∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面積分別是S1和S2，求證：．

【答案】（1）證明過程見解答；
（2）①△MBE是等腰三角形，理由見解答；
②證明過程見解答．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°，
在△AFB和△CEB中，
，
∴△AFB≌△CEB（SAS）；
（2）①解：△MBE是等腰三角形，理由如下：
∵△AFB≌△CEB，
∴∠AFB＝∠CEB，
∵EM⊥BF，
∴∠BNM＝∠A＝90°，
∴∠BMN＝∠AFB，
∴∠BMN＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠EBM＝∠CEB，
∴∠BMN＝∠EBM，
∴EB＝EM，
∴△MBE是等腰三角形；
②證明：∵△AFB≌△CEB，
∴∠ABF＝∠CBE＝α，
∵∠BNM＝∠A＝90°，∠MBN＝∠FBA，
∴△BMN∽△BFA，
∵△BMN和△BFA的面積分別是S1和S2，
∴＝（）2，
如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，

∵EB＝EM，
∴∠BEG＝∠MEG，BG＝MG＝BM，
∵∠EGB＝∠CBG＝∠C＝90°，
∴四邊形EGBC是矩形，
∴EG∥BC，
∴∠BEG＝∠CBE＝α，
∴sin∠BEG＝sinα＝＝，
∴＝2sinα，
∴．
五．圓周角定理（共1小題）
9．（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，，BF與CD交于點(diǎn)G．
（1）求證：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長(zhǎng)．
（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：．

【答案】（1）見解析；
（2）GE的長(zhǎng)為；
（3）見解析．
【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如圖所示：連接BC，

由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴，
設(shè)EG＝x，則BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的長(zhǎng)為；
（3）解：如圖所示：連接OC交BF于I，

∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC為半徑，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
六．圓的綜合題（共3小題）
10．（2023?蕭山區(qū)一模）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接AE，CE，分別交OD，OB于點(diǎn)F，G，連接AC，AD，F(xiàn)G．
（1）若∠AFO＝60°，求∠CGO的度數(shù)．
（2）求證：AC2＝AG?CF．
（3）設(shè)∠AFO＝α，△CFG的面積為S1，△AOF的面積為S2，求證：＝tanα﹣1．

【答案】（1）75°；
（2）證明見解析；
（3）證明見解析．
【解答】（1）解：∵AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，
∴＝90°，
∴∠D＝∠E＝∠ACD＝∠BAC＝45°，
又∵∠AFO＝∠D+∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝15°，
∴∠DCE＝∠DAE＝15°，
∴∠AGC＝90°﹣∠DCE＝75°；
（2）證明：∵∠ACG＝∠ACD+∠CDE＝45°+∠CDE，∠AFC＝∠D+∠DAE＝45°+∠DAE，
∴∠ACG＝∠AFC，
又∵∠ACF＝∠CAG＝45°，
∴△ACF∽△GAC，
∴，
∴AC2＝AG?CF．
（3）證明：∵S△ACD＝，S四邊形ACGF＝AG?CF，
由（2）知AC2＝AG?CF，
∴S△ACD＝S四邊形ACGF，
∴S△ACD﹣S△ACO＝S四邊形ACGF﹣S△ACO，
∴S△AFD＝S△CGF，
∴＝＝﹣1＝﹣1＝tanα﹣1．
11．（2023?杭州一模）如圖，點(diǎn)A，B，C分別是⊙O上的三等分點(diǎn)，連接AB，BC，CA．點(diǎn)D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，且BE＝CD．過點(diǎn)D作EO的垂線，垂足為H，與⊙O分別交于N、M，與邊AB交于F點(diǎn)．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）探索FN與MD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）點(diǎn)E從點(diǎn)B沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，若⊙O的半徑為2，則點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？

【答案】（1）證明見解答；
（2）FN＝MD，證明見解答；
（3）點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)A，B，C分別是⊙O上的三等分點(diǎn)，
∴＝＝，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形．
（2）解：FN＝MD，
證明：如圖1，連接OC、OD、OE、EF，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OBE＝∠OCD＝30°，
∵BE＝CD，
∴△OBE≌△OCD（SAS），
∴OE＝OD，∠BOE＝∠COD，
∴∠EOD＝∠COE+∠COD＝∠COE+∠BOE＝∠BOC＝120°，
∴∠OED＝∠ODE＝30°，
∵DH⊥EO交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴∠DHE＝90°，
∴∠EDF＝60°，
∵∠CDE＝180°﹣∠EDF﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，
∴∠CDE＝∠AFD，
∵BC＝AC，BE＝CD，
∴CE＝AD，
∴△CDE≌△AFD（AAS），
∵DE＝FD，
∴△DEF是等邊三角形，
∵EH⊥DF，
∴FH＝DH，NH＝MH，
∴FN＝MD．
（3）解：如圖2，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)KH交AB于點(diǎn)L，
∵∠OBC＝∠OBA＝30°，
∴BK平分∠ABC，
∴BK⊥AC，AK＝CK，
∴∠OKD＝∠OHD＝90°，
取OD的中點(diǎn)I，連接IK、IH，則IK＝IH＝IO＝ID＝OD，
∴K、H、O、D四點(diǎn)都在以O(shè)D為直徑的圓上，
∴∠OKH＝∠ODH＝30°，
∴∠OKH＝∠OBC，
∴KH∥BC，
∴點(diǎn)H在過點(diǎn)K與BC平行的直線上運(yùn)動(dòng)，
∴線段KL就是點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑，
∵∠OKC＝90°，∠OCK＝30°，OC＝2，
∴OK＝OC＝1，
∴AK＝CK＝＝＝，
∵∠A＝60°，∠AKL＝∠ACB＝60°，
∴∠ALK＝60°，
∴△ALK是等邊三角形，
∵KL＝AK＝，
∴點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．


12．（2023?桐廬縣一模）如圖1，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)D是直徑AB右側(cè)半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC交DE于點(diǎn)P．
（1）求證：AC?PE＝AP?BC．
（2）連結(jié)OC、AD，若AD∥OC，求證：PE＝PD．
（3）如圖2，連結(jié)CD，若CD是⊙O的切線，求證：PE＝PD．

【答案】（1）證明見解答；
（2）證明見解答；
（3）證明見解答．
【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，
∴BC⊥AB，
∵DE⊥AB于點(diǎn)E，AC交DE于點(diǎn)P，
∴PE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝，
∴AC?PE＝AP?BC．
（2）如圖1，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，
∵AD∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CF，
∴△APD∽△ACF，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1，
∴PE＝PD．
（3）如圖2，連結(jié)AD并延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)G，連結(jié)BD、OD、OC，
∵CB、CD都是⊙O的切線，
∴CB＝CD，∠OCB＝∠OCD，
∴OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AG⊥BD，
∴AG∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1，
∴PE＝PD．


七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
13．（2023?蕭山區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)AM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)CM．
（1）求證：AM＝CM．
（2）若∠CME＝45°，求的值．
?

【答案】（1）證明見解析；（2）1．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDM＝45°，
在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SAS），
∴AM＝CM；
（2）解：∵△ADM≌△CDM，
∴∠AMD＝∠CMD，
∵∠CME＝45°，
∴∠AMC＝135°．
∴∠AMD＝∠CMD＝∠AMC＝67.5°，
∵∠ADM＝∠CDM＝45°，
∴∠DAM＝∠DCM＝67.5°，
∴∠DMC＝∠DCM＝67.5°，
∴DC＝DM．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則AB＝CD＝DM＝a，BD＝AB＝a，
∴BM＝BD﹣DM＝（1）a．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABM＝45°，
∴∠ABM＝∠CME＝45°．
∵∠AMD＝∠CMD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴△ABM∽△CME，
∴．
∴＝﹣1．
八．相似形綜合題（共2小題）
14．（2023?桐廬縣一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線與AD邊相交于點(diǎn)E，若∠D＝60°．
（1）求：．
（2）如圖2，連結(jié)CE并延長(zhǎng)，與BA延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求證：AF?DE＝CD2．
（3）在（2）條件下，連結(jié)DF，若AB＝4，求△DEF的面積．
??
【答案】（1）；
（2）證明見解析部分；
（3）4．
【解答】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴AB＝AE，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EH，
∵cos∠ABH＝＝，
∴＝；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BF∥CD，AB＝CD，
∵AB＝AE，
∴AE＝CD，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝AF?DE；
（3）解：連接DF，過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H．

∵AD∥BC，
∴∠FAH＝∠ABC＝60°，
∴FH＝AF?cos60°＝AF，
∵CD＝4，
∴AF?DE＝CD2＝16，
∵S△DEF＝?DE?FH＝?AF?DE＝4．
15．（2023?西湖區(qū)一模）已知E是正方形ABCD邊CD上任意一點(diǎn)，

（1）將△ADE沿AE翻折至△AEF，
①如圖1，若F點(diǎn)恰好在對(duì)角線AC上，，求AB的長(zhǎng)．
②如圖2，若點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若S△ADE＝2，射線AF與BC邊交于點(diǎn)G，求四邊形EFGC的面積．
（2）如圖3，點(diǎn)Q是邊BC上任意一點(diǎn)，記DQ與AE的交于點(diǎn)H，射線AE與射線BC交于點(diǎn)P，求證：BP?HE＝AH?QC．
【答案】（1）①；
②1；
（2）證明見解答過程．
【解答】（1）解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，∠ACD＝45°，AB＝CD，
設(shè)AB＝x＝CD，
∵，
∴，
∵將△ADE沿AE翻折至△AEF，
∴△ADE≌△AEF，
∴，
∴，即，
解得，
即；

②分別延長(zhǎng)AE，BC，交于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC，
∴∠M＝∠DAE，∠D＝∠ECM，
∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，
∴，
∴，△ADE≌△MCE（AAS），
解得：，
∴，
∵將△ADE沿AE翻折至△AEF，
∴△ADE≌△AEF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠M＝∠FAE，
∴AG＝MG，
設(shè)CG＝t，則，，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即，
解得：，
∴，
∴四邊形EFGC的面積＝；

（2）證明：設(shè)AD＝x，CQ＝m，CP＝y(tǒng)，則BP＝x+y，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH＝∠QPH，∠ADH＝∠PQH，
∴△ADH∽△PQH，
∴，
∴xPH＝（m+y）AH，
又∵∠AED＝∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴，
∴，
∴yAH+yHE＝xPH﹣xHE，
即yAH+（x+y）HE＝xPH，
∴yAH+（x+y）HE＝（m+y）AH，
∴（x+y）HE＝mAH，
∴，
∴，
即BP?HE＝AH?QC．

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