?浙江省杭州市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（9套）-03解答題（提升題）1
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共5小題）
1．（2023?桐廬縣一模）已知：一次函數(shù)y1＝x﹣2﹣k與反比例函數(shù)．
（1）當(dāng)k＝1時，x取何值時，y1＜y2；（直接寫出結(jié)果）
（2）請說明：當(dāng)k取任何不為0的值時，兩個函數(shù)圖象總有交點．
2．（2023?淳安縣一模）已知一次函數(shù)y1＝x﹣a+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交．
（1）判斷y2是否經(jīng)過點（k，1）．
（2）若y1的圖象過點（k，1），且2a+k＝5．
①求y2的函數(shù)表達(dá)式．
②當(dāng)x＞0時，比較y1，y2的大?。?br /> 3．（2023?杭州一模）設(shè)函數(shù)y1＝k1x+b，函數(shù)（k1，k2，b是常數(shù)，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函數(shù)y1的圖象與y軸交于點A，與函數(shù)y2的圖象的一個交點為點B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函數(shù)y1的表達(dá)式．
②當(dāng)2＜y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍．
（2）設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點C，將點C向左平移2個單位得到點D．若點D恰好也是函數(shù)y1，y2圖象的交點，試寫出k1，k2之間的等量關(guān)系，并說明理由．
4．（2023?上城區(qū)一模）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y2＝x的圖象有一個交點為P（3，m）．
（1）求k的值；
（2）將點P向下平移6個單位，再向左平移5個單位后，得點P′，試判斷點P′是否在函數(shù)y1的圖象上，并說明理由；
（3）當(dāng)y1＞y2時，利用函數(shù)圖象直接寫出自變量x的取值范圍．
5．（2023?西湖區(qū)一模）若函數(shù)與y2＝3x+k圖象有一個交點A的橫坐標(biāo)是﹣2．
（1）求k的值；
（2）若y1與y2圖象的另一個交點B的坐標(biāo)為（m，n），求的值．
二．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）
6．（2023?淳安縣一模）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．
（1）若a＝1，求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．
（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，求證：a＜﹣．
三．拋物線與x軸的交點（共2小題）
7．（2023?杭州一模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m為常數(shù)）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．
（1）求點A，B的坐標(biāo)；
（2）若m＜﹣2，判斷二次函數(shù)圖象的頂點位于哪個象限，并說明理由；
（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．
8．（2023?桐廬縣一模）二次函數(shù)y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1）．
（1）求a的值．
（2）求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．
（3）對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)﹣2≤x≤1時，關(guān)于x的函數(shù)y2＝y(tǒng)1﹣kx的最小值記作：y3．求y3的解析式．
四．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
9．（2023?上城區(qū)一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+n（m，n為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（1，0），B（2，0）兩點，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若m+n＝1，試說明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個不同的交點；
（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝3k，求k的值．
五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
10．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，AC＞AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點E，點F在邊AB的延長線上，AF＝AC，連接EF．
（1）求證：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度數(shù)．

六．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）
11．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，過點D作AB的垂線交BC于點E，過點A作AF∥BE交ED的延長線于點F，連結(jié)AE，BF．
（1）求證：四邊形AEBF是菱形．
（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，
①求四邊形ACBF的周長．
②連結(jié)CD，求CD的長．

七．正方形的性質(zhì)（共1小題）
12．（2023?杭州一模）如圖，正方形ABCD，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于點P．
（1）求證：△ABE≌△CBF；
（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的長．

八．垂徑定理（共1小題）
13．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點A為圓心，線段AD的長為半徑畫弧，與BC邊交于點E，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求證：DF＝AB．
（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長．

九．圓周角定理（共1小題）
14．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，⊙O半徑為2，弦BC＝3，A是弦BC所對優(yōu)弧上的一個點，連接CO并延長交⊙O于點M，連結(jié)AM，過點B作BE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：BE∥AM．
（2）過點A作AD⊥BC，分別交BE，BC于點H，D．求AH的長．

一十．扇形面積的計算（共1小題）
15．（2023?上城區(qū)一模）如圖，以等腰△ABC的底邊BC為直徑作半圓，交AB、AC于點D、E．
（1）證明：；
（2）若∠A＝60°，BC＝2，求陰影部分面積．

一十一．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）
16．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的長；
（2）用尺規(guī)作三角形ABC的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．

一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）
17．（2023?杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點D平分，連接AD，BD，CD．
（1）求證：AB＝CD．
（2）過點D作DG∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，交⊙O于點G．
①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．
②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF?DF．

18．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），點D，F(xiàn)分別在邊AB和AC上，且滿足∠DEF＝∠B．
（1）求證：△BDE∽△CEF．
（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．

一十三．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）
19．（2023?臨安區(qū)一模）若小紅的眼睛離地面的距離為1.7米，在一處用眼睛看籃球框，測得仰角30°，繼續(xù)向正前方走1.6米再看籃球框，測得仰角60°，問籃球框距地面的高度是多少米？

一十四．列表法與樹狀圖法（共1小題）
20．（2023?淳安縣一模）千島湖某學(xué)校想知道學(xué)生對“大下姜”，“滬馬公園”，“月光之戀”等旅游景點的了解程度，隨機抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷有四個選項（每位被調(diào)查的學(xué)生必須且只能選一項）：A．不知道，B．了解較少，C．了解較多，D．十分了解．將問卷調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：
（1）本次調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）根據(jù)調(diào)查信息補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該校共有1800名學(xué)生，請你估計“十分了解”的學(xué)生共有多少名？
（4）在被調(diào)查“十分了解”的學(xué)生中，有四名同學(xué)普通話較好，他們中有2名男生和2名女生，學(xué)校想從這四名同學(xué)中任選兩名同學(xué)，做家鄉(xiāng)旅游品牌的宣傳員，請你用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的兩人恰好是一男一女的概率．


浙江省杭州市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（9套）-03解答題（提升題）1
參考答案與試題解析
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共5小題）
1．（2023?桐廬縣一模）已知：一次函數(shù)y1＝x﹣2﹣k與反比例函數(shù)．
（1）當(dāng)k＝1時，x取何值時，y1＜y2；（直接寫出結(jié)果）
（2）請說明：當(dāng)k取任何不為0的值時，兩個函數(shù)圖象總有交點．
【答案】（1）當(dāng)x＜0或1＜x＜2時，y1＜y2；
（2）理由見解答部分．
【解答】解：（1）k＝1時，y1＝x﹣3，y2＝，
由得或，
∴兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（1，﹣2）或（2，﹣1）；
圖象大致如圖：

由圖可得：當(dāng)x＜0或1＜x＜2時，y1＜y2；
（2）由得x﹣2﹣k＝，
∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，
關(guān)于x的一元二次方程的判別式Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ≥0，即x2﹣（k+2）x+2k＝0總有實數(shù)解，
∴兩個函數(shù)圖象總有交點．
2．（2023?淳安縣一模）已知一次函數(shù)y1＝x﹣a+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交．
（1）判斷y2是否經(jīng)過點（k，1）．
（2）若y1的圖象過點（k，1），且2a+k＝5．
①求y2的函數(shù)表達(dá)式．
②當(dāng)x＞0時，比較y1，y2的大小．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）點（k，1）滿足反比例函數(shù)的關(guān)系式，
因此y2經(jīng)過點（k，1）．
（2）①把（k，1）代入一次函數(shù)y1＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，
又∵2a+k＝5，
解得：a＝2，k＝1，
∴y2的函數(shù)表達(dá)式為y2＝．
②由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)0＜x＜1時，y1＜y2，當(dāng)x＝1時，y1＝y(tǒng)2，當(dāng)x＞1時，y1＞y2．
3．（2023?杭州一模）設(shè)函數(shù)y1＝k1x+b，函數(shù)（k1，k2，b是常數(shù)，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函數(shù)y1的圖象與y軸交于點A，與函數(shù)y2的圖象的一個交點為點B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函數(shù)y1的表達(dá)式．
②當(dāng)2＜y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍．
（2）設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點C，將點C向左平移2個單位得到點D．若點D恰好也是函數(shù)y1，y2圖象的交點，試寫出k1，k2之間的等量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）①y1＝x+2；②0＜x＜1；
（2）k2＝2k1，理由見解析．
【解答】解：（1）①若k2＝3，則函數(shù)．
∵點B（1，m）在函數(shù)y2的圖象上，
∴，
∴B（1，3），b+1＝3，
∴b＝2，
∴函數(shù)y1＝k1x+2．
∵點B（1，3）在函數(shù)y1的圖象上，
∴3＝k1+2，
解得：k1＝1，
∴函數(shù)y1的表達(dá)式為y1＝x+2；
②根據(jù)兩函數(shù)解析式可畫出圖象如下，

∵求2＜y1＜y2時，x的取值范圍，即求函數(shù)y1的圖象位于直線y＝2的圖象上方時，位于函數(shù)y2的圖象下方時x的取值范圍，
∵由圖象可知當(dāng)0＜x＜1時，函數(shù)y1的圖象位于直線y＝2的圖象上方，位于函數(shù)y2的圖象下方，
∴當(dāng)2＜y1＜y2時，x的取值范圍是0＜x＜1；
（2）k2＝2k1．
理由：對于y1＝k1x+b，令x＝0，則y1＝b，
∴A（0，b）．
∵點A關(guān)于x軸的對稱點為點C，
∴C（0，﹣b）．
∵將點C向左平移2個單位得到點D，
∴D（﹣2，﹣b）．
∵點D恰好也是函數(shù)y1，y2圖象的交點，
∴﹣b＝﹣2k1+b，，
∴k1＝b，k2＝2b，
∴k2＝2k1．
4．（2023?上城區(qū)一模）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y2＝x的圖象有一個交點為P（3，m）．
（1）求k的值；
（2）將點P向下平移6個單位，再向左平移5個單位后，得點P′，試判斷點P′是否在函數(shù)y1的圖象上，并說明理由；
（3）當(dāng)y1＞y2時，利用函數(shù)圖象直接寫出自變量x的取值范圍．
【答案】（1）k＝9；
（2）點P′不在函數(shù)y1的圖象上；
（3）x＜﹣3或0＜x＜3．
【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y2＝x的圖象過交點為P（3，m），
∴m＝3，
∴P（3，3），
∵點P在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，
∴k＝3×3＝9；
（2）將點P向下平移6個單位，再向左平移5個單位后，得點P′（﹣2，﹣3），
∵﹣2×（﹣3）＝6≠9，
∴點P′不在函數(shù)y1的圖象上；
（3）由圖象可知，當(dāng)y1＞y2時，自變量x的取值范圍是x＜﹣3或0＜x＜3．

5．（2023?西湖區(qū)一模）若函數(shù)與y2＝3x+k圖象有一個交點A的橫坐標(biāo)是﹣2．
（1）求k的值；
（2）若y1與y2圖象的另一個交點B的坐標(biāo)為（m，n），求的值．
【答案】（1）k＝4；（2）﹣1．
【解答】解：（1）將點A的橫坐標(biāo)是﹣2代入一次函數(shù)得，
y2＝3×（﹣2）+k＝﹣6+k，
再將（﹣2，﹣6+k）代入反比例函數(shù)可得，
，
解得：k＝4；
（2）由（1）得，
，y2＝3x+4，
聯(lián)立可得，
，
解得：，x2＝﹣2，經(jīng)檢驗符合題意，
∴，
∵y1與y2圖象的另一個交點B的坐標(biāo)為（m，n），
∴，n＝6，
∴．
二．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）
6．（2023?淳安縣一模）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．
（1）若a＝1，求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．
（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，求證：a＜﹣．
【答案】（1）；
（2）y＝﹣2（x+1）2；
（3）見解析．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時，二次函數(shù)，
∴頂點坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)x＝﹣1時，y＝0≠1，因此不過（﹣1，1）點，
當(dāng)x＝﹣2時，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過（﹣2，3）點，
故拋物線過點（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，
∴a＝﹣2，∴拋物線的關(guān)系式為y＝﹣2（x+1）2；
（3）∵二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣1，0），，0），
∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
當(dāng)a＞0時，函數(shù)圖象開口向上，∵當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，
∴，
∴，
解得，舍去；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)圖象開口向下，∵x1＜x2時，y1＞y2，
∴，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴，
∴．
故．
三．拋物線與x軸的交點（共2小題）
7．（2023?杭州一模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m為常數(shù)）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．
（1）求點A，B的坐標(biāo)；
（2）若m＜﹣2，判斷二次函數(shù)圖象的頂點位于哪個象限，并說明理由；
（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．
【答案】（1）A（0，﹣4），B（2，0）；
（2）二次函數(shù)圖象的頂點位于第一象限；
（3）m的取值范圍為﹣≤m＜﹣1．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0）與y軸交于點A，
即當(dāng)x＝0時，y＝﹣4，
∴A（0，﹣4），
∵y＝mx2﹣4mx﹣4＝m（x﹣2）2﹣4m﹣4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2
∴B（2，0）；
（2）∵y＝mx2﹣4mx﹣4的頂點坐標(biāo)為（2，﹣4﹣4m），
∵m＜﹣2，
∴﹣4﹣4m＞0，
∴二次函數(shù)圖象的頂點位于第一象限；
（3）∵方程mx2﹣4mx﹣4＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），
∴拋物線y＝mx2﹣4mx﹣4（a≠0）與x軸有兩個交點，交點的橫坐標(biāo)都在1，3之間（包括1，3），
∴拋物線開口向下，頂點在第一象限，
∴﹣4m﹣4＞0，解得m＜﹣1，
當(dāng)x＝1時，y≤0，即m﹣4m﹣4≤0，解得m≥﹣，
∴m的取值范圍為﹣≤m＜﹣1．

8．（2023?桐廬縣一模）二次函數(shù)y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1）．
（1）求a的值．
（2）求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．
（3）對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)﹣2≤x≤1時，關(guān)于x的函數(shù)y2＝y(tǒng)1﹣kx的最小值記作：y3．求y3的解析式．
【答案】（1）a的值為；
（2）二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值為2；
（3）y3的解析式為y3＝．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1），
∴1＝a（0﹣2）2﹣2a，
解得a＝，
∴a的值為；
（2）由（1）知，a＝，
∴y1＝（x﹣2）2﹣2×＝（x﹣2）2﹣1，
令y1＝0，則（x﹣2）2﹣1＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴|x1﹣x2|＝2，
答：二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值為2；
（3）∵y1＝（x﹣2）2﹣1，
∴y2＝y(tǒng)1﹣kx＝（x﹣2）2﹣1﹣kx＝x2﹣（k+2）x+1，
∴對稱軸為x＝k+2，
當(dāng)k+2＜﹣2即k＜﹣4時，當(dāng)x＝﹣2時，y2有最小值，
∴y3＝×（﹣2）2﹣（k+2）×（﹣2）+1＝2k+7；
當(dāng)﹣2≤k+2≤1時，即﹣4≤k≤﹣1，當(dāng)x＝k+2時，y2有最小值，
∴y3＝×（k+2）2﹣（k+2）2+1＝﹣（k+2）2+1；
當(dāng)k+2＞1即k＞﹣1時，當(dāng)x＝1時，y2有最小值，
∴y3＝×1﹣（k+2）×1+1＝﹣k﹣．
綜上所述，y3的解析式為y3＝．
四．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
9．（2023?上城區(qū)一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+n（m，n為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（1，0），B（2，0）兩點，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若m+n＝1，試說明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個不同的交點；
（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝3k，求k的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x﹣2．
（2）見解答．
（3）k＝或3．
【解答】解：（1）將A（1，0），B（2，0）代入y＝﹣x2+2mx+n得，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x﹣2．
（2）若m+n＝1，則n＝1﹣m，
∴y＝﹣x2+2mx+1﹣m，
令0＝﹣x2+2mx+1﹣m，
則Δ＝4m2+4（1﹣m）＝（2m﹣1）2+3＞0，
∴函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點．
（3）∵y＝﹣x2+2mx+n，
∴拋物線開口象限，對稱軸為直線x＝﹣＝m，
將x＝m代入y＝﹣x2+2mx+n得y＝﹣m2+2m2+n＝m2+n，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（m，m2+n），
∴m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時，函數(shù)的最大值為p＝m2+n．
當(dāng)0＜k＜1時，x＝m﹣1時，函數(shù)最小值q＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+n＝m2+n﹣1為最小值，
∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2+n﹣1）＝1，
∴k＝．
當(dāng)k≥1時，x＝m+k時，函數(shù)最小值q＝﹣（m+k）2+2m（m+k）+n＝m2﹣k2+n，
∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2﹣k2+n）＝k2，
解得k＝0（舍）或k＝3．
綜上所述，k＝或3．
五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
10．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，AC＞AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點E，點F在邊AB的延長線上，AF＝AC，連接EF．
（1）求證：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度數(shù)．

【答案】（1）證明見解析；
（2）80°．
【解答】（1）證明：射線AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
，
∴△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠F，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，
∴∠FAE+∠F＝50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝80°，
∴∠BEF為80°．
六．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）
11．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，過點D作AB的垂線交BC于點E，過點A作AF∥BE交ED的延長線于點F，連結(jié)AE，BF．
（1）求證：四邊形AEBF是菱形．
（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，
①求四邊形ACBF的周長．
②連結(jié)CD，求CD的長．

【答案】（1）見解析；
（2）①22；②．
【解答】（1）證明：∵點D為AB的中點，
∴AD＝BD，
∵AF∥BE，
∴∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，
∴△FAD≌△EBD（AAS），
∴AF＝BE，
∴四邊形AEBF是平行四邊形．
∵EF⊥AB，
∴四邊形AEBF是菱形．
（2）解：①∵四邊形AEBF是菱形．
∴AE∥BF，AE＝EB＝BF＝AF＝5，
∴∠AEC＝∠EBF，
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∴AC＝4，
∴，
∴四邊形ACBF的周長為AC+CE+BE+BF+AF＝22．
②在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴，
∵點D為AB的中點，
∴．
七．正方形的性質(zhì)（共1小題）
12．（2023?杭州一模）如圖，正方形ABCD，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于點P．
（1）求證：△ABE≌△CBF；
（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的長．

【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：過P作PH⊥BC于H，

∵PH∥AB，
∴△PHE∽△ABE，
∴，
設(shè)HE＝a，PH＝3a，
∵PH∥BF，
∴△PHC∽△FBC，
∴，
即，
解得：a＝，
∴HE＝，PH＝，
在Rt△PHC中，PC＝
八．垂徑定理（共1小題）
13．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點A為圓心，線段AD的長為半徑畫弧，與BC邊交于點E，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求證：DF＝AB．
（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長．

【答案】（1）見解析；
（2）．
【解答】（1）證明：連接DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，
由作圖可知：AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC＝AB．

（2）如圖，過點B作BG⊥AE，垂足為G，
∵BE＝6，CE＝3，
∴AD＝AE＝BC＝9，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴CE＝EF＝3，
∴AF＝6，
∴，
設(shè)AG＝x，則FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，
在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，
解得：x＝5，即AG＝5，
∴，F(xiàn)G＝1，
∴．

九．圓周角定理（共1小題）
14．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，⊙O半徑為2，弦BC＝3，A是弦BC所對優(yōu)弧上的一個點，連接CO并延長交⊙O于點M，連結(jié)AM，過點B作BE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：BE∥AM．
（2）過點A作AD⊥BC，分別交BE，BC于點H，D．求AH的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解答】（1）證明：∵M(jìn)C是圓的直徑，
∴∠MAC＝90°，
∴MA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴BE∥MA；
（2）連接MB，
∵M(jìn)C是圓的直徑，
∴∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴BM∥AD，
∵BE∥MA，
∴四邊形AMBH是平行四邊形，
∴AH＝MB，
∵圓的半徑是2，BC＝3，
∴MC＝4，
∴MB＝＝＝，
∴AH＝．

一十．扇形面積的計算（共1小題）
15．（2023?上城區(qū)一模）如圖，以等腰△ABC的底邊BC為直徑作半圓，交AB、AC于點D、E．
（1）證明：；
（2）若∠A＝60°，BC＝2，求陰影部分面積．

【答案】（1）見證明：
（2）﹣．
【解答】（1）證明：如圖1，連接BE、CD，
∵BC為直徑，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，
∴；
（2）解：如圖2，連接OD、OE，
∵等腰△ABC中∠A＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵OB＝OD＝OC＝OE＝1，
∴△BOD和△EOC是等邊三角形，
∴∠DOB＝∠EOC＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴S陰影＝S△ABC﹣S△BOD﹣S△COE﹣S扇形DOE＝﹣2×﹣＝﹣．


一十一．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）
16．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的長；
（2）用尺規(guī)作三角形ABC的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．

【答案】（1）．
（2）畫圖見解答；2．
【解答】解：（1）過點C作CD⊥AB于點D，

在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝＝，AD＝AC?cos30°＝＝，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝，
∴AB＝AD+BD＝．
（2）如圖，⊙O即為所求．
連接OC，OB，過點C作CD⊥AB于點D，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OC＝BC，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BC＝＝2，
∴OC＝2，
即此外接圓的半徑為2．

一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）
17．（2023?杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點D平分，連接AD，BD，CD．
（1）求證：AB＝CD．
（2）過點D作DG∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，交⊙O于點G．
①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．
②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF?DF．

【答案】（1）證明見解析過程；
（2）①；
②證明見解析過程．
【解答】（1）證明：∵點D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；

（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，則，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∵AB＝AD，
∴四邊形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴線段EF的長為；

②證明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF?DF＝CF2，
如圖，連接CG，

∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF?DF．
18．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），點D，F(xiàn)分別在邊AB和AC上，且滿足∠DEF＝∠B．
（1）求證：△BDE∽△CEF．
（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．

【答案】（1）見解析；
（2）．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CED＝∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，∠DEF＝∠B，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴△BDE∽△CEF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴，
∴BE?CE＝BD?CF，
∵BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，
∴BE2＝BD?CF＝24，
∴，
∴．
一十三．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）
19．（2023?臨安區(qū)一模）若小紅的眼睛離地面的距離為1.7米，在一處用眼睛看籃球框，測得仰角30°，繼續(xù)向正前方走1.6米再看籃球框，測得仰角60°，問籃球框距地面的高度是多少米？

【答案】籃球框距地面的高度是（+1.7）米．
【解答】解：如圖，過E作EH⊥BD于H，連接AG交EH于F，
則AB＝CD＝FH＝1.7米，AG＝BD＝1.6米，AF∥BH，
∴∠AFE＝90°，
設(shè)EF＝x米，
在Rt△AEF中，AF＝＝x米，
在Rt△GEF中，F(xiàn)G＝＝x米，
∵AG＝1.6米，
∴＝1.6，
解得x＝，
∴EH＝EF+FH＝（+1.7）米，
答：籃球框距地面的高度是（+1.7）米．

一十四．列表法與樹狀圖法（共1小題）
20．（2023?淳安縣一模）千島湖某學(xué)校想知道學(xué)生對“大下姜”，“滬馬公園”，“月光之戀”等旅游景點的了解程度，隨機抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷有四個選項（每位被調(diào)查的學(xué)生必須且只能選一項）：A．不知道，B．了解較少，C．了解較多，D．十分了解．將問卷調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：
（1）本次調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）根據(jù)調(diào)查信息補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該校共有1800名學(xué)生，請你估計“十分了解”的學(xué)生共有多少名？
（4）在被調(diào)查“十分了解”的學(xué)生中，有四名同學(xué)普通話較好，他們中有2名男生和2名女生，學(xué)校想從這四名同學(xué)中任選兩名同學(xué)，做家鄉(xiāng)旅游品牌的宣傳員，請你用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的兩人恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）100人；
（2）作圖見解析部分；
（3）360人；
（4）所選兩人恰好是一男一女的概率為＝．
【解答】解：（1）30÷30%＝100（人），
答：本次調(diào)查了100人．
（2）B組人數(shù)為：100﹣10﹣30﹣20＝40（人），
補全條形圖如圖所示：

（3）“十分了解”人數(shù)為：1800×＝360（人）；
（4）樹狀圖如下：

共有12種等可能情況，其中被選中的兩人恰好是一男一女有8種．
所以，所選兩人恰好是一男一女的概率為＝．

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