§1.1　集合的概念第1課時(shí)　集合的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過(guò)實(shí)例了解集合的含義.2.理解集合中元素的特征.3.體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)一　元素與集合的概念1．元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素(element)，常用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡(jiǎn)稱為集)，常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的．4．集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的．思考　某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合？某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個(gè)集合？集合元素確定性的含義是什么？答案　某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因“帥哥”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)．高于175厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定．元素確定性的含義：集合中的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在或不在這個(gè)集合中就確定了．知識(shí)點(diǎn)二　元素與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合Aa∈A“a屬于A”不屬于如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合Aa?A“a不屬于A” 思考　設(shè)集合A表示“1～10以內(nèi)的所有素?cái)?shù)”，3,4這兩個(gè)元素與集合A有什么關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？答案　3是集合A中的元素，即3屬于集合A，記作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不屬于集合A，記作4?A.知識(shí)點(diǎn)三　常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR 1．接近于0的數(shù)可以組成集合．(　×　)2．分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個(gè)集合是相等的．(　√　)3．一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素．(　×　)4．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根組成的集合中有3個(gè)元素．(　×　)一、對(duì)集合概念的理解例1　(1)下列對(duì)象能組成集合的是(　　)A.的所有近似值B．某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)好的所有同學(xué)C．2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中所有難題D．屠呦呦實(shí)驗(yàn)室的全體工作人員答案　D解析　D中的對(duì)象都是確定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“學(xué)習(xí)好”，C中的“難題”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足確定性，因此A，B，C都不能構(gòu)成集合．(2)下列說(shuō)法中，正確的有________．(填序號(hào))①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個(gè)；②集合M中有3個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合．答案　②解析　①不正確. book的字母o有重復(fù)，共有3個(gè)不同字母，元素個(gè)數(shù)是3.②正確. 集合M中有3個(gè)元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確. 小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無(wú)關(guān)．反思感悟　判斷一組對(duì)象是否能構(gòu)成集合的三個(gè)依據(jù)(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否能構(gòu)成集合．(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個(gè)數(shù)．(3)無(wú)序性：表示只要一個(gè)集合的元素確定，則這個(gè)集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無(wú)關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列說(shuō)法正確的有(　　)A．花壇上色彩艷麗的花朵構(gòu)成一個(gè)集合B．正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合C．未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合D．不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合答案　BD解析　在A中，花壇上色彩艷麗的花朵不能構(gòu)成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；在B中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故B正確；在C中，未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；在D中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故D正確．二、元素與集合的關(guān)系例2　(1)設(shè)集合M是由不小于2的數(shù)組成的集合，a＝，則下列關(guān)系中正確的是(　　)A．a∈M   B．a?MC．a＝M   D．a≠M答案　B解析　判斷一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合，關(guān)鍵是看這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合中元素的特征，若具有就是，否則不是．∵<2，∴a?M.(2)集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．答案　0,1,2解析　∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素為0,1,2.(學(xué)生)反思感悟　判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．(2)推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．跟蹤訓(xùn)練2　用符號(hào)“∈”或“?”填空：(1)設(shè)集合B是小于的所有實(shí)數(shù)的集合，則2________B,1＋________B；(2)設(shè)集合C是滿足方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合，則3________C,5________C；(3)設(shè)集合D是滿足方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)組成的集合，則－1________D，(－1,1)________D.答案　(1)?　∈　(2)?　∈　(3)?　∈解析　(1)∵2＝>，∴2?B；∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋∈B.(2)∵n是正整數(shù)，∴n2＋1≠3，∴3?C；當(dāng)n＝2時(shí)，n2＋1＝5，∴5∈C.(3)∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，且－1是數(shù)，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.三、元素特性的應(yīng)用例3　已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三個(gè)元素組成的，且－3∈A，求實(shí)數(shù)a.解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.當(dāng)a＝－1時(shí)，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互異性，故a＝－1應(yīng)舍去．當(dāng)a＝－時(shí)，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互異性，∴a＝－.延伸探究在本例中，若集合A中的三個(gè)元素?fù)Q為a－3,2a－1，a2－4，其余不變，求實(shí)數(shù)a的值．解　①若a－3＝－3，則a＝0，此時(shí)A中的元素為－3，－1，－4，滿足題意．②若2a－1＝－3，則a＝－1，此時(shí)A中的元素為－4，－3，－3，不滿足元素的互異性．③若a2－4＝－3，則a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，A中的元素為－2,1，－3，滿足題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，由②知不合題意．綜上可知a＝0或a＝1.(學(xué)生)反思感悟　利用集合中元素的確定性、互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)．(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x.(1)求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件；(2)若－2∈A，求實(shí)數(shù)x的值．解　(1)由集合中元素的互異性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解得x≠－1且x≠0，x≠3.(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.1．下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有(　　)①接近于1的所有正整數(shù)；②小于0的實(shí)數(shù)；③(2 020,1)與(1,2 020)．A．1組  B．2組  C．3組  D．0組答案　B解析　①中接近于1的所有正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不明確，故不能構(gòu)成集合；②中“小于0”是一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成集合；③中(2 020,1)與(1,2 020)是兩個(gè)不同的數(shù)對(duì)，是確定的，能構(gòu)成集合．2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是(　　)A．3.14  B．－5  C.  D.答案　D解析　由題意知a應(yīng)為無(wú)理數(shù)，故a可以為.3．已知集合A中的元素x滿足x－1<，則下列各式正確的是(　　)A．3∈A且－3?A   B．3∈A且－3∈AC．3?A且－3?A   D．3?A且－3∈A答案　D解析　∵3－1＝2>，∴3?A.又－3－1＝－4<，∴－3∈A.4．由方程x2－2x－3＝0和x2－1＝0的根組成的集合中的元素的個(gè)數(shù)為________．答案　3解析　解方程x2－2x－3＝0可得x＝－1或3，解方程x2－1＝0可得x＝－1或1，由于集合中的元素具有互異性，所以由兩個(gè)方程的根組成集合中的元素的個(gè)數(shù)為3.5．設(shè)集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案　k≠±1解析　∵1∈A，k2∈A，結(jié)合集合中元素的互異性可知k2≠1，解得k≠±1.1．知識(shí)清單：(1)元素與集合的概念、元素與集合的關(guān)系．(2)常用數(shù)集的表示．(3)集合中元素的特性及應(yīng)用．2．方法歸納：分類討論．3．常見(jiàn)誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性．1．(多選)下列選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是(　　)A．高一年級(jí)跑得快的同學(xué)   B．中國(guó)的大河C．3的倍數(shù)   D．大于6的有理數(shù)答案　CD解析　根據(jù)集合的定義，選項(xiàng)A，B都不具備確定性．2．給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3?Z；④－?N，其中正確的個(gè)數(shù)為(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　B解析　是實(shí)數(shù)，①正確；是無(wú)理數(shù)，②錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；－是無(wú)理數(shù)，④正確．故選B.3．集合M是由大于－2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是(　　)A.∈M   B．0?MC．1∈M   D．－∈M答案　D解析　>1，故A錯(cuò)；－2<0<1，故B錯(cuò)；1不小于1，故C錯(cuò)；－2<－<1，故D正確．4．若以集合A的四個(gè)元素a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是(　　)A．梯形   B．平行四邊形C．菱形   D．矩形答案　A解析　由于a，b，c，d四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．5．集合A中有三個(gè)元素2,3,4，集合B中有三個(gè)元素2,4,6，若x∈A且x?B，則x等于(　　)A．2  B．3  C．4  D．6答案　B解析　集合A中的元素3不在集合B中，且僅有這個(gè)元素符合題意．6．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個(gè)元素，則整數(shù)a＝________.答案　6解析　∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三個(gè)元素，∴結(jié)合數(shù)軸(圖略)知a＝6.7．設(shè)由2,4,6構(gòu)成的集合為A，若實(shí)數(shù)a∈A時(shí)，6－a∈A，則a＝________.答案　2或4解析　代入驗(yàn)證，若a＝2，則6－2＝4∈A，符合題意；若a＝4，則6－4＝2∈A，符合題意；若a＝6，則6－6＝0?A，不符合題意，舍去．所以a＝2或a＝4.8．若由a，，1組成的集合與由a2，a＋b,0組成的集合相等，則a2 020＋b2 020的值為________．答案　1解析　由已知可得a≠0，因?yàn)閮杉舷嗟?，所以?/span>或所以(舍)或經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－1，b＝0滿足條件，所以a2 020＋b2 020＝1.9．設(shè)A是由滿足不等式x<6的自然數(shù)組成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．解　∵a∈A且3a∈A，∴解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1.10．已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2，若a∈A，求實(shí)數(shù)a的值．解　由題意可知，a＝1或a2＝a.(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)，又當(dāng)a＝0時(shí)，A中含有元素1和0，滿足集合中元素的互異性，符合題意．綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為0.11．(多選)由a2，2－a,4組成一個(gè)集合A，且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值不可能是(　　)A．1  B．－2  C．－1  D．2答案　ABD解析　由題意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，結(jié)合選項(xiàng)知a不可能是ABD.12．已知a，b是非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式＋＋的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是(　　)A．0∈M   B．－1∈MC．3?M   D．1∈M答案　B解析　當(dāng)a，b全為正數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是3；當(dāng)a，b全是負(fù)數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是－1；當(dāng)a，b是一正一負(fù)時(shí)，代數(shù)式的值是－1.13．已知集合M中的元素x滿足x＝a＋b，其中a，b∈Z，則下列實(shí)數(shù)中不屬于集合M中元素的個(gè)數(shù)是(　　)①0；②－1；③3－1；④；⑤；⑥.A．0  B．1  C．2  D．3答案　A解析　當(dāng)a＝b＝0時(shí)，x＝0；當(dāng)a＝－1，b＝0時(shí)，x＝－1；當(dāng)a＝－1，b＝3時(shí)，x＝－1＋3；＝＝6＋4，即a＝6，b＝4；當(dāng)a＝0，b＝2時(shí)，x＝2＝；＝＝－1－，即a＝－1，b＝－1.綜上所述：0，－1,3－1，，，都是集合M中的元素．14．已知集合A含有兩個(gè)元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解組成的集合，且集合A與集合B相等，則a＝________；b＝________.答案　－3　2解析　因?yàn)榧?/span>A與集合B相等，且1∈A,2∈A，所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．所以所以15．已知集合M有2個(gè)元素x,2－x，若－1?M，則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))①2∈M；②1∈M；③x≠3.答案　②解析　依題意解得x≠－1，x≠1且x≠3，當(dāng)x＝2或2－x＝2，即x＝2或0時(shí)，M中的元素為0,2，故①可能正確；當(dāng)x＝1或2－x＝1，即x＝1時(shí)，M中兩元素為1,1不滿足互異性，故②不正確；③顯然正確．16．設(shè)集合A中的元素均為實(shí)數(shù)，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1，且a≠0)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；(2)集合A不可能是單元素集．證明　(1)若a∈A，則∈A.又因?yàn)?/span>2∈A，所以＝－1∈A.因?yàn)椋?/span>1∈A，所以＝∈A.因?yàn)?/span>∈A，所以＝2∈A.所以A中另外兩個(gè)元素為－1，.(2)若A為單元素集，則a＝，即a2－a＋1＝0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解．所以a≠，所以集合A不可能是單元素集．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.1 集合的概念

版本： 人教A版 (2019)

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