考點(diǎn)07  導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義   ①了解導(dǎo)數(shù)的概念，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；②理解導(dǎo)數(shù)額概念，理解基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；理解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，能利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則求簡單的導(dǎo)數(shù)；  導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義重點(diǎn)體現(xiàn)在求函數(shù)的切線方程，在最近幾年高考中經(jīng)?？疾椋粌H體現(xiàn)在填空題中也體現(xiàn)在大題大題的第一問中。多數(shù)都是以送分題的形式出現(xiàn)。    在高考復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn)：1、解決在點(diǎn)處的切線問題要抓住兩點(diǎn)：（1）切點(diǎn)即在曲線上也在曲線的切線上。（2）切線l的斜率2、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及運(yùn)算法則，在求導(dǎo)的過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，緊扣求導(dǎo)法則把函數(shù)分解或者綜合合理變形，正確求導(dǎo)。3、在解題過程中要充分利用好曲線的切線，挖掘切線的價(jià)值，在有些問題中，可利用切線求兩個(gè)曲線上的點(diǎn)的之間距離或求參的范圍。    1、【2020年全國1卷】.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.2、【2020年全國3卷】.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（    ）A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+【答案】D【解析】】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.3、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A．   B．a=e，b=1C．   D．，【答案】D【解析】∵∴切線的斜率，，將代入，得.故選D．【名師點(diǎn)睛】本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到含有a，b的等式，從而求解，屬于?？碱}型.4、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù).若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡可得.故選D.5、(2019年江蘇卷).在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.【答案】4.【解析】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線的距離最小.由，得，，即切點(diǎn)，則切點(diǎn)Q到直線的距離為，故答案為：．6、(2019年江蘇卷)..在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【答案】.【解析】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.7、【2020年山東卷】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；【答案】（1）（2）【解析】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為;8、【2020年天津卷】.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；【解析】(Ⅰ) (i) 當(dāng)k=6時(shí)，，.可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. 所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.9、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，1）（1，+∞）．因?yàn)?/span>，所以在（0，1），（1，+∞）單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點(diǎn)x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)．綜上，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）因?yàn)?/span>，故點(diǎn)B（–lnx0，）在曲線y=ex上．由題設(shè)知，即，故直線AB的斜率．曲線y=ex在點(diǎn)處切線的斜率是，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線y=ex的切線．10、【2020年北京卷】已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程：，即.（Ⅱ）顯然，因?yàn)?/span>在點(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.11、【2019年高考北京理數(shù)】已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a）．當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．【答案】（Ⅰ）與；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由得.令，即，得或.又，，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與.（Ⅱ）令.由得.令得或.的情況如下：    所以的最小值為，最大值為.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)最小時(shí)，.   題型一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、（2010屆北京西城區(qū)第4中學(xué)期中）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，將代入得，故選D．2、（北京市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，如果直線與曲線相切，那么等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線方程為： 直線與曲線相切，，切點(diǎn)為 代入直線方程解得： 故選：A3、（2020屆江蘇省南通市海門中學(xué)高三上學(xué)期10月檢測）曲線在處的切線方程為，則實(shí)數(shù)______.【答案】1；【解析】因?yàn)?/span>，所以，所以，，故曲線在處的切線過且斜率，故切線方程為所以故答案為：4、（江蘇省南通市西亭高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研）若曲線在處的切線斜率為-1，則___________.【答案】【解析】，.故答案為:-2.5、（2020屆山東省濱州市高三上期末）曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________．【答案】【解析】 6、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）直線與曲線相切，則__________.【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則，解得：.故答案為：.7、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為________ .【答案】1【解析】函數(shù)f(x)=ax?lnx,可得,切線的斜率為：，切點(diǎn)坐標(biāo)(1,a),切線方程l為：y?a=(a?1)(x?1)，l在y軸上的截距為：a+(a?1)(?1)=1.故答案為1.8、（江蘇省南通市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期初）給出下列三個(gè)函數(shù)：①；②；③，則直線()不能作為函數(shù)_______的圖象的切線（填寫所有符合條件的函數(shù)的序號）．【答案】①【解析】直線的斜率為k＝，對于①，求導(dǎo)得：，對于任意x≠0，＝無解，所以，直線不能作為切線；對于②，求導(dǎo)得：有解，可得滿足題意；對于③，求導(dǎo)得：有解，可得滿足題意；故答案為：①9、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；【解析】（Ⅰ）解：，當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；10、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)處有極小值，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）因?yàn)?/span>，因?yàn)楹瘮?shù)處有極小值，所以，所以由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因?yàn)?/span>，，所以的最大值為.題型二   函數(shù)圖像的切線的綜合問題1、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）當(dāng)直線和曲線E：交于三點(diǎn)時(shí)，曲線E在點(diǎn)A，點(diǎn)C處的切線總是平行的，則過點(diǎn)可作曲線E的切線的條數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】直線過定點(diǎn)由題意可知：定點(diǎn)是曲線的對稱中心，，解得，所以曲線，f′（x）= ，設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則M縱坐標(biāo)y0=，又f′（x0）=，∴切線的方程為：又直線過定點(diǎn)，得﹣-2=0，，即解得：故可做兩條切線故選C2、（北京市第171中學(xué)2019-2020學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，其中．若的圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象在點(diǎn)處的切線重合，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，兩直線重合的充要條件是①，②，由①及得，故，令，則，且，設(shè)， ，當(dāng)時(shí)，恒成立，即單調(diào)遞減，，時(shí)，，即a的取值范圍為，故選A.3、（2020屆江蘇省七市第二次調(diào)研考試）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點(diǎn)，的面積為3，則的值是______.【答案】【解析】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：4、（2020屆江蘇省南通市如皋中學(xué)高三下學(xué)期3月線上模擬）已知P為指數(shù)函數(shù)圖象上一點(diǎn)，Q為直線上一點(diǎn)，則線段PQ長度的最小值是_______【答案】【解析】設(shè)圖象上斜率為1的切線的切點(diǎn)是，由，，，，即．到直線的距離是．故答案為：．5、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知點(diǎn)P在曲線C：上，曲線C在點(diǎn)P處的切線為l，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線與曲線C的另一交點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為       ．【答案】.【解析】設(shè)，因?yàn)?/span>，所以切線l的斜率，且，則直線，即令，消得：，設(shè)，則，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，故因?yàn)?/span>，所以，即，化簡得，則，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與曲線存在唯一的公切線，求實(shí)數(shù)的值;【解析】(1)，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，解得，由于時(shí)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，故，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. .(2)曲線與曲線存在唯一公切線，設(shè)該公切線與分別切于點(diǎn)，顯然.由于，所以， ， 由于，故，且因此，此時(shí)，設(shè)問題等價(jià)于直線與曲線在時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，又，令，解得，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，而，當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)?/span>.故.7、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；【解析】（1）對求導(dǎo)，得.因此.又因?yàn)?/span>，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.由題意，.顯然，適合上式.令，求導(dǎo)得，因此為增函數(shù)：故是唯一解.  

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