1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上一點處切線的斜率.
2、曲線切線方程的求法：①以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；求切線的斜率f′(x0)；寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化簡；②如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程. 求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個.
3、處理與公切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，建立方程(組)的依據(jù)主要是：①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.
【題型歸納】
題型一：求曲線切線的斜率（傾斜角）
1．已知函數(shù)，則的圖象在點處的切線的斜率為（ ）
A．3B．3C．5D．5
2．曲線在點（1，－2）處的切線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型二：求在曲線上一點處的切線方程（斜率）
4．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．曲線在點的切線的方程為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
題型三：求過一點的切線方程
7．直線過點且與曲線相切，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
8．若曲線y＝eq \r(x)的一條切線經(jīng)過點(8，3)，則此切線的斜率為 ( )
A. eq \f(1,4) B. eq \f(1,2) C. eq \f(1,4)或eq \f(1,8) D. eq \f(1,2)或eq \f(1,4)
9．若過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（ ）
A．0條B．1條C．2條D．3條

題型四： 已知切線（斜率）求參數(shù)
10．函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
11．直線與曲線相切，則的值為（ ）
A．2B．-2C．-1D．1
12．若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．3B．C．2D．
題型五：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題
13．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實數(shù)（ ）
A．B．C．或D．或
14．曲線上的點到直線的最短距離是（ ）
A．B．C．D．
15．若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【雙基達(dá)標(biāo)】
16．若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．3B．C．2D．
17．函數(shù)在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C． D．
18．曲線在處的切線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
19．若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點，使得曲線在這兩點處的切線重合，稱函數(shù)為“自重合”函數(shù)．下列函數(shù)中是“自重合”函數(shù)的為（ ）
A．B．
C．D．
20．已知曲線在點處的切線方程為，則
A．B．C．D．
21．已知M為拋物線上一點，C在點M處的切線交C的準(zhǔn)線于點P，過點P向C再作另一條切線，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
22．若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
23．將曲線上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來的，得到曲線，則上到直線距離最短的點坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
24．已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，則“”是 “”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
25．某地響應(yīng)全民冰雪運(yùn)動的號召，建立了一個滑雪場．該滑雪場中某滑道的示意圖如下所示，點、點分別為滑道的起點和終點，它們在豎直方向的高度差為．兩點之間為滑雪彎道，相應(yīng)的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖像的一部分．綜合考安全性與趣味性，在滑道的最陡處，滑雪者的身體與地面約成的夾角．若還要兼顧滑道的美觀性與滑雪者的滑雪體驗，則、兩點在水平方向的距離約為（ ）
A．B．C．D．
26．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
27．曲線在點處的切線斜率為8，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．6C．12D．
28．若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．
C．D．
29．下列說法正確的是（ ）．
A．曲線的切線和曲線有交點，這點一定是切點
B．過曲線上一點作曲線的切線，這點一定是切點
C．若不存在，則曲線在點處無切線
D．若曲線在點處有切線，則不一定存在
30．曲線y=2sinx+csx在點(π，–1)處的切線方程為
A．B．
C．D．
【高分突破】
單選題
31．如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是l，則（ ）
A．-3B．-2C．2D．1
32．設(shè)曲線(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))在點處的切線及直線和兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則（ ）
A．B．C．D．1
33．已知直線與曲線相切，則（ ）
A．1B．C．0D．
34．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
35．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為（ ）
A．B．C．D．
36．某個國家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時間（單位：天）在天里的散點圖如圖所示，下面四個回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)和時間的回歸方程類型的是（ ）
A．B．C．D．
37．若直線為函數(shù)圖像的切線，則它們的切點的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．或D．或
38．已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
39．曲線在點處的切線方程是（ ）
A．B．
C．D．
40．函數(shù)在處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
41．若直線是函數(shù)圖像的一條切線，則函數(shù)可以是（ ）
A．B．C．D．
42．已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)可能的取值（ ）
A．B．3C．D．
43．設(shè)函數(shù)，則下列選項中正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．函數(shù)有兩個零點
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
D．過原點與函數(shù)相切的直線有且只有一條
44．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為
B．當(dāng)時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)
C．當(dāng)時，既存在極大值又存在極小值
D．當(dāng)時，恰有3個零點，且
三、填空題
45．曲線在點處的切線方程為_____________________.
46．已知曲線：，若過曲線外一點引曲線的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則實數(shù)的值為______．
47．函數(shù)()的圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為，其中，若，則=_____________.
48．已知函數(shù)，若直線與曲線相切，求最大值_____________.
49．曲線在處的切線方程為______.
50．曲線在點處的切線方程為___________．
四、解答題
51．已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
52．已知函數(shù)，從①是函數(shù)的一個極值點，②函數(shù)的圖象在處的切線方程為這兩個條件中任選一個作為已知條件，并回答下列問題．
（1）求a的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間．
53．已知函數(shù)（a為常數(shù)）在處的切線方程為.
（1）求a的值，并討論的單調(diào)性；
（2）若，求證.
54．已知函數(shù).
（1）求導(dǎo)函數(shù)；
（2）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值.
55．設(shè)函數(shù)
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極值.
參考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)函數(shù)可求出，然后利導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.
【詳解】
由題可得，令，得，
所以，即，
所以的圖象在點處的切線的斜率為.
故選：B.
2．B
【解析】
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．
【詳解】
因為，所以，故所求切線的傾斜角為．
故選：B．
3．A
【解析】
【分析】
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式判斷即可.
【詳解】
函數(shù)在處的切線為，在處的切線為，為過，兩點的直線的斜率，由圖可知，
直線，即
故選：A
【點睛】
4．A
【解析】
【分析】
先求導(dǎo)數(shù)，令 ，計算的值 ，得到，，計算斜率 ，用點斜式寫出直線方程即可.
【詳解】
因為，令，則，所以，則， ，，
，所以切線方程為：
故選：A.
5．B
【解析】
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】
由題意可得，∴，即，
∴切線方程為．
故選： B
6．A
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】
，，，，
所以函數(shù)在點處的切線方程為，
即.
故選：A
7．B
【解析】
【分析】
設(shè)切點為，根據(jù)切線所過的點可求，從而可求直線的傾斜角.
【詳解】
，設(shè)切點為，切線的傾斜角為，
則且，故，
故，故，
故選：B
8．C
【解析】
由題意，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，eq \r(x0))，由y＝eq \r(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，得y′＝eq \f(1,2\r(x))，則切線斜率k＝eq \f(1,2\r(x0))，則曲線在切點處的切線方程為y－eq \r(x0)＝eq \f(1,2\r(x0)) (x－x0)，
又切線過點(8，3)，所以3－eq \r(x0)＝eq \f(1,2\r(x0)) (8－x0)，整理得x0－6eq \r(x0)＋8＝0，解得eq \r(x0)＝4或2，所以切線斜率k＝eq \f(1,4)或eq \f(1,8). 故選C.
9．C
【解析】
【分析】
設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點在切線上，即可代入切線方程，解得，即可得解；
【詳解】
解：設(shè)切點為，由，所以，所以，
所以切線方程為，即，因為切線過點，
所以，
解得或，
所以過點作曲線的切線可以作2條，
故選：C
10．B
【解析】
【分析】
先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求答案.
【詳解】
函數(shù)存在與直線平行的切線，即在上有解，
而，所以，因為，所以，所以．
所以的取值范圍是．
當(dāng)直線就是的切線時，設(shè)切點坐標(biāo)，
可得，解得．
所以實數(shù)的取值范圍是：．
故選：B．
11．D
【解析】
【分析】
求出，設(shè)切點，由求出，代入可得答案.
【詳解】
，設(shè)切點，由，
所以，代入，得．
故選：D.
12．C
【解析】
【分析】
由求得值，然后利用是切點可求得值．
【詳解】
，由已知，，即，
，
所以，．
故選：C.
13．D
【解析】
【分析】
根據(jù)垂直性質(zhì)可得，再求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的方程為，再設(shè)函數(shù)與直線切于點，列式求解即可
【詳解】
由題知，，令，又，解得，因為，所以切線的方程為.，
設(shè)函數(shù)與直線切于點，
所以，故，
即，，解得或.
故選：D
14．B
【解析】
【分析】
求曲線的切線方程，再求兩平行線間距離.
【詳解】
如圖所示，設(shè)曲線上一點，且在該點處切線斜率為，
，所以斜率，
解得，故切點為，
切線方程為，即，
兩直線間距離為，
故選：B.
15．B
【解析】
【分析】
分別設(shè)公切線與和的切點，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式，再化簡可得，再求導(dǎo)分析的最大值即可
【詳解】
，，設(shè)公切線與的圖象切于點，與曲線切于點，
∴，故，所以，∴，∵，故，
設(shè)，則，
∴在上遞增，在上遞減，∴，
∴實數(shù)a的最大值為e
故選：B.
16．D
【解析】
【分析】
由導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)，將切點代入切線方程即可求出.
【詳解】
，依題意可得，即，因為，所以.
故選：D
17．A
【解析】
【分析】
由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算即可求解
【詳解】
，求導(dǎo)得，
則當(dāng)時，，所以切線的斜率為2．
又當(dāng)時，，所以切點為．
所以切線方程為．
故選：A
【點睛】
方法點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程，求切線常見考法：
(1)已知切點求斜率k，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：．
(2)已知斜率k，求切點，即解方程.
(3)若求過點的切線方程，可設(shè)切點為，由，求解即可．
18．B
【解析】
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到結(jié)果.
【詳解】
∵，∴
∴，
∴曲線在處的切線的傾斜角是，
故選：B
19．D
【解析】
【分析】
切線在兩點處切線重合，先保證在不同點處導(dǎo)數(shù)相同，則A,B錯誤，導(dǎo)數(shù)相同的情況下，確定切線相同，故C錯誤；D選項中，能夠找到導(dǎo)數(shù)相同，且切線相同的兩個點，所以正確
【詳解】
若曲線在這兩點處的切線重合，首先要保證兩點處導(dǎo)數(shù)相同；A選項中，；B選項中，；導(dǎo)數(shù)為單調(diào)函數(shù)，切點不同時，導(dǎo)數(shù)值不同，所以切線不可能重合，所以錯誤；
C選項中，，若斜率相同，則切點為和，代入解得切線方程分別為：和，若切線重合，則，此時兩切點為同一點，不符合題意，故C錯誤；
D選項中，，令得：，則有點，切線分別為和，存在不同的兩點使得切線重合，故D正確
故選：D
【點睛】
題目是新定義的題型，本質(zhì)是求不同兩點處的切線，保證切線相同，所以可以先保證斜率相同，在斜率相同的情況下，求出切線所過的點，寫出切線方程，保證方程相同
20．D
【解析】
通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點的坐標(biāo)代入直線方程，求得．
【詳解】
詳解：
，
將代入得，故選D．
【點睛】
本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．
21．D
【解析】
【分析】
先根據(jù)C在點M處的切線，求出的值，再求得點，然后再求過點拋物線的切線方程.
【詳解】
設(shè) ，由題意知，，則，
C在點M處的切線，所以
所以 ，則，
將代入的方程可得，即
拋物線的準(zhǔn)線方程為：
則.設(shè)與曲線C的切點為，
則，解得或（舍去），
則，所以的方程為.
故選：D
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點和過某點的切線方程，屬于中檔題.
22．D
【解析】
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】
設(shè)直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，
設(shè)直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.
23．B
【解析】
【分析】
先利用函數(shù)圖象的變換得到曲線對應(yīng)函數(shù)，將曲線上點到直線的最短距離轉(zhuǎn)化為曲線在某點處的切線和所給直線平行，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.
【詳解】
將化為，
則將曲線上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來的，
得到曲線，即，
要使曲線上的點到直線的距離最短，
只需曲線上在該點處的切線和直線平行，
設(shè)曲線上該點為，
因為，且的斜率為，
所以，解得或（舍），
即該點坐標(biāo)為.
故選：B.
24．A
【解析】
【分析】
本題首先可根據(jù)得出，然后求解，得出，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為，所以，，
若，則，解得，
故“”是 “”的充要條件，
故選：A.
25．D
【解析】
【分析】
以滑道的最陡處為原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點，設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，設(shè)點，則，在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，由題意得出，，求出，即可得解.
【詳解】
以滑道的最陡處為原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點，
設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，設(shè)點，則，
，在滑道最陡處，，
則的對稱軸為直線，則，可得，則，，
在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，
則，
所以，，，
由圖可知，可得，
，則.
故選：D.
26．C
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即可求出，再根據(jù)點斜式求出切線方程；
【詳解】
解：∵的導(dǎo)數(shù)為，
∴．∵，∴曲線在點處的切線方程為，即．
故選：C．
27．A
【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,建立方程,即可求得的值.
【詳解】
由，得，
則曲線在點處的切線斜率為，得.
故選：A.
【點睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
28．D
【解析】
【分析】
解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】
在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.
故選：D.
【點睛】
解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.
29．D
【解析】
【分析】
結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義舉例子可判斷A、B、C、D；進(jìn)而可得正確選項.
【詳解】
對于A：曲線的切線與曲線的交點不一定唯一，如曲線在處的切線為：，即，切線與另一個交點為，
故選項A說法錯誤；
對于B：過曲線上一點作曲線的切線，這點不一定是切點，如與相切于點，同時經(jīng)過另一點，可以說過點的直線與曲線相切，但切點是不是，故選項B不正確；
對于C：若不存在，曲線在點處可以有切線，如在時，不存在，但有切線，故選項C錯誤；
對于D：由曲線在一點處有平行于軸的切線，且在該點處不連續(xù)，則不一定存在，如在時，有切線，但不存在，故選項D正確，
故選：D．
30．C
【解析】
【分析】
先判定點是否為切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】
當(dāng)時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點，設(shè)出切點，再求導(dǎo)，然后列出切線方程．
31．D
【解析】
【分析】
由題圖求得函數(shù)的圖象在點P處的切線方程，再求得，，從而求得答案.
【詳解】
解：由題圖可得函數(shù)的圖象在點P處的切線與x軸交于點，與y軸交于點，則切線，
，，，
故選：D.
32．B
【解析】
【分析】
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的方程，根據(jù)圍成的四邊形有外接圓，得到切線與直線垂直，列出方程，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)，可得，則，
即曲線在點處的切線的斜率為，
所以切線方程為，即，
要使得切線與直線和兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓，
則滿足兩直線垂直，即，解得.
故選：B.
33．B
【解析】
【分析】
設(shè)直線與曲線相切時，切點坐標(biāo)為，求導(dǎo)，且，解出和的值.
【詳解】
設(shè)切點坐標(biāo)為，求導(dǎo)得，則，得，又，得.
故選：B.
34．A
【解析】
【分析】
由在和上的單調(diào)性，畫出的圖象，分別求得當(dāng)與相切時，當(dāng)和相切時，切點的坐標(biāo)，求得對應(yīng)的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得范圍.
【詳解】
|恒成立可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象不在圖象的下方，
∵當(dāng)時，，∴，
∴在上單調(diào)遞減，且，
又∵當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞增，且，
畫出函數(shù)圖象如下圖所示，，
當(dāng)和相切時，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，
∴，即，解得，∴切點坐標(biāo)為，
∴此時，結(jié)合圖象可知，
當(dāng)和相切時，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，
∴，即，解得，∴切點坐標(biāo)為，
∴此時，結(jié)合圖象可知，
則實數(shù)的取值范圍為，
故選：.
35．A
【解析】
【分析】
對函數(shù)求導(dǎo)，然后令，可得出關(guān)于的等式，求出的值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】
，，，解得，
因此，函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為.
故選：A.
【點睛】
本題考查函數(shù)的切線斜率的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
36．B
【解析】
【分析】
根據(jù)散點圖據(jù)曲線形狀判斷．
【詳解】
，，
A中是常數(shù)，B中是增函數(shù)，C中是減函數(shù)，D中是減函數(shù)，
散點圖所有點所在曲線的切線的斜率隨的增大，而增大，而四個選項中，A斜率不變，CD的斜率隨的增大而減小，只有B滿足．
故選：B．
37．D
【解析】
對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切點坐標(biāo).
【詳解】
∵，∴，
∵切線方程為，
∴令，代入得：，
∴切點坐標(biāo)為或.
故選：D.
【點睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
38．D
【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和在處的切線斜率，再由與直線垂直斜率乘積為可得答案.
【詳解】
，
，切線的斜率為，
因為切線與直線垂直，所以，
解得.
故選：D.
39．B
【解析】
【分析】
先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.
【詳解】
依題意得，當(dāng)時，，即切線的斜率為2，故切線方程為，即.
故選：B．
40．C
【解析】
先求出導(dǎo)函數(shù)，代入可得切線斜率，再求出切點，進(jìn)而可得切線方程.
【詳解】
解：由已知，
則，
又時，，
則切線方程為.
故選：C.
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，是基礎(chǔ)題.
41．BCD
【解析】
【分析】
求得已知直線的斜率，對選項中的函數(shù)分別求導(dǎo)，可令導(dǎo)數(shù)為，解方程即可判斷結(jié)論
【詳解】
解：直線的斜率為，
由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率小于0，故A不正確；
由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故B正確；
由的導(dǎo)數(shù)為，而有解，故C正確；
由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故D正確，
故選：BCD
【點睛】
此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題
42．AC
【解析】
【分析】
本題先求導(dǎo)函數(shù)并根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，再根據(jù)根的分布求的取值范圍，最后判斷得到答案即可.
【詳解】
解：∵ ，
∴ ，
可令切點的橫坐標(biāo)為，且，
可得切線斜率即，
由題意，可得關(guān)于的方程有兩個不等的正根，
且可知，
則，即，
解得：，
所以的取值可能為，.
故選：AC.
【點睛】
本題考查求導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根的分布，是中檔題.
43．BCD
【解析】
【分析】
結(jié)合函數(shù)的奇偶性、零點、對稱性、切線方程對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.
【詳解】
的定義域為，
，所以是非奇非偶函數(shù)，A選項錯誤.
由，解得，所以B選項正確.
，令，
的定義域為，
，
所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以關(guān)于對稱，C選項正確.
對于D選項， 圖象上一點，
當(dāng)時，，
則，
故過點的切線方程為，
將代入上式得，
整理得，
構(gòu)造函數(shù)，
在遞增；在遞減.
，所以，即方程無解，
也即當(dāng)時，不存在過原點的切線.
當(dāng)時，，
，
則，，
故過點的切線方程為，
將代入上式得，
整理得，
構(gòu)造函數(shù)，
所以在遞減，，
所以有唯一零點，
也即當(dāng)時，存在唯一一條過原點的切線.
綜上所述，D選項正確.
故選：BCD
【點睛】
求曲線的切線方程，要注意已知點是曲線上的點還是曲線外的點.當(dāng)已知點在曲線外時，要設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，根據(jù)點斜式寫出切線方程，然后代入已知點進(jìn)行求解.含有絕對值的函數(shù)，要注意根據(jù)絕對值的知識進(jìn)行去絕對值.
44．BCD
【解析】
【分析】
按照導(dǎo)數(shù)幾何意義解決；
證明導(dǎo)數(shù)為正值即可；
以極值定義去判定；
構(gòu)造函數(shù)去證明.
【詳解】
選項A: 當(dāng)時，曲線,
則，切線斜率
又，
故曲線在點處的切線方程為.
A選項錯誤；
選項B:
令，
則
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
在處取得最小值
當(dāng)時，對任意恒成立，
則對任意恒成立，
故當(dāng)時，在定義域內(nèi)為增函數(shù).B選項正確；
選項C:
由以上分析知道：
在處取得最小值
當(dāng)時，必有二根，
不妨設(shè)為
則當(dāng)時，，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，，為減函數(shù)，
當(dāng)時，，，為增函數(shù)，
故既存在極大值又存在極小值. C選項正確；
選項D: 由上面分析可知既存在極大值又存在極小值，
不妨設(shè)的極大值點為m，極小值點為n,且，
在上單調(diào)遞減，又
故極大值為正值，極小值為負(fù)值，
當(dāng)時，；當(dāng)時，
故函數(shù)有三個零點，不妨設(shè)為，
又
故有，則
即當(dāng)時，恰有3個零點，且正確.
故選：BCD
45．
【解析】
【分析】
首先判定點在曲線上，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案.
【詳解】
由題意可知點在曲線上，
而，故曲線在點處的切線斜率為 ，
所以切線方程為：，即，
故答案為：
46．
【解析】
【分析】
設(shè)切點為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，根據(jù)傾斜角關(guān)系求a.
【詳解】
設(shè)切點坐標(biāo)為．由題意，知，切線的斜率為①，所以切線的方程為②．
將點代入②式，得，解得或．分別將和代入①式，得和．由題意，得，得．
故答案為：.
47．21
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在點處的切線方程，從而求得，進(jìn)而求得正確答案.
【詳解】
，，，
所以切線方程為，
令得，.
即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
由于，所以，
所以.
故答案為：
48．
【解析】
【分析】
先利用直線與曲線相切得到，所以.
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，求出g(a)的最大值.
【詳解】
設(shè)直線y=x與曲線相切于點.
因為，所以，所以.
又因為P在切線y=x上，所以，
所以，
因此.
設(shè)，則由，
令，解得：；令，解得：；
所以g(a)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可知g(a)的最大值為，所以ab的最大值為.
故答案為：
49．
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及曲線在某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，然后根據(jù)點斜式，可得結(jié)果.
【詳解】
解：對求導(dǎo)得：，
故在處切線斜率為，所以切線方程為.
故答案為：.
【點睛】
本題考查曲線在某點處的切線方程，重點在于曲線在某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.
50．.
【解析】
【分析】
本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程
【詳解】
詳解：
所以，
所以，曲線在點處的切線方程為，即．
【點睛】
準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計算錯誤．求導(dǎo)要“慢”，計算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求．
51．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；
（2）設(shè)點、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.
【詳解】
（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值
由題意知，，設(shè)圓M上的點，則．
所以．
從而有．
因為，所以當(dāng)時，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點為，，
所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長求面積法
拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點為這兩條直線的公共點，則，
所以，點A、的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
點到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當(dāng)時，的面積取最大值.
[方法二]【最優(yōu)解】：切點弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點在圓M上，則
．
故當(dāng)時的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法
設(shè)切點A，B的坐標(biāo)分別為，．
設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯(lián)立方程可得點P的坐標(biāo)為，即．
將點P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長公式得．
點P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當(dāng)時，．
【整體點評】
（1）方法一利用兩點間距離公式求得關(guān)于圓M上的點的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長公式求得的長，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長公式和點到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；
52．（1）條件性選擇見解析，；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．
【解析】
【分析】
（1）選①，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個極值點，得函數(shù)在處得到函數(shù)值為0，即可得出答案；
選②，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即函數(shù)在處得導(dǎo)數(shù)值為3，即可的解；
（2）由（1）得，求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得符號即可得出答案.
【詳解】
解：（1）選①．
由題意知，，
依題意得，，
即，經(jīng)檢驗符合題意．
選②．
由題意知，，
因為函數(shù)的圖象在處的切線方程為，
所以，得．
（2）由（1）得，
，
令得，或，
列表：
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．
53．（1），在定義域上為增函數(shù)；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由可得（也可由求得），為確定的正負(fù)，設(shè)，再求導(dǎo)，由的正負(fù)確定單調(diào)性，從而得正負(fù)，得的單調(diào)性；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，然后引入函數(shù)，求出，對其中的部分函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用剛證的不等式可得，從而遞增，因此可得是增函數(shù)（），因此得出單調(diào)性及最小值，得，于是得，結(jié)合已知得，由的單調(diào)性得證結(jié)論．
【詳解】
解：（1），
切線斜率，
所以，
此時，
則，
可得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因此恒成立，
故在定義域上為增函數(shù)
（2）先證不等式，
設(shè)，則，
可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)時，即成立，，
令，
則，
設(shè)，
則，利用不等式得，
那么，
所以是增函數(shù)，故是增函數(shù)，
又因為，在時，，時，，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，.
所以，即，當(dāng)時，取等號，所以，
又由得，
所以，
又在定義域上為增函數(shù)，
所以，即得證.
【點睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式成立．證明不等式的關(guān)鍵是引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，這樣明確，即求得的最小值為0即可．本題考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，分析問題解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，本題屬于難題．
54．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則直接求導(dǎo)；
(2)利用切點與切線及曲線的關(guān)系，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可計算得解.
【詳解】
（1）由，
得；
（2）因為切點既在曲線上，又在切線上，
于是將代入切線方程，得，又，則，解得，
而切線的斜率為，即，又，則，解得，
所以，.
55．（1）；（2）極大值為，極小值為.
【解析】
（1）首先計算得到切點為，再求導(dǎo)代入得到斜率，利用點斜式即可得到切線方程.
（2）首先求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極值.
【詳解】
（1），切點為.
，.
曲線在點處的切線方程為，即.
（2）
令，解得，.
，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù).
則函數(shù)的極大值為，
極小值為.
【點睛】
本題第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問考查導(dǎo)數(shù)的極值問題，屬于簡單題.
-1
3
-
0
+
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-

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