?考點08 利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
考綱要求



1、 了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次函數(shù)的多項式函數(shù)的單調(diào)性。
2、 了解函數(shù)極大（?。┲?、最大（?。┲蹬c導數(shù)的關(guān)系，會求不超過三次函數(shù)的多項式函數(shù)的極大（?。┲?、最大（?。┲?。
近三年高考情況分析



利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值和最值是近幾年高考的熱點和難點，在考查中主要以壓軸題的方式出現(xiàn)，難度較大?？v觀這幾年江蘇高考不難發(fā)現(xiàn)主要利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點和不等式等知識點的結(jié)合。因此在復習中要注意加強函數(shù)的性質(zhì)的研究和學習。

考點總結(jié)




1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性要注意一下兩點：（1）求函數(shù)的單調(diào)性不要忘記求函數(shù)的定義域。（2）給定區(qū)間的單調(diào)性不要忽略等號；
2、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這類問題常于含參的不等式結(jié)合，要重視分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想的應用。
3、求參數(shù)的取值范圍，這類問題可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的極值或者最值問題；

三年高考真題





1、【2020年江蘇卷】在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．
【答案】
【解析】
設圓心到直線距離為，則
所以
令（負值舍去）
當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，
故答案為：
2、【2019年高考天津理數(shù)】已知，設函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】當時，恒成立；
當時，恒成立，
令，
則
，
當，即時取等號，
∴，則.
當時，，即恒成立，
令，則，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
則時，取得最小值，
∴，
綜上可知，的取值范圍是.
故選C.
3、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)，則的最小值是_____________．
【答案】
【解析】，
所以當時函數(shù)單調(diào)遞減，當時函數(shù)單調(diào)遞增，
從而得到函數(shù)的遞減區(qū)間為，
函數(shù)的遞增區(qū)間為，
所以當時，函數(shù)取得最小值，
此時，
所以，
故答案是.
4、【2019年高考北京理數(shù)】設函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.
若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，
即對任意的恒成立，
則，得.
若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，則，
即實數(shù)的取值范圍是.
5、【2018年高考江蘇】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為________．
【答案】–3
【解析】由得或，
因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，
因此解得.
從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 ，
則
故答案為.
6、【2020年全國1卷】.已知函數(shù).
（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
【解析】(1)當時，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增.
(2)由得，，其中，
①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當時，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，
則，，
故單調(diào)遞增，，
故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
因此，,
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.
7、【2020年天津卷】.已知函數(shù)，為的導函數(shù)．
（Ⅰ）當時，
（i）求曲線在點處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當時，求證：對任意的，且，有．
【解析】(Ⅰ) (i) 當k=6時，，.可得，，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
(ii) 依題意，.
從而可得，
整理可得：，
令，解得.
當x變化時，的變化情況如下表：









單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；
g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.
（Ⅱ）證明：由，得.
對任意的，且，令，則



. ①
令.
當x>1時，，
由此可得在單調(diào)遞增，所以當t>1時，，即.
因為，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，當時，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，當時，任意的，且，有
.
8、【2020年山東卷】已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．
【解析】（1），，.
，∴切點坐標為(1,1+e),
∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標軸交點坐標分別為,
∴所求三角形面積為;
（2）解法一：,
，且.
設,則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當時，,∴,∴成立.
當時， ，，,
∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當時， ∴不是恒成立.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
解法二：等價于
,
令,上述不等式等價于,
顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，
令,則
在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)0，則當時，；當時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若a=0，在單調(diào)遞增；
若a

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