?2022-2023學(xué)年浙江省杭州市余杭區(qū)云城天元公學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
第I卷（選擇題）
一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、分母中含有未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B、未知數(shù)的最高次數(shù)為1，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
C、有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D、是一元二次方程，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫一元二次方程．
3. 下列計算正確的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，根據(jù)二次根式的加減乘除運算法則進行計算．二次根式的加減，實質(zhì)是合并同類二次根式；二次根式相乘除，等于把它們的被開方數(shù)相乘除．
【詳解】解：、，故錯誤；
、二次根式相乘除，等于把它們的被開方數(shù)相乘除，故正確；
、，故錯誤；
、，故錯誤．
故選：．
【點睛】此題考查了二次根式的化簡和二次根式的運算．注意二次根式的性質(zhì)：．
4. 有20位同學(xué)參加歌唱比賽，成績各不相同，按成績?nèi)∏?0位進入決賽，一位選手知道了自己的成績后，要判斷能否進入決賽，則他還需知道這20位同學(xué)成績的（ ）
A. 平均數(shù) B. 眾數(shù) C. 中位數(shù) D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】參賽選手要想知道自己是否能進入前10名，只需要了解自己的成績與全部成績的中位數(shù)的大小即可．
【詳解】解：由于總共有20個人，且他們的成績互不相同，要判斷是否進入前10名，只要把自己的成績與中位數(shù)進行大小比較．則應(yīng)知道中位數(shù)的多少．
故選：C．
【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．
5. 要判斷一個四邊形是否為矩形，下面是4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是 （ ）
A. 測量兩組對邊是否分別相等
B. 測量兩條對角線是否互相垂直平分
C. 測量其中三個內(nèi)角是作都為直角
D. 測量兩條對角線是否相等
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的判定和平行四邊形的判定以及菱形的判定分別進行判斷，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：矩形的判定定理有①有三個角是直角的四邊形是矩形，②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，③有一個角是直角的平行四邊形是矩形，
、根據(jù)兩組對邊分別相等，只能得出四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤；
、根據(jù)對角線互相垂直平分得出四邊形是菱形，故本選項錯誤；
、根據(jù)矩形判定，可得出此時四邊形是矩形，故本選項正確；
、根據(jù)對角線相等不能得出四邊形是矩形，故本選項錯誤；
故選：．
【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形和菱形的判定，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力．
6. 一個多邊形的內(nèi)角和為，外角和為，則的多邊形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°可得，從而得到，繼而得到邊邊數(shù)，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：外角和，
∵，
∴，
∵，
∴該多邊形為六邊形．
故選：D
【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合問題，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和定理是解題的關(guān)鍵．
7. 用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于”時，應(yīng)假設(shè)（ ）
A. 三角形的二個內(nèi)角小于 B. 三角形的三個內(nèi)角都小于
C. 三角形的二個內(nèi)角大于 D. 三角形的三個內(nèi)角都大于
【答案】B
【解析】
【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷．
【詳解】反證法證明命題“三角形中至少有一個角大于或等于60°”時，
首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中每一個內(nèi)角都小于60°，
故選B．
【點睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．
8. 電影《我和我的祖國》一上映，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達(dá)10億元，若增長率記作x，方程可以列為（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第一天為3億元，根據(jù)增長率為x得出第二天為億元，第三天為億元，根據(jù)三天累計為10億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．
【詳解】設(shè)平均每天票房的增長率為x，
根據(jù)題意得．
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，點，為定點，定直線，是上一動點，點，分別為，的中點，對于下列各值：①線段的長；②的周長；③的大??；④直線，之間的距離．其中會隨點的移動而不改變的是（ ）

A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形中位線定理判斷即可．
【詳解】解：∵點，分別為，的中點，
∴，，
∴線段的長不變，直線，之間的距離不變，故①④符合題意，
而、的長隨點的運動而改變，的大小隨點的運動而改變，故②③不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
10. 若關(guān)于的一元二次方程（且）與關(guān)于的一元一次方程有一個公共解，且方程只有一個解，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由是方程和的一個公共解，可得出是方程的一個解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出，整理后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程與關(guān)于的一元一次方程有一個公共解，
∴是方程的一個解，
∵方程只有一個解，
∴，
整理得：．
故選：B．
【點睛】本題考查一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出是解題的關(guān)鍵．
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共5小題，共20.0分）
11. 若二次根式有意義，則的取值范圍為______．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式及分式有意義的條件可直接進行求解．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴且，
∴且；
故答案為：且．
【點睛】本題主要考查二次根式及分式有意義的條件，熟練掌握二次根式要有意義被開方數(shù)大于等于0，分式要有意義分母不為0是解題的關(guān)鍵．
12. 若一組數(shù)據(jù)1，2，x，4的眾數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的方差為_____．
【答案】1.5
【解析】
【詳解】試題分析：眾數(shù)是這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，由此判斷x為1，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(1+2+1+4)÷4=2,所以方差為，=1.5，
故這組數(shù)據(jù)的方差為1.5．
【點睛】考點：方差計算.

13. 若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)配方法以及二次根式的運算法則即可求出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查二次根式的運算，求代數(shù)式的值，運用了恒等變換和整體代入的思想．解題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式以及二次根式的運算法則．
14. 四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝8，∠BAD的平分線交直線BC于點E．若CE＝2，則BC的長為____．
【答案】6或10##10或6
【解析】
【分析】可分：當(dāng)E點在線段BC和當(dāng)E點在線段BC延長線上時兩種情況，分別由平行四邊形的性質(zhì)知BC∥AD，由平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可得∠BEA＝∠BAE，進而可求解BE的長，即可求得BC的長．
【詳解】解：當(dāng)E點在線段BC上時，如圖：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
當(dāng)E點在線段BC延長線上時，如圖：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6，
綜上，BC的長為10或6．
故答案為：6或10．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，證明BE＝AB及分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
15. 如圖，矩形中，，，連接對角線，為的中點，為直線上的一個動點，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接、，若與的重疊部分面積等于的，則______．

【答案】或
【解析】
【分析】分點F在上和外兩種情形計算，如圖中，當(dāng)點在線段上時，連接，，作于，于只要證明四邊形是平行四邊形即可解決問題，同理可證明．
【詳解】解：分點F在上和外兩種情況，
如圖中，當(dāng)點在線段上時，連接，，作于，于．

與的重疊部分面積等于的，
，
，于，于，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
；
同理可證，當(dāng)點F在外時， ；

綜上所述：或．
故答案為：或．
【點睛】本題屬于中考填空題中的綜合題．考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考填空題中的壓軸題．
三、解答題（本大題共8小題，共70．0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. 已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍．
【答案】a＜2且a≠1
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a-1≠0且Δ=（-2）2-4（a-1）>0，然后解兩個不等式得到它們的公共部分即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）>0，
解得a0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ>0，方程沒有實數(shù)根．
17. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘法，再算加法即可；
（2）把根式分母有理化，再算乘法，最后算加減即可．
【小問1詳解】
解：


；
【小問2詳解】



．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算及分母有理化，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用公式法求解比較簡便；
（2）利用因式分解法求解比較簡便
【小問1詳解】
解：，
這里，，，
∴，
∴，
∴，．
【小問2詳解】
，
，
，
∴，．
【點睛】本題考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在的方格紙中，每個小正方形的邊長均為，，兩點均在小正方形的頂點上，請按下列要求，在圖，圖中各畫一個四邊形所畫四邊形的頂點均在小正方形的頂點上

（1）在圖中畫以，，，為頂點的平行四邊形，且其中一條對角線長等于；
（2）在圖中畫以，，，為頂點的平行四邊形，且面積為．
【答案】（1）作圖見解析
（2）作圖見解析
【解析】
【分析】（1）取格點、，連接、、即可；
（2）取格點、，連接、、、即可．
【小問1詳解】
解：如圖中，取格點、，連接、、，
∵每個小正方形的邊長均為，，兩點均在小正方形的頂點上，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形即為所作；
【小問2詳解】
如圖中，取格點、，連接、、、，
∵每個小正方形的邊長均為，，兩點均在小正方形的頂點上，
∴，，
，，，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴四邊形的面積為：，
∴四邊形即為所作．

【點睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理及勾股定理的逆定理，正方形的面積等知識．解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
20. 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E，且AB＝BE．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）連結(jié)BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四邊形ABCD面積．

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCD的面積
【解析】
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAF＝∠E，可證AD∥BE，可得結(jié)論；
（2）先證△ABE是等邊三角形，可求S△ABF的面積，即可求解
【詳解】（1）證明：∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝=＝，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×＝，
∴?ABCD的面積＝2×S△ABF＝．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識．熟記并靈活運用各個知識點是解題的關(guān)鍵．
21. 某山區(qū)中學(xué)280名學(xué)生參加植樹節(jié)活動，要求每人植3至6棵，活動結(jié)束后隨機抽查了若干名學(xué)生每人的植樹量，并分為四種類型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，將各類的人數(shù)繪制成扇形圖（如圖1）和條形圖（如圖2）．

回答下列問題：
（1）這次調(diào)查一共抽查了_________名學(xué)生的植樹量；請將條形圖補充完整；
（2）被調(diào)查學(xué)生每人植樹量的眾數(shù)是________棵，中位數(shù)是_______棵；
（3）求被調(diào)查學(xué)生每人植樹量的平均數(shù)，并估計這280名學(xué)生共植樹多少棵？
【答案】（1）20，補全統(tǒng)計圖見解析；（2）4、4；（3）1204棵
【解析】
【分析】（1）由B類型的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以D類型的對應(yīng)的百分比即可求出其人數(shù)，據(jù)此可補全圖形；
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念可得答案；
（3）先求出樣本平均數(shù)，再乘以總?cè)藬?shù)即可．
【詳解】解：（1）這次調(diào)查一共抽查植樹的學(xué)生人數(shù)為8÷40%=20（人），
D類人數(shù)=20×10%=2（人）．

故答案為：20；
（2）眾數(shù)是4，中位數(shù)是4，
故答案為：4、4；
（3） =4.3（棵），
43×280=1204（棵）．
答：估計這280名學(xué)生共植樹1204棵．
【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，眾數(shù)，中位數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
22. 我市某企業(yè)安排65名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)2件甲產(chǎn)品或1件乙產(chǎn)品，經(jīng)測第，甲產(chǎn)品每件可獲利15元，乙產(chǎn)品每件可獲利120元，而實際生產(chǎn)中，生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要額外支出一定的費用，經(jīng)過核算，每生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，當(dāng)天平均每件獲利減少2元，設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品
（1）根據(jù)信息填表：
產(chǎn)品種類
每天工人數(shù)（人）
每天產(chǎn)量（件）
每件產(chǎn)品可或利潤（元）
甲
65-x
______
15
乙
x
x
______
（2）若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多650元，試問：該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品可獲得總利潤是多少元？
（3）根據(jù)市場需求，該企業(yè)在不增加工人的情況下，需要增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等．已知每人每天可生產(chǎn)1件丙（每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品），丙產(chǎn)品每件可獲利30元．要使該企業(yè)每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品也能獲得第（2）題中同樣的利潤，請問該企業(yè)應(yīng)如何安排工人進行生產(chǎn)？
【答案】（1）2（65-x），120-2x；（2）2650；（3）10人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，35人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，20人生產(chǎn)丙產(chǎn)品．
【解析】
【分析】（1）設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，則每天安排（65-x）人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每天可生產(chǎn)x件乙產(chǎn)品，每件的利潤為（120-2x）元，每天可生產(chǎn)2（65-x）件甲產(chǎn)品，此問得解；
（2）由總利潤=每件產(chǎn)品的利潤×生產(chǎn)數(shù)量結(jié)合每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多650元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)該企業(yè)安排m人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，則安排2m人生產(chǎn)丙產(chǎn)品，安排（65-3m）人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，根據(jù)總利潤=每件產(chǎn)品利潤×生產(chǎn)數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，則每天安排（65-x）人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每天可生產(chǎn)x件乙產(chǎn)品，每件的利潤為（120-2x）元，每天可生產(chǎn)2（65-x）件甲產(chǎn)品．
故答案為2（65-x）；120-2x．
（2）依題意，得：15×2（65-x）-（120-2x）?x=650，
整理，得：x2-75x+650=0
解得：x1=10，x2=65（不合題意，舍去），
∴15×2（65-x）+（120-2x）?x=2650．
答：該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品可獲得總利潤是2650元．
（3）設(shè)該企業(yè)安排m人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，則安排2m人生產(chǎn)丙產(chǎn)品，安排（65-3m）人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，
依題意，得：15×2m+30×2m+[120-2（65-3m）]（65-3m）=2650，
整理，得：3m2-85m+550=0，
解得：m1=10，x2=（不合題意，舍去），
∴2m=20，65-3m=35．
答：該企業(yè)應(yīng)安排10人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，35人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，20人生產(chǎn)丙產(chǎn)品．
【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量及每件乙產(chǎn)品的利潤；（2）（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
23. 如圖，已知菱形，，點是射線上的動點，以為邊向右側(cè)作等邊，連結(jié)．

（1）如圖1，點在線段上，求證：．
（2）如圖2，當(dāng)，，三點共線時，連結(jié)，求證：四邊形是菱形．
（3）當(dāng)時，求的值．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的對稱性可得PC＝AP，又△APE是等邊三角形，AP＝PE，即得PC＝PE；
（2）連接AC，證明△CAP≌△DAE（SAS），得CP＝DE，∠CPA＝∠DEA＝120°，可得∠APE＝∠PED＝60°，AP∥DE，而由菱形的對稱性可得CP＝AP，即知AP＝DE，可得四邊形APDE是菱形；
（3）分兩種情況：當(dāng)P在線段BD上時，過P作PF⊥AB于F，由∠CPE＝90°，∠APE＝60°，得∠APC＝150°，知∠APD＝∠CPD＝∠APC＝75°，可得△APF是等腰直角三角形，設(shè)AF＝PF＝m，勾股定理求得，當(dāng)P在BD延長線上時，連接AC交BD于O，同理可得
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD是菱形，點P在線段BD上，
∴由菱形的對稱性可得PC＝AP，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP＝PE，
∴PC＝PE；
【小問2詳解】
證明：連接AC，如圖：
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，△ADC是等邊三角形，
∴∠CAD＝60°，AC＝AD，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴∠CAD＝60°＝∠PAE，
∴∠CAP＝∠DAE，
在△CAP和△DAE中，
，
∴△CAP≌△DAE（SAS），
∴CP＝DE，∠CPA＝∠DEA＝180°?∠APE＝120°，
∴∠PED＝∠DEA?∠AEP＝60°，
∴∠APE＝∠PED＝60°，
∴AP∥DE，
∵四邊形ABCD是菱形，點P在線段BD上，
∴由菱形的對稱性可得CP＝AP，
∴AP＝DE，
∴四邊形APDE是平行四邊形，
∵AP＝AE，
∴四邊形APDE是菱形；
【小問3詳解】
解：當(dāng)P在線段BD上時，過P作PF⊥AB于F，如圖甲所示：
∵∠CPE＝90°，∠APE＝60°，
∴∠APC＝150°，
由菱形ABCD的對稱性可知∠APD＝∠CPD＝∠APC＝75°，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠PAB＝∠APD?∠ABP＝45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
設(shè)AF＝PF＝m，則AP＝m，
在Rt△BPF中，BF＝PF＝m，
∴AB＝BF＋AF＝m＋m，
∴，
當(dāng)P在BD延長線上時，連接AC交BD于O，如圖乙所示：
∵∠CPE＝90°，∠APE＝60°，
∴∠CPA＝30°，
由菱形ABCD的對稱性可知∠APD＝∠CPD＝∠CPA＝15°，
∵∠ADB＝∠ADC＝30°，
∴∠DAP＝∠ADB?∠APD＝15°，
∴∠DAP＝∠APD，
∴PD＝AD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，
設(shè)OA＝n，則AB＝AD＝PD＝2n，
∴OD＝＝n，
∴OP＝OD＋PD＝n＋2n，
在Rt△AOP中，，
∴，
綜上所述，的值為或．

【點睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，勾股定理及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)及分類討論思想的應(yīng)用．

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