2022-2023學年浙江省杭州市余杭區(qū)信達外國語學校八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共10小題，共30分）1.  取什么值時，有意義？(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列平面直角坐標系內(nèi)的曲線中，既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形的是(    )A. 三葉玫瑰線 B. 四葉玫瑰線
C. 心形線 D. 笛卡爾葉形線3.  方程的解為(    )A.  B.
C. ， D. ，4.  若邊形的內(nèi)角和與外角和相加為，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，四邊形中，點，分別在，上，，按如圖方式沿著折疊，使，此時量得，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 6.  若用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，則首先應該假設這個四邊形中(    )A. 至少有一個角是鈍角或直角 B. 沒有一個角是銳角
C. 沒有一個角是鈍角或直角 D. 每一個角都是鈍角或直角7.  下列說法正確的是(    )A. 數(shù)據(jù)，，，，的眾數(shù)是
B. 數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)是
C. 一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)不可能相等
D. 數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)和平均數(shù)都是8.  受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢杭州市號汽油價格三月底是元升，五月底是元升設杭州號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為，根據(jù)題意列出方程，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 9.  如圖平行四邊形，對角線相交于點，，，(    )
A.  B.  C.  D. 10.  對于一元二次方程，下列說法．
若，則；
若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；
若是方程的一個根，則一定有成立；
若是一元二次方程的根，則
其中正確的(    )A. 只有 B. 只有 C.  D. 只有二、填空題（本題共5小題，共20分）11.  若正方形對角線長為，則它的面積為______ ．12.  如圖，在菱形中，，，垂足分別為點，若，則等于______度．
 13.  如圖，操場邊的小學部農(nóng)莊，有一塊長米，寬米的矩形田地，現(xiàn)需修建一橫兩豎同樣寬的三條道路，把田地分成六塊，種植不同品種的蔬菜，使種植蔬菜的面積為道路面積的倍則道路的寬為______ 米
 14  如圖，在中，，延長到，使，為中點，連接，，若，則 ______ ．
 15.  如圖，矩形中，，，、是對角線上的兩個動點，分別從、同時出發(fā)，相向而行，速度均為，運動時間為秒，若、分別是、的中點，且，當、、、為頂點的四邊形為矩形時，的值為______ ．
三、簡答題（本題共8小題，共70分）16.  已知，，求的值． 17.  ；
．18.  解一元二次方程：
；
．19.  圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，的三個頂點都在格點上．
在圖中，畫出一個以所在直線為對稱軸與成軸對稱的格點三角形；
在圖中，畫出一個以點為對稱中心，與成中心對稱的格點三角形．
20.  剛剛舉行的九年級體育模擬中，甲、乙兩位同學在進行投籃測試，測試共五組，每組投次，進球的個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下：甲：，，，，；乙：，，，，；
列表進行數(shù)據(jù)分析： 選手平均成績中位數(shù)眾數(shù)方差甲乙 ______ ， ______ ；
試計算乙的平均成績和甲的方差；
如果你是體育老師，請你從平均成績和成績的穩(wěn)定性兩個方面分析哪位同學的成績更好？請說明理由21.  如圖，點、是平行四邊形對角線上兩點，．
求證：；
若，，，求平行四邊形的面積．
22.  某扶貧工作小組對果農(nóng)進行精準扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場與去年相比，今年這種水果每千克的平均批發(fā)價降低了元，產(chǎn)品比去年增加了，批發(fā)銷售總額比去年增加了已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為萬元．
設這種水果去年的產(chǎn)量是千克，請列方程求這種水果去年的產(chǎn)量是多少千克？并求出這種水果今年每千克的平均批發(fā)價？
某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā)，專營這種水果調(diào)個發(fā)現(xiàn)，若每千克的平均銷售價為元，則每天可售出千克；若每千克的平均銷售價每降低元，每天可多賣出千克，設水果店一天的利潤為元，求：
若該水果店采取降價催銷的方式銷售水果，水果店一天的利潤為元，則降價多少元？
當每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大？最大利潤是多少？利潤計算時，其它費用忽略不計23.  邊長為的正方形中，點是上一點，過點作交射線于點，連接．
若點在邊上如圖：
求證：；
若，求的長．
若點在延長線上，，請求的長．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．
本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故符合題意；
C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
故選：．
直接根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷即可．
本題主要考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的識別，熟練掌握將某一個圖形旋轉(zhuǎn)后，仍與原圖形重合，這就是中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的圖形能夠互相重合，那么就是軸對稱圖形．
 3.【答案】 【解析】解：原方程移項，得
，
分解因式，得
  ，
即或，
解得：或，
所以方程的解為，．
故選：．
先移項得到，然后利用因式分解法求解方程即可．
本題主要考查解一元二次方程因式分解法：先把方程右邊變形為，然后把方程左邊進行因式分解，這樣把一元二次方程化為兩個一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
 4.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得：，
故選：．
先求得多邊形的內(nèi)角和，然后根據(jù)條件列出方程，即可求得的值．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式和外角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練應用多邊形的內(nèi)角和公式列出方程．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
沿翻折得，
，
，
在中，．
故選：．
根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出和，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．
本題考查了平行線的性質(zhì)，用到的知識點是兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時第一步應假設：四邊形中沒有一個角是鈍角或直角．
故選：．
反證法的步驟中，第一步是假設結(jié)論不成立，反面成立．
此題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
 7.【答案】 【解析】解：數(shù)據(jù)，，，，的眾數(shù)是或，故本選項不符合題意；
B.數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)是，故本選項不符合題意；
C.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)可以相等，如數(shù)據(jù)、、、、的眾數(shù)和中位數(shù)都是，故本選項不符合題意；
D.數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)和平均數(shù)都是，說法正確，故本選項符合題意．
故選：．
分別根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)以及算術(shù)平均數(shù)的定義解答即可．
本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)以及算術(shù)平均數(shù)，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：依題意得，
故選：．
利用該地號汽油五月底的價格該地號汽油三月底的價格該地號汽油價格這兩個月平均每月的增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的感覺．
 9.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，
，
故選：．
根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形外角性質(zhì)解答．
 10.【答案】 【解析】解：若，則是方程的解，
由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可知，故正確；
方程有兩個不相等的實根，

則方程的判別式

方程必有兩個不相等的實根，故正確；
是方程的一個根，
則，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，故不正確；
若是一元二次方程的根，
則由求根公式可得：
或
或

故正確．
故選：．
按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．
本題主要考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：正方形的面積．
故答案為：．
根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，熟記正方形的面積的求解方法是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．
本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】解：原式


． 【解析】此題運用平方差公式把因式分解為，再代值計算．
利用乘法公式可以適當簡化一些式子的運算．
 14.【答案】 【解析】解：設道路的寬為米，則六塊種植蔬菜的部分可合成長為米，寬為米的矩形，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，不符合題意，舍去，
道路的寬為米．
故答案為：．
設道路的寬為米，則六塊種植蔬菜的部分可合成長為米，寬為米的矩形，根據(jù)種植蔬菜的面積為道路面積的倍即種植蔬菜的面積為矩形田地面積的，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：取的中點，連接，
，點，分別是，的中點，
，
，，
≌，
，
，，
，
．
故答案為：．
取的中點，連接，根據(jù)中點的性質(zhì)可得到，再根據(jù)判定≌，由全等三角形的對應邊相等可得到，再利用三角形中位線定理得到，即證得了．
此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形中位線定理的綜合運用．
 16.【答案】或 【解析】解：連接，
四邊形是矩形，
，，
，
、分別是、的中點，
，
、是對角線上的兩個動點，分別從、同時出發(fā)，相向而行，速度均為，
，
，
即，
在與中，
，
≌，
，
在與中，
，
≌，
，
四邊形是平行四邊形，
，
當，四邊形是矩形，分兩種情況：
當時，，
即，
解得：，
當時，，
即，
解得：，
當或時，四邊形是矩形，
故答案為：或．
連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，進而利用平行四邊形的判定和矩形的判定解答即可．
此題考查矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答．
 17.【答案】解：

；


． 【解析】先化簡各式，然后再進行計算，即可解答；
先把每一個二根式化成最簡二次根式，然后再進行計算即可解答．
本題考查了二次根式的混合運算，實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 【解析】用配方法求解一元二次方程即可；
用因式分解法求解一元二次方程即可．
本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法和因式分解法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：如圖，即為所求．
如圖，即為所求． 【解析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，取格點，連接，即可．
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖即可．
本題考查作圖軸對稱變換、中心對稱，熟練掌握軸對稱和中心對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：將甲的個數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列：，，，，，位置在最中間的是，
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．
．
乙的個數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了兩次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為：．
．
故答案為：；．
乙的平均數(shù)，
甲的方差．
選擇甲選手參加比賽．
理由：甲，乙的平均成績都為，但甲的方差乙的方差
在平均數(shù)相同的情況下，甲的方差比乙小，
故甲比乙穩(wěn)定，選擇甲．
利用中位數(shù)和眾數(shù)的概念很容易求出的值；
利用平均數(shù)的計算公式可得乙的平均數(shù)，再利用方差的計算公式計算甲的方差；
通過比較平均數(shù)和方程，在平均數(shù)相同的情況下，選擇方差較小的參加．
本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計算方法，并利用以上指標對數(shù)據(jù)進行判斷．
 21.【答案】證明：平行四邊形中，，，
．
又，
，
≌，
．
解：過點作，交的延長線于，

在中，，，
，
平行四邊形的面積． 【解析】先證，再證出≌，從而得出．
過點作，交的延長線于，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，進而利用平行四邊形的面積解答即可．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用證出≌解答．
 22.【答案】解：設這種水果去年的產(chǎn)量是千克，則這種水果今年每千克的平均批發(fā)價為元，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原創(chuàng)的解，
，
這種水果去年的產(chǎn)量是千克，今年每千克的平均批發(fā)價為元；
設降價元，
根據(jù)題意得：，
解得或舍去，
降價元；
，
且，
當時，取最大值，最大值為元，
元，
當每千克的平均銷售價為元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是元． 【解析】設這種水果去年的產(chǎn)量是千克，則這種水果今年每千克的平均批發(fā)價為元，可得，即可解得的值，從而得到答案；
設降價元，根據(jù)水果店一天的利潤為元得：，即可解得答案；
列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
本題考查二次函數(shù)的應用，涉及一元二次方程，分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式．
 23.【答案】證明：方法一：正方形關(guān)于對稱，
≌，
．
又，
，
，
；
方法二：四邊形是正方形，
，，
，
≌，
≌，
．
又，
，
，
；

解：過點作，垂足為，交于．

，
是的中點．
，
，
又四邊形是矩形，為等腰直角三角形，
，

解：如圖所示：過點作，垂足為，交于．

正方形關(guān)于對稱，
≌，
．
又，
，
，
．
．
又，
，
，
，
 【解析】先利用正方形的對稱性可得到，然后在證明又，通過等量代換可得到；
過點作，交于依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，從而可得到的長，然后可得到的長，在中可求得的長；
先根據(jù)題意畫出圖形，然后再證明，然后再按照中的思路進行證明即可．
本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的方法是解題的關(guān)鍵．
 

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