2020-2021學年江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學強化班高一（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小愿給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知是關于的方程的根，則實數(shù)　　A． B． C．2 D．42．（5分）已知，是不共線的向量，，、，那么、、三點共線的充要條件為　　A． B． C． D．3．（5分）當復數(shù)滿足時，則的最小值是　　A． B． C． D．4．（5分）已知，表示直線，，，表示平面，下列推理正確的是　　A．， B．，且 C．，，， D．，，5．（5分）已知為所在平面內一點，若，，，則　　A． B． C．8 D．166．（5分）在中，內角、、所對的邊分別為、、，若，角的角平分線交于點，且，，則的值為　　A． B． C．3 D．7．（5分）半徑為的球的內部裝有4個相同半徑的小球，則小球半徑可能的最大值為　　A． B． C． D．8．（5分）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍為　　A． B． C． D．二、選擇題，本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．（5分）下列說法中錯誤的是　　A．若向最滿足，則存在唯一的實數(shù)，使得 B．已知非零向，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是 C．“”是“復數(shù)是虛數(shù)”的必要不充分條件 D．若復數(shù)，，滿足，則10．（5分）的內角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是　　A．若，則 B．若，，，則有兩解 C．若為鈍角三角形，則 D．若，，則面積的最大值為11．（5分）如圖，棱長為2的正方體中，在線段（含端點）上運動，則下列判斷正確的是　　A． B．三棱錐的體積不變，為 C．平面 D．與所成角的范圍是12．（5分）已知點為所在平面內一點，且，，，則下列選項正確的是　　A．若，，，則 B．若，，，且，則 C．若直線過的中點，則 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，，，則三棱錐的表面積為　　．14．（5分）設復數(shù)，滿足，，其中是虛數(shù)單位，是負實數(shù)，求　　．15．（5分）如果滿足，，的三角形恰有一個，那么的取值范圍是　　．16．（5分）如圖，在中，已知，，，直線過的重心，且與邊，分別交于，兩點，則的最小值為　　．四、解答題，本題共6小題，共70分，解答題寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．設實部為正數(shù)的復數(shù)，滿足，且復數(shù)在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上．（Ⅰ）求復數(shù)；（Ⅱ）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值．18．如圖，在菱形中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形的邊長為6，求的取值范圍．19．在①，②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上并作答．問題：的內角，，的對邊分別為，，，已知_____．（1）求；（2）若為的中點，，求的面積的最大值．20．如圖，在正三棱柱中，點在棱上，，點，分別是，的中點．（1）求證：為的中點；（2）求證：平面．21．如圖，海上有，兩個小島，在的正東方向，小船甲從島出發(fā)以海里小時的速度沿北偏東方向勻速直線行駛，同一時刻小船乙出發(fā)，經(jīng)過小時與小船甲相遇．（1）若相距2海里，為海里小時，小船乙從島出發(fā)勻速直線追趕，追趕10分鐘后與小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先從島以16海里小時勻速沿射線方向行駛小時，再以8海里小時勻速直線追趕小船甲，求小船甲在能與小船乙相遇的條件下的最大值．22．四面體中，（1），，．求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形；（2）有4條長為2的線段和2條長為的線段，用這6條線段作為棱，構成一個三棱錐，問為何值時，可構成一個最大體積的三棱錐，最大值為多少？（參考公式，三元均值不等式，當且僅當時取得等號）
2020-2021學年江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學強化班高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小愿給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．【分析】由題意利用實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理，韋達定理，求得實數(shù)．【解答】解：已知是關于的方程的根，是關于的方程的根，，解得，故選：．2．【分析】若、、三點共線，則向量與平行，根據(jù)題中等式結合向量平行的充要條件列式，即可找出使、、三點共線的充要條件．【解答】解：若、、三點共線，則向量即存在實數(shù)，使得，，，可得，消去得即、、三點共線的充要條件為故選：．3．【分析】用復數(shù)的幾何意義兩復數(shù)和的模大于或等于模的差，直接求最小值．【解答】解：的最小值是．故選：．4．【分析】利用空間線面關系及面面關系定理，對選項分別分析解答．【解答】解：對于選項，，，直線，可能相交；故錯誤；對于選項，，，直線可能在兩個平面內，故錯誤；對于選項，，，，，直線，如果不相交，，可能相交，故錯誤；對于選項，根據(jù)面面平行的性質以及，得到，進一步得到；故正確；故選：．5．【分析】根據(jù)已知可求得為的外心，利用平面向量數(shù)量積運算即可求解．【解答】解：設的中點為，的中點為，，，，，由，同理得，，為的外心，所以，，，，．故選：．6．【分析】利用角平分線的性質，分別在，中，利用余弦定理用表示出，，然后列方程求出的值，最后再求出，，最后求出的值．【解答】解：因為，所以由正弦定理可得，可得，因為，所以，所以，由，，所以，在，中，由余弦定理得：，，故，解得：，故，在中，由余弦定理得：，即，故．故選：．7．【分析】由題意，四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大，以四個小球球心為頂點的正四面體棱長為，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面體的外接球半徑，即可求得結論．【解答】解：由題意，四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大．以四個小球球心為頂點的正四面體棱長為，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心該正四面體的高為設正四面體的外接球半徑為，則，．故選：．8．【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理求出，再求出的取值范圍，求出，根據(jù)函數(shù)的單調性求出其取值范圍即可．【解答】解：中，，又由余弦定理，得：，整理得：①，，，由①利用正弦定理可得：，得，可得，或（舍，，又，，，均為銳角，由于，，，，可得：，可得：，在銳角中，，，，，，令，則，，故，令，，，則，故在，單調遞增，故，（1），故，，即的取值范圍是，，故選：．二、選擇題，本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．【分析】直接利用復數(shù)的運算，向量的夾角的應用，向量的共線判斷、、、的結論．【解答】解：對于：若向最滿足，則存在唯一的實數(shù)，使得，故錯誤；對于：已知非零向，且與，當，整理得，且，解得：，故向量的夾角為銳角的條件為，，故錯誤．對于：復數(shù)是虛數(shù)，故，即且，“”是“復數(shù)是虛數(shù)”的必要不充分條件，故正確；對于：當，，滿足，但是不成立，故錯誤；故選：．10．【分析】由已知結合正弦定理可檢驗；結合正弦定理及三角形大邊對大角可檢驗選項；結合余弦定理可檢驗選項；結合余弦定理及基本不等式，三角形的面積公式可檢驗選項．【解答】解：，正確；因為，，，由正弦定理得，，故，因為，所以，故有兩角，正確；為鈍角三角形，但不確定哪個角為鈍角，則不一定成立，不符合題意；因為，，由余弦定理得，，當且僅當時取等號，故，面積，即最大值為，正確．故選：．11．【分析】對于，推導出，，從而平面，進而，；對于，推導出平面，從而到的距離是定值，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出三棱錐的體積為；對于，由，，得平面平面，從而平面；對于，當與重合時，與所成角為0，當與重合時，與所成角為．【解答】解：棱長為2的正方體中，在線段（含端點）上運動，對于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，，、平面，平面，平面，，故正確；對于，在線段（含端點）上運動，，平面，平面，平面，到的距離是定值，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，到平面的距離，三棱錐的體積為：，故錯誤；對于，，，，，平面平面，平面，平面，故正確；對于，在線段（含端點）上運動，當與重合時，與所成角為0，當與重合時，與所成角為，故錯誤．故選：．12．【分析】對于，由，，即可判斷；對于，，兩邊同時平方化簡后可得，而，展開后計算即可判斷；對于，設中點為，則，若直線過的中點，則，可得，即可判斷；對于，由奔馳定理直接判斷．【解答】解：對于，若，，，則，因為，，所以，整理可得，故選項正確；對于，，，，解得，，故選項正確；對于，設中點為，則，若直線過的中點，則，，，，，，，但與，不一定相等，故選項錯誤；對于，由奔馳定理可知，又，，，，故選項錯誤．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．【分析】由題意得，，三棱錐的表面積為，由此能求出三棱錐的表面積．【解答】解：三棱錐為鱉臑，平面，，，，，，，三棱錐的表面積為：．故答案為：．14．【分析】把已知變形，結合求得，然后把分子分母同時乘以得答案．【解答】解：由，得，整理得，又，則，，．故答案為：．15．【分析】要對三角形解得各種情況進行討論即：無解、有1個解、有2個解，從中得出恰有一個解時滿足的條件．【解答】解：（1）；（2）；（3）；（4）當，即時，三角形有1個解．綜上所述：當時，三角形恰有一個解．故答案為：16．【分析】利用重心的性質得到，由，，三點共線，得，再求出，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：設，，，，，則，，，三點共線，，即，，當且僅當時取等號，的最小值為．故答案為：．四、解答題，本題共6小題，共70分，解答題寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．【分析】（Ⅰ）設，且，由條件可得①，②．由①②聯(lián)立的方程組得、的值，即可得到的值；（Ⅱ）根據(jù)實部為0，虛部不為0即可求解．【解答】解：（Ⅰ）設，，，．由題意：．①，得，，②①②聯(lián)立，解得．；得．（Ⅱ）；由題意可知；解得．18．【分析】（1）利用已知條件求出，然后求解，即可．（2）利用已知向量，表示數(shù)量積的向量，然后求解即可．（3）利用向量的數(shù)量積，結合三角函數(shù)的有界性，求解即可．【解答】解：（1）因為，，所以，，所以，，故．（2），為菱形，，即．（3），，的取值范圍：．19．【分析】（1）選①，結合正弦定理及和差角公式進行化簡可求，進而可求； 選②，由正弦定理及和差角公式進行化簡可求，進而可求；（2）由已知得，然后結合向量數(shù)量積性質及基本不等式可求的范圍，再由三角形面積公式可求．【解答】解：（1）選①，由正弦定理得，因為，所以得，即，所以；選②，由正弦定理得，，因為，所以，即，所以，所以；（2）若為的中點，則，所以，即，所以，的面積，即面積最大值．20．【分析】（1）推導出，，從而平面，進而，由此能證明為的中點．（2）連結，，交于點，連結，，推導出，，從而，由此能證明平面．【解答】證明：（1）在正三棱柱中，點在棱上，，，，，平面，，為的中點．（2）連結，，交于點，連結，，正三棱柱中，是矩形，是的中點，，點，分別是，的中點，，，平面，平面．平面．21．【分析】（1）設乙速度為海里小時，利用余弦定理列方程求得的值；（2）由題意利用余弦定理可得關于的一元二次方程，利用換元法與判別式，即可求得的最大值．【解答】解：（1）設乙速度為海里小時， 由余弦定理可知，整理得；由于，所以；答：乙的速度為海里小時．（2）由題意知，兩邊同除以得：，設，其中，則有，其中，即關于的方程在上有解，則必有△，解得，當時，可得，因此為最大值為．答：小船甲在能與小船乙相遇的條件下的最大值海里小時．22．【分析】（1）在四面體中，由已知可得四面體的四個面為全等三角形，設長方體的長、寬、高分別為、、，證明為銳角三角形，即可證明這個四面體的四個面都是銳角三角形；（2）當2條長為的線段不在同一個三角形中，寫出三棱錐體積，利用基本不等式求最值；當邊長為的兩條棱在同一個三角形中時，可知當平面時，體積取最大值，比較大小得結論．【解答】（1）證明：在四面體中，，，，四面體的四個面為全等三角形，即只需證明一個面為銳角三角形即可．設長方體的長、寬、高分別為、、，則，，，，，，為銳角三角形，則這個四面體的四個面都是銳角三角形；（2）解：當2條長為的線段不在同一個三角形中，如圖，不妨設，，取的中點，連接，，則，，而，平面，則三棱錐的體積，在中，，，，．當且僅當，即時等號成立；當邊長為的兩條棱在同一個三角形中時，設，，當且僅當平面時，體積取最大值，此時，，當時，三棱錐體積有最大值為．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/3/11 19:10:35；用戶：高中數(shù)學6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學號：42412367

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