2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）是虛數(shù)，復(fù)數(shù)　　A． B． C． D．2．（5分）在中，若，則的形狀為　　A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．（5分）已知、是不共線的向量，，、，當(dāng)且僅當(dāng)　　時(shí)，、、三點(diǎn)共線．A． B． C． D．4．（5分）若非零向量，滿足，，則與的夾角為　　A． B． C． D．5．（5分）已知是關(guān)于的方程的根，則實(shí)數(shù)　　A． B． C．2 D．46．（5分）當(dāng)復(fù)數(shù)滿足時(shí)，則的最小值是　　A． B． C． D．7．（5分）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，角的角平分線交于點(diǎn)，且，，則的值為　　A． B． C．3 D．8．（5分）以為鈍角的中，，，當(dāng)角最大時(shí)，面積為　　A．3 B．6 C．5 D．8二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是　　A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 C． D．10．（5分）下列說法中正確的為　　A．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底 C．非零向量，，滿足且與同向，則 D．非零向量和，滿足，則與的夾角為11．（5分）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，則下列說法正確的是　　A．若，則 B．若，，，則有兩解 C．若為鈍角三角形，則 D．若，，則面積的最大值為12．（5分）如圖，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說法正確的是　　A．是等邊三角形 B．若，則，，，四點(diǎn)共圓 C．四邊形面積最大值為 D．四邊形面積最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知為虛數(shù)單位，則的虛部是　　．14．（5分）在中，若，，，則的外接圓半徑長為　　．15．（5分）如圖，正方形邊長為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為 　　．16．（5分）如圖，在中，已知，，，直線過的重心，且與邊，分別交于，兩點(diǎn)，則的最小值為　　．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，．（1）若，求實(shí)數(shù)；（2）若，求實(shí)數(shù)．18．設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)，滿足，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上．（Ⅰ）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．19．如圖，在菱形中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形的邊長為6，求的取值范圍．20．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線上并作答．問題：的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知_____．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，，求的面積的最大值．21．如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個(gè)人工湖，其中，都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng)．設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值，并求此時(shí)防護(hù)網(wǎng)的總長度；（2）若，問此時(shí)人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的多少倍？（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設(shè)計(jì)施工方案，可使的面積最??？最小面積是多少？22．如圖，海上有，兩個(gè)小島，在的正東方向，小船甲從島出發(fā)以海里小時(shí)的速度沿北偏東方向勻速直線行駛，同一時(shí)刻小船乙出發(fā)，經(jīng)過小時(shí)與小船甲相遇．（1）若相距2海里，為海里小時(shí)，小船乙從島出發(fā)勻速直線追趕，追趕10分鐘后與小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先從島以16海里小時(shí)勻速沿射線方向行駛小時(shí)，再以8海里小時(shí)勻速直線追趕小船甲，求小船甲在能與小船乙相遇的條件下的最大值．
2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】直接利用分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)求解．【解答】解：．故選：．2．【分析】由已知利用向量的減法可得，即可判斷得解．【解答】解：若，則若，則為等邊三角形．故選：．3．【分析】設(shè)、、三點(diǎn)共線，則向量、共線，根據(jù)向量共線的條件列式即可解出、滿足的等式，得到本題答案．【解答】解：設(shè)、、三點(diǎn)共線，則向量、共線，即存在實(shí)數(shù)，使得且，可得，解之得因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)共線．故選：．4．【分析】根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，，由向量垂直的判斷方法可得，求出的值，結(jié)合的范圍，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，，則，若，則，即，又由，則，故選：．5．【分析】由題意利用實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)定理，韋達(dá)定理，求得實(shí)數(shù)．【解答】解：已知是關(guān)于的方程的根，是關(guān)于的方程的根，，解得，故選：．6．【分析】用復(fù)數(shù)的幾何意義兩復(fù)數(shù)和的模大于或等于模的差，直接求最小值．【解答】解：的最小值是．故選：．7．【分析】利用角平分線的性質(zhì)，分別在，中，利用余弦定理用表示出，，然后列方程求出的值，最后再求出，，最后求出的值．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以由正弦定理可得，可得，因?yàn)?/span>，所以，所以，由，，所以，在，中，由余弦定理得：，，故，解得：，故，在中，由余弦定理得：，即，故．故選：．8．【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，根據(jù)向量的幾何意義可得，分別求出，，根據(jù)兩角和的正切公式，求出的最大值，即可求出的面積．【解答】解：中，，，，即，其幾何意義：在方向上的正投影長度始終為4，過作，垂足為，設(shè)，，，，，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)去等號(hào)），當(dāng)時(shí)，角最大，此時(shí)邊上的高，的面積．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．【分析】由題設(shè)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算法則逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可．【解答】解：，，，故選項(xiàng)、正確；又，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，選項(xiàng)正確，故選：．10．【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積，向量的夾角的應(yīng)用，向量的共線的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于：已知，，由于與的夾角為銳角，故，且，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故錯(cuò)誤；對(duì)于：向量，，滿足，所以和共線，所以不能作為平面內(nèi)的一組基底，故正確；對(duì)于：非零向量，，滿足且與同向，則是錯(cuò)誤的，向量不能比較大小，故錯(cuò)誤；對(duì)于：非零向量和，滿足，則以這三邊構(gòu)成的三角形為等邊三角形，所以與的夾角為，故正確．故選：．11．【分析】由已知結(jié)合正弦定理可檢驗(yàn)；結(jié)合正弦定理及三角形大邊對(duì)大角可檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合余弦定理可檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合余弦定理及基本不等式，三角形的面積公式可檢驗(yàn)選項(xiàng)．【解答】解：，正確；因?yàn)?/span>，，，由正弦定理得，，故，因?yàn)?/span>，所以，故有兩角，正確；為鈍角三角形，但不確定哪個(gè)角為鈍角，則不一定成立，不符合題意；因?yàn)?/span>，，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，面積，即最大值為，正確．故選：．12．【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點(diǎn)，，，共圓，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，從而判斷；設(shè)，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．【解答】解：，，即，由，可得，或．又．，故正確；若四點(diǎn)，，，共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由正確知，在中，，，，故錯(cuò)；等邊中，設(shè)，，在中，由余弦定理，得，由于，，代入上式，得，，，，四邊形面積的最大值為，無最小值，故正確，錯(cuò)誤，故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：，的虛部是．故答案為：．14．【分析】設(shè)的外接圓半徑為，由余弦定理求得，進(jìn)而可求得，再由正弦定理可得答案．【解答】解：設(shè)的外接圓半徑為．由余弦定理得：由正弦定理得，故答案為：15．【分析】借助正方形的兩鄰邊建立直角坐標(biāo)系，將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式的運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式表示成二次函數(shù)，通過配方找出對(duì)稱軸，求出最值．【解答】解：以， 為，軸建立直角坐標(biāo)系則，，，，設(shè)，，，，，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值．故答案為：，．16．【分析】利用重心的性質(zhì)得到，由，，三點(diǎn)共線，得，再求出，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：設(shè)，，，，，則，，，三點(diǎn)共線，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【分析】（1）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，，再由，列方程能求出實(shí)數(shù)．（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，，再由，能求出實(shí)數(shù)．【解答】解：（1）向量，，．，，，，解得實(shí)數(shù)．（2），，，，解得實(shí)數(shù)．18．【分析】（Ⅰ）設(shè)，且，由條件可得①，②．由①②聯(lián)立的方程組得、的值，即可得到的值；（Ⅱ）根據(jù)實(shí)部為0，虛部不為0即可求解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，，，．由題意：．①，得，，②①②聯(lián)立，解得．；得．（Ⅱ）；由題意可知；解得．19．【分析】（1）利用已知條件求出，然后求解，即可．（2）利用已知向量，表示數(shù)量積的向量，然后求解即可．（3）利用向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，，所以，，所以，，故．（2），為菱形，，即．（3），，的取值范圍：．20．【分析】（1）選①，結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而可求； 選②，由正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而可求；（2）由已知得，然后結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)及基本不等式可求的范圍，再由三角形面積公式可求．【解答】解：（1）選①，由正弦定理得，因?yàn)?/span>，所以得，即，所以；選②，由正弦定理得，，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以；（2）若為的中點(diǎn)，則，所以，即，所以，的面積，即面積最大值．21．【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角三角形，可求的值，求得是等邊三角形，即可得解．（2）由已知利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由于以為頂點(diǎn)時(shí)，和的高相同，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的面積關(guān)于的函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最小值．【解答】解：（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以，．由于，所以，所以是等邊三角形，周長為，也即防護(hù)網(wǎng)的總長度為．（2）時(shí)，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，，由正弦定理得．所以．以為頂點(diǎn)時(shí)，和的高相同，所以，即人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍．（3）在三角形中，，由正弦定理得．在三角形中，，由正弦定理得．所以．由于，所以當(dāng)，時(shí)，最小值為．22．【分析】（1）設(shè)乙速度為海里小時(shí)，利用余弦定理列方程求得的值；（2）由題意利用余弦定理可得關(guān)于的一元二次方程，利用換元法與判別式，即可求得的最大值．【解答】解：（1）設(shè)乙速度為海里小時(shí)， 由余弦定理可知，整理得；由于，所以；答：乙的速度為海里小時(shí)．（2）由題意知，兩邊同除以得：，設(shè)，其中，則有，其中，即關(guān)于的方程在上有解，則必有△，解得，當(dāng)時(shí)，可得，因此為最大值為．答：小船甲在能與小船乙相遇的條件下的最大值海里小時(shí)．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:08:18；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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