?2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學(xué)平行班高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)向量，，，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是　　
A．的虛部為
B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C．
D．的共軛復(fù)數(shù)為
3．（5分）從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3名同學(xué)，那么互斥而不對(duì)立的事件是　　
A．至少有一名男同學(xué)與都是男同學(xué)
B．至少有一名男同學(xué)與都是女同學(xué)
C．恰有一名男同學(xué)與恰有兩名男同學(xué)
D．至少有一名男同學(xué)與至少有一名女同學(xué)
4．（5分）在中，，，，則此三角形解的情況是　　
A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解
5．（5分）如圖所示的三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字之和為26，則稱該圖形是“和諧圖形”．已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為20，現(xiàn)從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為　　

A． B． C． D．
6．（5分）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則　　
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
7．（5分）如圖，點(diǎn)是正方體的棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
8．（5分）若圓錐的體積與球的體積相等，且圓錐的底面半徑與球的直徑相等，則圓錐的側(cè)面積與球的表面積之比為　　
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則　　
A．平均數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為
C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4.5
10．（5分）下列說法正確的是　　
A．甲乙兩人獨(dú)立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.125
B．若，是互斥事件，則（A）（B），
C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級(jí)占比，中級(jí)占比，初級(jí)占比，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級(jí)教師應(yīng)抽取10人
D．一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是
11．（5分）下列結(jié)論正確的是　　
A．在中，若，則
B．在中，若，則是銳角三角形
C．若，則三角形為等腰三角形
D．在銳角三角形中，
12．（5分）對(duì)于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是　　
A．
B．
C．過點(diǎn)的直線交、于、，若，，則
D．與共線
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）在中，，，，則其外接圓的面積為 　?。?br /> 14．（5分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬” ，底面，，，則該“陽馬”的最長棱長等于　??；外接球表面積等于　?。?br /> 15．（5分）某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2020年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”，“電子技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為，，，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且，則的值是 　?。?br /> 16．（5分）如圖，在四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列判斷正確的是 　?。▽懗鏊姓_的序號(hào)）
①平面平面
②直線與平面所成角是
③平面平面
④二面角余弦值為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知向量，，，．
（Ⅰ）若四邊形是平行四邊形，求，的值；
（Ⅱ）若為等腰直角三角形，且為直角，求，的值．
18．（12分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且滿足．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，求的值．
19．（12分）在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，已知．
（Ⅰ）求角的大?。?br /> （Ⅱ）若的面積，，求的值．
20．（12分）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過的部分按0.5元收費(fèi)，超過但不超過的部分按0.8元收費(fèi)，超過的部分按1.0元收費(fèi)．
（1）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：的函數(shù)解析式；
（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率直方圖．若這100戶居民中，今年1月份電費(fèi)不超過260元的占，求，的值；
（3）在（2）的條件下，計(jì)算月用電量的75百分位數(shù)．

21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，證明：．

22．（12分）夜晚，在僑中棟5樓觀賞完美大廈的霓虹燈是一件很愜意的事．完美大廈主樓目前是我市中心城區(qū)最高的地標(biāo)性建筑．某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證百度地圖測距的正確性及測算完美大廈主樓的高度．圖（1），博愛路沿線的水平路面上有兩點(diǎn)，，其中指向正西方向．首先利用百度地圖測距功能測出長度為，接著在南外環(huán)沿線選定水平路面上可直接測距的，兩點(diǎn)，測得，，，，學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出長度，并將其與的實(shí)際長度進(jìn)行比較，若誤差介于米米之間，則認(rèn)為百度地圖測距是準(zhǔn)確的．

（1）通過計(jì)算說明百度地圖測距是否準(zhǔn)確？
（2）如圖（2），小組在處測得完美大廈主樓樓頂在西偏北方向上，在處測得樓頂在西偏北方向上，且仰角；通過計(jì)算得，，，若百度地圖測出的是準(zhǔn)確的，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)測算完美大廈主樓的高度（精確到1米）．

2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學(xué)平行班高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)向量，，，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的垂直和平行的關(guān)系，分別判斷即可．
【解答】解：對(duì)于向量，，，，，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，，，，故正確，
對(duì)于，不平行于，故錯(cuò)誤
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題
2．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是　　
A．的虛部為
B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C．
D．的共軛復(fù)數(shù)為
【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答】解：，
的虛部為4，故錯(cuò)誤；
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，故錯(cuò)誤；
，故錯(cuò)誤；
的共軛復(fù)數(shù)為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義和復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3名同學(xué)，那么互斥而不對(duì)立的事件是　　
A．至少有一名男同學(xué)與都是男同學(xué)
B．至少有一名男同學(xué)與都是女同學(xué)
C．恰有一名男同學(xué)與恰有兩名男同學(xué)
D．至少有一名男同學(xué)與至少有一名女同學(xué)
【分析】利用互斥事件、對(duì)立事件的定義直接求解．
【解答】解：從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3名同學(xué)，
在中，至少有一名男同學(xué)與都是男同學(xué)能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故錯(cuò)誤；
在中，至少有一名男同學(xué)與都是女同學(xué)是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；
在中，恰有一名男同學(xué)與恰有兩名男同學(xué)不能同時(shí)發(fā)生，
但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的事件，故正確；
在中，至少有一名男同學(xué)與至少有一名女同學(xué)能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥而不對(duì)立的事件的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）在中，，，，則此三角形解的情況是　　
A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解
【分析】由，及的值，利用正弦定理即可求出的值，發(fā)現(xiàn)的值有兩種情況，即得到此三角形有兩解．
【解答】解：由正弦定理得：，
即，
則或，
即此三角形解的情況是兩解．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．
5．（5分）如圖所示的三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字之和為26，則稱該圖形是“和諧圖形”．已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為20，現(xiàn)從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為　　

A． B． C． D．
【分析】求出總的基本事件數(shù)和符合條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：由題意可知，若該圖形為“和諧圖形”，
則另外兩個(gè)三角形上的數(shù)字之和恰為，
從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字的基本事件數(shù)為個(gè)，
其中“兩個(gè)數(shù)字之和為6”的基本事件數(shù)為2個(gè)，
則所求概率為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率問題，解題的關(guān)鍵是求出總的基本事件數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則　　
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【分析】．若，，則，可由面面平行的條件判斷；
．，，則，或；
．若，，則，可由面面垂直的判斷定理作出判斷；
．，，則或，異面．
【解答】解：．若，，則；此命題錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行于同一條直線不能保證兩個(gè)平面平行，故不正確；
．，，則，或，故不正確；
．若，，則；此命題正確，因?yàn)?，則一定存在直線在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，正確；
．，，則或，異面，故不正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面之間的位置關(guān)系，空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系主要有相交與平行，相交中比較重要的位置關(guān)系是兩面垂直，本題考查了利用基礎(chǔ)理論作出推理判斷的能力，是立體幾何中的基本．
7．（5分）如圖，點(diǎn)是正方體的棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
【分析】連接，證得，可得為異面直線與所成角，連接，設(shè)正方體的棱長為2，求解三角形可得異面直線與所成角的余弦值．
【解答】解：如圖，
連接，，，
四邊形為平行四邊形，則，
則為異面直線與所成角，連接．
設(shè)正方體的棱長為2，則，．
．
即異面直線與所成角的余弦值是．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．
8．（5分）若圓錐的體積與球的體積相等，且圓錐的底面半徑與球的直徑相等，則圓錐的側(cè)面積與球的表面積之比為　　
A． B． C． D．
【分析】設(shè)球的半徑為，則圓錐的底面半徑為，設(shè)圓錐的高為，由體積相等可得與的關(guān)系，再求出圓錐的側(cè)面積與球的表面積，作比得答案．
【解答】解：設(shè)球的半徑為，則圓錐的底面半徑為，設(shè)圓錐的高為，
由，得，得，
圓錐的母線長．
則圓錐的側(cè)面積為，
球的表面積．
圓錐的側(cè)面積與球的表面積之比為：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積與側(cè)面積，考查球的表面積與體積，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則　　
A．平均數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為
C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4.5
【分析】把數(shù)據(jù)從小到大依次排列然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式，由此可求出標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)．
【解答】解：平均數(shù)：
眾數(shù)為：出現(xiàn)次數(shù)最多的2和3
標(biāo)準(zhǔn)差：，
將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，則1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
一共10個(gè)數(shù)，，
8.5不是整數(shù)，則第9項(xiàng)5是第85百分位數(shù)，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意計(jì)算公式的合理運(yùn)用．
10．（5分）下列說法正確的是　　
A．甲乙兩人獨(dú)立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.125
B．若，是互斥事件，則（A）（B），
C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級(jí)占比，中級(jí)占比，初級(jí)占比，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級(jí)教師應(yīng)抽取10人
D．一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是
【分析】甲乙兩人各自解出的概率分別為0.5，0.25，求解出兩人都不能解出此題的概率，其對(duì)立事件即為此題能被解出的概率，即可判斷選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件的定義，即可判斷選項(xiàng)，結(jié)合分層抽樣的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)，根據(jù)已知條件，結(jié)合排列組合中的“捆綁法”，即可求解．
【解答】解：甲乙兩人各自解出的概率分別為0.5，0.25，
此題不能解出的概率為，則此題能解出的概率為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
由于，是互斥事件，則（A）（B），，故選項(xiàng)正確，
由題意可得，高級(jí)教師應(yīng)抽取人，故選項(xiàng)正確，
一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率，故選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分層抽樣的性質(zhì)和互斥事件的定義，以及排列組合中的“捆綁法”，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合知識(shí)，屬于中檔題．
11．（5分）下列結(jié)論正確的是　　
A．在中，若，則
B．在中，若，則是銳角三角形
C．若，則三角形為等腰三角形
D．在銳角三角形中，
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
【解答】解：對(duì)于：在中，若，故，利用正弦定理：，故正確；
對(duì)于：在中，若，所以，所以：，故為銳角，但是并不能說明是銳角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：若，所以或，整理得：，或，則三角形為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：在銳角三角形中，，所以，
則，故，同理：，故，故正確；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）對(duì)于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是　　
A．
B．
C．過點(diǎn)的直線交、于、，若，，則
D．與共線
【分析】根據(jù)外心在上的射影是的中點(diǎn)，利用向量數(shù)量積的定義即可判斷選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則將變形，得到，利用三角形的外心的定義即可判斷選項(xiàng)，利用三角形中線的定義，線性運(yùn)算以及平面向量基本定理的推論即可判斷選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量垂直的條件可判斷與垂直，從而可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，則，
所以，
所以
，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，所以?br /> 則，故，
對(duì)于一般三角形而言，是外心，不一定與垂直，
比如直角三角形中，若為直角頂點(diǎn)，
則為斜邊的中點(diǎn)，與不垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)的中點(diǎn)為，
則，
因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，
所以，則，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)?br />

，
所以與垂直，
又因?yàn)椋?br /> 所以與共線，故選項(xiàng)正確．
故選：．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷，主要考查了平面向量的綜合應(yīng)用，涉及了三角形外心、重心、垂心的應(yīng)用，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）在中，，，，則其外接圓的面積為 　?。?br /> 【分析】由，可得；又根據(jù)余弦定理得計(jì)算出，從而根據(jù)可計(jì)算出外接圓的半徑，最后根據(jù)圓的面積公式即可求出外接圓面積．
【解答】解：根據(jù)題意，由，，得；
又根據(jù)余弦定理得，
所以，則，解得，
所以外接圓面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理、余弦定理，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬” ，底面，，，則該“陽馬”的最長棱長等于　3　；外接球表面積等于　　．
【分析】由題意畫出圖形，利用勾股定理求得幾何體最長棱長，再由分割補(bǔ)形法得到多面體外接球的半徑，則球的表面積可求．
【解答】解：如圖，

底面，底面為長方形，且，，
最長棱；
其外接球的半徑為．
則其外接球的表面積為．
故答案為：3；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體外接球表面積與體積的求法，訓(xùn)練利用“分割補(bǔ)形法”求多面體外接球的半徑，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2020年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”，“電子技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為，，，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且，則的值是 　?。?br /> 【分析】利用相互獨(dú)立事件概率加法公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式列出方程組，能求出的值．
【解答】解：三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，
，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率加法公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
16．（5分）如圖，在四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列判斷正確的是 ?、冖邰堋。▽懗鏊姓_的序號(hào)）
①平面平面
②直線與平面所成角是
③平面平面
④二面角余弦值為

【分析】①反證法，假設(shè)平面平面，容易推出垂直于平面，從而，出矛盾；
②利用幾何法找到其平面角為，求解即可判斷；
③證明平面，從而得到平面平面；
④證明為二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判斷．
【解答】解：在四邊形中，由已知可得，假設(shè)平面平面，
又平面平面，且平面平面，可得平面，
有，與矛盾，則假設(shè)錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤；
在四邊形中，由已知可得，
又平面平面，且平面平面，則平面，
為直線與平面所成角是，故②正確；
由判斷②時(shí)可知，平面，則，又，，則平面，
而平面，則平面平面，故③正確；
由判斷③時(shí)可知，平面，則為二面角的平面角，
設(shè)，則，由，得，得，故④正確．
判斷正確的是②③④．
故答案為：②③④．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中平面與平面垂直、線面角與二面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，是中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知向量，，，．
（Ⅰ）若四邊形是平行四邊形，求，的值；
（Ⅱ）若為等腰直角三角形，且為直角，求，的值．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件即可求出，根據(jù)四邊形是平行四邊形，即可得出，從而求出，；
（Ⅱ）可求出，根據(jù)為直角即可得出，從而得出①，而據(jù)題意可知，從而得出②，聯(lián)立①②即可解出，．
【解答】解：（Ⅰ），，；
，；
四邊形是平行四邊形；
；
；
，；
（Ⅱ），；
為直角，則；
；
又；
，再由，解得：或．
【點(diǎn)評(píng)】考查向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的充要條件，以及根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法，相等向量的定義．
18．（12分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且滿足．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，求的值．
【分析】（1）直接求解實(shí)系數(shù)一元二次方程可得值；
（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0可得，的關(guān)系式，結(jié)合求得，值，則答案可求．
【解答】解：（1），，
又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，
；
（2），
，
為純虛數(shù)，
，
由，得，
聯(lián)立可得，或，．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解法，考查復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
19．（12分）在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，已知．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）若的面積，，求的值．
【分析】利用倍角公式和誘導(dǎo)公式即可得出；
由三角形的面積公式即可得到．又，解得．由余弦定理得，即可得出．又由正弦定理得即可得到即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
即，解得（舍去）．
因?yàn)?，所以?br /> （Ⅱ）由，得到．又，解得．
由余弦定理得，故．
又由正弦定理得．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握三角函數(shù)的倍角公式和誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式、余弦定理得、正弦定理是解題的關(guān)鍵．
20．（12分）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過的部分按0.5元收費(fèi)，超過但不超過的部分按0.8元收費(fèi)，超過的部分按1.0元收費(fèi)．
（1）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：的函數(shù)解析式；
（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率直方圖．若這100戶居民中，今年1月份電費(fèi)不超過260元的占，求，的值；
（3）在（2）的條件下，計(jì)算月用電量的75百分位數(shù)．

【分析】（1）由題目條件分別表示各段上的即可表示出分段函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖得到，所滿足的條件，求解即可；
（3）由圖計(jì)算得到分位數(shù)在，內(nèi)，列出方程即可得到答案．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即用電量低于400千瓦時(shí)的占，
結(jié)合頻率分布直方圖可知，
解得，；
（3）設(shè)分位數(shù)為，
因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為，
用電量低于400千瓦時(shí)的占，所以分位數(shù)在，內(nèi)，
所以，解得，
即用電量的分位數(shù)為375千瓦時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題
21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，證明：．

【分析】（1）證明，推出，然后證明平面．
（2）在平面內(nèi)，過作于，證明平面，推出，證明，得到平面，即可證明．
【解答】證明：（1）在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以（2分）
在中，，分別為，的中點(diǎn)，故，所以，（4分）
又平面，平面，
所以平面．（7分）
（2）在平面內(nèi)，過作于，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，?1分）
又平面，所以，
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所以．．?4分）
注：作時(shí)要交代在平面內(nèi)作或要交代垂足點(diǎn)，否則扣（1分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．
22．（12分）夜晚，在僑中棟5樓觀賞完美大廈的霓虹燈是一件很愜意的事．完美大廈主樓目前是我市中心城區(qū)最高的地標(biāo)性建筑．某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證百度地圖測距的正確性及測算完美大廈主樓的高度．圖（1），博愛路沿線的水平路面上有兩點(diǎn)，，其中指向正西方向．首先利用百度地圖測距功能測出長度為，接著在南外環(huán)沿線選定水平路面上可直接測距的，兩點(diǎn)，測得，，，，學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出長度，并將其與的實(shí)際長度進(jìn)行比較，若誤差介于米米之間，則認(rèn)為百度地圖測距是準(zhǔn)確的．

（1）通過計(jì)算說明百度地圖測距是否準(zhǔn)確？
（2）如圖（2），小組在處測得完美大廈主樓樓頂在西偏北方向上，在處測得樓頂在西偏北方向上，且仰角；通過計(jì)算得，，，若百度地圖測出的是準(zhǔn)確的，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)測算完美大廈主樓的高度（精確到1米）．
【分析】（1）設(shè)，利用等腰求出，求出，再利用正弦定理求得，余弦定理求得，求出的值，即可判斷百度地圖測距是否準(zhǔn)確．
（2）由題意，利用余弦定理求出和，列方程求出、，再計(jì)算的值即可．
【解答】解：（1）設(shè)，所以等腰中，；
在中，，，，可得，
由正弦定理得，解得；
在中，由余弦定理得；
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以百度地圖測距是準(zhǔn)確的．
（2）由已知，在中，，
設(shè)，則，由余弦定理得，
，
，
且，
所以，所以，解得，
所以，；
在中，，
所以，
即測得完美大廈主樓的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:51:06；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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