2020-2021學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在毎小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）已知兩個向量，，若，則的值等于　　A． B． C． D．23．（4分）如圖所示，在中，等于　　A． B． C． D．4．（4分）在中，，，，則等于　　A． B．3 C． D．215．（4分）若，是任意兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是　　A． B． C． D．6．（4分）設(shè)復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位），則“”是“為純虛數(shù)”的　　A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件7．（4分）已知，，，且，則　　A．，且與方向相同 B．，且與方向相反 C．，且與方向相同 D．，且與方向相反8．（4分）某機(jī)構(gòu)調(diào)查了10種食品的卡路里含量，結(jié)果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195．則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和中位數(shù)分別是　　A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.59．（4分）如圖所示，在中，為中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交，于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為　　A． B．1 C．2 D．不確定10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)．的最小值是　　A．18 B．3 C．2 D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11．（5分）已知向量，那么　　．12．（5分）是虛數(shù)單位，　　．13．（5分）某班共有學(xué)生40人，將一次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，則成績不低于80分的人數(shù)有 　　人．14．（5分）如圖所示，無彈性細(xì)繩，的一端分別固定在，處，同樣的細(xì)繩下端系著一個秤盤，且使得，則，，三根細(xì)繩受力最大的是 　　．15．（5分）已知，，則　　；與的夾角為 　　．16．（5分）給出下面四個類比結(jié)論：①實(shí)數(shù)，，若，則；類比復(fù)數(shù)，，若，則；②實(shí)數(shù)，，滿足；類比復(fù)數(shù)，，，滿足；③實(shí)數(shù)，，，滿足；類比向量，，，滿足；④向量，滿足；類比復(fù)數(shù)，滿足．其中類比結(jié)論正確的序號是 　　．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17．（12分）設(shè)復(fù)數(shù)，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）當(dāng)時，求；（Ⅲ）若為實(shí)數(shù)，求的值．18．（13分）已知向量，，滿足，．（Ⅰ）求向量與的夾角；（Ⅱ）求向量在向量上的投影向量；（Ⅲ）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值．19．（13分）在中，，，的面積等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求及的值．20．（14分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為類工人），現(xiàn)用分層抽樣方法（按類，類分二層）從該工廠的工人中共抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．（1）類工人和類工人各抽取多少人？（2）將類工人和類工人的抽查結(jié)果分別繪制成頻率分布直方圖（如圖1和圖．①就生產(chǎn)能力而言，類工人中個體間的差異程度與類工人中個體間的差異程度哪個更?。浚ú挥糜?jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計(jì)類工人和類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．21．（14分）設(shè)向量，為兩個相互垂直的單位向量，，，滿足，且．（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；（Ⅱ）若，時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（14分）在中，已知．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）請從條件①：；條件②：這兩個條件中任選一個作為條件，求和的值．
2020-2021學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在毎小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．【分析】直接由已知的復(fù)數(shù)得到其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選：．2．【分析】利用向量共線的充要條件列出有關(guān)的方程，解方程求出的值．【解答】解：，故選：．3．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．【解答】解：，，故錯誤，，故正確，，故錯誤．故選：．4．【分析】由已知利用余弦定理即可求解的值．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得，可得．故選：．5．【分析】由單位向量的定義直接判斷即可．【解答】解：根據(jù)單位向量的定義，其方向不一定相同，故選項(xiàng)、錯誤，其模一定為1，故錯誤，正確；故選：．6．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得當(dāng)，且時，為純虛數(shù)，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義可以判斷．【解答】解：復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位），當(dāng)，且時，為純虛數(shù)，則“”是“為純虛數(shù)”必要非充分條件，故選：．7．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的共線定理，即可求解．【解答】解：，，，當(dāng)時，，，與方向相反，故錯誤，正確，當(dāng)時，，與不共線，故，錯誤．故選：．8．【分析】根據(jù)已知條件，將10種食品的卡路里含量按從小到大排序，107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，再結(jié)合第25百分位數(shù)和中位數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：將10種食品的卡路里含量按從小到大排序，107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，則，為第3項(xiàng)138，中位數(shù)為．故選：．9．【分析】當(dāng)三點(diǎn)共線時，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，這三點(diǎn)為終點(diǎn)的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數(shù)和為1即可．【解答】解：為中點(diǎn)，，，，，，三點(diǎn)共線，，，故選：．10．【分析】寫出直線的方程，可設(shè)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得，然后結(jié)合配方法，得解．【解答】解：直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以不妨設(shè)，所以，，，所以當(dāng)時，取得最小值為．故選：．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11．【分析】由平面向量坐標(biāo)下的模長公式代入即可．【解答】解：由題意得，，故答案為：．12．【分析】先由對數(shù)的運(yùn)算法則把等價轉(zhuǎn)化為，再由虛數(shù)單位的性質(zhì)進(jìn)一步簡化為．由此得到結(jié)果．【解答】解：．故答案為：．13．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，成績不低于80分的頻率，再結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解．【解答】解：由頻率分布直方圖可得，低于80分的頻率為，則成績不低于80分的頻率為，故成績不低于80分的人數(shù)為．故答案為：15．14．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系得出拉力最大的是．【解答】解：如圖所示，設(shè)繩與豎直方向的夾角為，對結(jié)點(diǎn)受力分析知，，在中，，；所以拉力最大的是．故答案為：．15．【分析】利用，結(jié)合模的運(yùn)算性質(zhì)求出，由此求解即可，利用平面向量數(shù)量積的定義，求解夾角即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，，所以，解得，所以，設(shè)與的夾角為，則，解得，又，所以，則與的夾角為．故答案為：1；．16．【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)數(shù)相等的條件，可得結(jié)論．【解答】解：①實(shí)數(shù)，，若，則；類比復(fù)數(shù)，，若，則，類比錯誤．比如，，可得，但；②實(shí)數(shù)，，滿足；類比復(fù)數(shù)，，，滿足，類比正確；③實(shí)數(shù)，，，滿足；類比向量，，，滿足，類比正確；④向量，滿足；類比復(fù)數(shù)，滿足，類比錯誤．比如，可得，而，顯然不相等．故答案為：②③．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17．【分析】（Ⅰ）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出；（Ⅱ）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出；（Ⅲ）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的定義即可判斷．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ），，則；（Ⅲ），為實(shí)數(shù)，，解得．18．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，和的值，（Ⅰ）設(shè)向量與的夾角為，由，得解；（Ⅱ）向量在向量上的投影向量為；（Ⅲ）由，可得關(guān)于的方程，解之即可．【解答】解：，，，，，（Ⅰ）設(shè)向量與的夾角為，則，，向量與的夾角為．（Ⅱ）向量在向量上的投影為，投影向量為，，．（Ⅲ）向量與垂直，，解得．19．【分析】（Ⅰ）在中，由已知利用三角形的面積公式可求的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得的值，利用余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦公式即可求解的值．【解答】解：（Ⅰ）在中，，，的面積等于，解得；（Ⅱ）由余弦定理可得，可得，可得，可得．20．【分析】（1）利用分層抽樣方法能求出類工人中應(yīng)抽取的人數(shù)和類工人中應(yīng)抽取的人數(shù)．（2）①從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更小．②由頻率分布直方圖能求出類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值．【解答】解：（1）類工人中應(yīng)抽取：人，類工人中應(yīng)抽?。?/span>人．（2）①從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更?。?/span>②，，，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.121．【分析】（Ⅰ）將向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，然后由向量垂直的充要條件，求出與的關(guān)系，從而得到的解析式，然后由向量的模的定義，列出關(guān)于的不等式，求解定義域即可；（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為對于，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求解最值，即可得到的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)橄蛄?/span>，為兩個相互垂直的單位向量，，，不妨以向量，為軸和軸正方向上的單位向量，則，因?yàn)?/span>，則，可得，所以，因?yàn)?/span>，則，即，解得，所以的定義域?yàn)?/span>，；（Ⅱ）不等式對于，恒成立，即對于，恒成立，令，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．22．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可求，結(jié)合，，可得，可求的值．（Ⅱ）若選條件①：，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的余弦公式可求的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，由正弦定理結(jié)合已知即可求解的值；若選條件②：，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的余弦公式可求的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，由正弦定理結(jié)合已知即可求解的值．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，可得，所以由正弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．（Ⅱ）若選條件①：，在中，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，由正弦定理得，即，因?yàn)?/span>，所以．若選條件②：，在中，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，由正弦定理得．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:13:03；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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