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2020-2021學年江蘇省南通市高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單選題1．設集合，，則 A．， B．， C．， D．，【分析】進行交集的運算即可．【解答】解：，，，．故選：．【點評】本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．設復數滿足是虛數單位），則 A． B． C． D．【分析】直接利用復數的除法運算法則求解即可．【解答】解：因為復數滿足，所以．故選：．【點評】本題考查了復數的除法運算法，考查了運算能力，屬于基礎題．3．“”是“”的 A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【分析】先通過轉化分式不等式化簡條件，再判斷成立是否推出成立；條件成立是否推出成立，利用充要條件的定義判斷出是成立的什么條件．【解答】解：條件：，即為若條件：成立則條件一定成立；反之，當條件成立不一定有條件：成立所以是成立的充分非必要條件．故選：．【點評】判斷一個條件是另一個條件的什么條件，應該先化簡兩個條件，再利用充要條件的定義進行判斷．4．設，，，則 A． B． C． D．【分析】由對數函數、指數函數的單調性及特殊值確定各數的范圍，從而比較大?。?/span>【解答】解：，，，，，，故，故選：．【點評】本題考查了對數函數、指數函數的單調性的應用，屬于基礎題．5．德國天文學家，數學家開普勒發(fā)現了八大行星的運動規(guī)律：它們公轉時間的平方與離太陽平均距離的立方成正比．已知天王星離太陽平均距離是土星離太陽平均距離的2倍，土星的公轉時間約為．則天王星的公轉時間約為 A． B． C． D．【分析】結合即可求解．【解答】解：設天王星的公轉時間為，距離太陽平均距離為，土星的公轉時間為，距離太陽平均距離為，由題意可知，，所以．故選：．【點評】本題考查函數的實際應用問題，考查數學建模的核心素養(yǎng)，屬于基礎題．6．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列結論正確的是 A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【分析】對于，或；對于，或；對于，與相交或平行；對于，由線面垂直的性質得．【解答】解：，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，對于，若，，則或，故錯誤；對于，若，，則或，故錯誤；對于，若，，則與相交或平行，故錯誤；對于，若，，則由線面垂直的性質得，故正確．故選：．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力，是中檔題．7．甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為0.3，乙譯出密碼的概率為0.4，則密碼被破譯的概率為 A．0.88 B．0.7 C．0.58 D．0.12【分析】利用相互獨立事件概率計算公式、對立事件概率計算公式直接求解．【解答】解：甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為0.3，乙譯出密碼的概率為0.4，則密碼被破譯的概率為：．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8．英國數學家泰勒發(fā)現了如下公式：，其中！．根據該公式可知，與的值最接近的是 A． B． C． D．【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導，結合誘導公式，即可得到，求解即可【解答】解：原式．故選：．【點評】本題考查了推理的應用，考查了三角函數誘導公式的應用、角度與弧度互化的應用，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．二、多選題9．在復平面內，復數對應的點為，則 A． B． C． D．【分析】先利用復數的幾何意義求出，然后對四個選項逐一判斷即可．【解答】解：由題意，，對于，，故選項正確；對于，，故選項錯誤；對于，，故選項正確；對于，，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了復數的運算，解題的關鍵是掌握復數的運算法則以及復數模的運算性質，屬于基礎題．10．一只袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個白球和2個黑球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，甲表示事件“兩次都摸到黑球”，乙表示事件“兩次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，則 A．甲與乙互斥 B．乙與丙互斥 C．乙與丁互斥 D．丙與丁互斥【分析】利用互斥事件的定義直接求解．【解答】解：甲與乙不能同時發(fā)生，甲與乙是互斥事件，故正確；乙與丙不能同時發(fā)生，乙與丙是互斥事件，故正確；丁與乙可以同時發(fā)生，乙與丁不是互斥事件，故錯誤；丙與丁可以同時發(fā)生，丙與丁不是互斥事件，故錯誤．故選：．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查互斥事件等基礎知識，是基礎題．11．已知是所在平面內一點，則下列結論正確的是 A．若，則為等腰三角形 B．若，則為銳角三角形 C．若，則，，三點共線 D．若，，則【分析】，由即可判斷；，可得是銳角，但不一定是銳角三角形，即可判斷；，可得，即可判斷；，由于，，則是垂心，即可判斷．【解答】解：對于，，，故正確；對于，由于，則是銳角，但不一定是銳角三角形，故錯誤；對于，，，則，，三點共線，故正確；對于，由于，，則是垂心，，故正確；故選：．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量的性質，屬于中檔題．12．已知圓臺上、下底面的圓心分別為，，半徑為2，4，圓臺的母線與下底面所成角的正切值為3，為上一點，則 A．圓臺的母線長為6 B．當圓錐圓錐的體積相等時， C．圓臺的體積為 D．當圓臺，上、下底面的圓周都在同一個球面上時，該球的表面積為【分析】轉化求解圓臺的母線長判斷；利用比例關系判斷；求解體積判斷；取得球的表面積判斷．【解答】解：圓臺上、下底面的圓心分別為，，半徑為2，4，圓臺的母線與下底面所成角的正切值為3，為上一點，，母線，與圓臺的母線長為6矛盾，所以錯誤；，，正確；，正確；設球心到上底面的距離為，則，解得，，，正確；故選：．【點評】本題考查旋轉體中的圓臺的有關知識的應用，球的表面積的求法，考查分析問題解決問題的能力，命題的真假的判斷，是中檔題．三、填空題13．今年5月1日，某校5名教師在“學習強國”平臺，上的當日積分依次為43，49，50，52，56，則這5個數據的方差是 18 ．【分析】根據題意求出平均數，再利用方差公式求出方差．【解答】解：，，故答案為：18．【點評】本題考查了平均數與方差的求法，屬于基礎題．14．已知角的終邊經過點，則 3 ．【分析】根據三角函數的定義，可得，再結合正切函數的兩角差公式，即可求解．【解答】解：角的終邊經過點，，．故答案為：3．【點評】本題考查了任意角的三角函數的定義，以及正切函數的兩角差公式，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．15．已知，是非零實數，若關于的不等式恒成立，則的最小值是 1 ．【分析】依題意可得，，再利用基本不等式直接求解即可．【解答】解：依題意，，，當且僅當，時取等號．的最小值是1．故答案為：1．【點評】本題考查不等式的恒成立問題，考查基本不等式的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題．16．已知函數，則的值域是 ， ，不等式的解集是 ．【分析】（1）分，，三種情況討論，即可求解的值域．（2）當或時，，顯然不成立，分，兩種情況討論，取其并集，即可求解．【解答】（1），當時，，當時，，當時，，的值域為，．（2）當或時，，顯然不成立，當時，，解得，，當時，，，當時，即，解得，，綜上所述，不等式的解集為．【點評】本題考查了絕對值不等式的求解，需要學生有分類討論的思想，屬于基礎題．四、解答題17．已知函數．（1）求證：為偶函數；（2）求的最大值．【分析】（1）先求出函數的定義域，然后利用偶函數的定義證明即可；（2）利用對數的運算性質將函數化簡變形，然后利用二次函數的性質以及對數函數的性質求解最值即可．【解答】（1）證明：函數，所以的定義域為，因為，所以為偶函數；（2）解：，因為，，所以，，故當時，取得最大值2．【點評】本題考查了函數最值的求解，主要考查了對數型函數的性質的應用，偶函數定義的應用，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于基礎題．18．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足____．（1）求角的大小；（2）若為邊上一點，且，，，求．【分析】若選①：（1）利用平方差公式化簡已知的等式，由余弦定理求出，即可得到角的值；（2）在中，利用余弦定理求出，由同角三角函數關系求出，再利用正弦定理求解即可．若選②：（1）利用兩角和的正切公式以及三角形內角定理，求出，即可得到角的值；（2）在中，利用余弦定理求出，由同角三角函數關系求出，再利用正弦定理求解即可．若選③：（1）利用兩角和差公式以及三角形內角和公式求出的值，即可得到角的值；（2）在中，利用余弦定理求出，由同角三角函數關系求出，再利用正弦定理求解即可．【解答】解：若選①：，則，即，所以，又為的內角，所以；（2）因為，，，所以，則，由正弦定理可得，，解得．若選②：因為，則，所以，又，因為為的內角，所以；（2）因為，，，所以，則，由正弦定理可得，，解得．若選③：因為，則，所以，即，又，所以，則，因為為的內角，所以；（2）因為，，，所以，則，由正弦定理可得，，解得．【點評】本題考查了解三角問題，涉及了正弦定義與余弦定理的應用，兩角和差公式以及三角形內角和定理的應用，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力，屬于中檔題．19．如圖，菱形的邊長為2，，，．求：（1）；（2）．【分析】（1）利用即可計算；（2）利用，即可計算．【解答】解：（1），．（2），．【點評】本題考查了平面向量的數量積運算，考查了運算能力，屬于中檔題．20．某城市缺水問題比較嚴重，市政府計劃對居民生活用水費用實施階梯式水價，為了解家庭用水量的情況，相關部分在某區(qū)隨機調查了100戶居民的月平均用水量（單位：，得到如下頻率分布表：分組頻數頻率，220.22，310.31，0.16，100.10，，50.05，50.05，30.03，20.02合計1001（1）求表中，，的值；（2）試估計該區(qū)居民的月平均用水量；（3）從上表月平均用水量不少于的5戶居民中隨機抽取2戶調查，求2戶居民來自不同分組的概率．【分析】由頻率頻數總數，頻數總數頻率進行求解．平均數用每組數據的中點頻率的結果相加得到．【解答】解：（1）由圖表可知，，區(qū)間內，居民用水量的頻率為0.16，．則，頻率．（2）．（3），從上表月平均用水量不少于的5戶居民中隨機抽取2戶的基本事件共10件，來自同一分組的可能事件共種，來自不同分組的可能事件共6種．記事件戶居民來自不同分組，則（A）．【點評】該題考查利用頻率求頻數及利用頻率求平均數，并考查概率的計算，屬于基礎題型．21．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（1）連接交于，連接．證明，然后證明面（2）作，垂足為，說明直線與面所成角為．然后求解即可．【解答】（1）證明：連接交于，連接．因為，所以，所以，又面，面，所以面（2）解：作，垂足為，面，面，所以，又，所以面，所以直線與面所成角為．【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，是中檔題．22．已知函數．（1）若，，求的值；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，向下平移個單位長度得到曲線，再把上所有的點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．若函數在區(qū)間，上恰有2021個零點，求，的值．【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡函數的解析式，然后利用特殊角的三角函數值，求解三角方程即可；（2）利用三角函數的圖象變換，求出的解析式，然后將函數的零點轉化為方程的根，對根的可能情況進行分類討論，分別分析求解即可．【解答】解：（1）因為，因為，又，所以，所以；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，向下平移個單位長度得到曲線，再把上所有的點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則，所以令，令，，則，當時，方程不成立，①若式中，其中一根為1，則，另一根為，所以在上1個零點，上2個零點，即在上共2019個零點，上1個零點，個零點，所以不存在使得有2021個零點；②若式中，其中一根為，則，另一根為，所以在上2個零點，上1個零點，即在上共2019個零點，上2個零點，所以；③若式中，在上只有一根，則在，上要么2個零點，要么0個，所以上零點個數只能是偶數，因為2021是奇數，所以不符題意．綜上所述，，．【點評】本題考查了三角恒等變換的應用，三角函數圖象變換的應用，函數零點的求解，解決函數零點或方程根的問題，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數的圖象分析得解）；（3）方程圖象法（令函數為零，再重新構造兩個函數，數形結合分析得解）．屬于難題．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2021/8/23 17:50:34；用戶：高中數學12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學號：26722394
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