2020-2021學年江蘇省南通市啟東市高一（上）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，，則　　A． B． C． D．2．（5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)為　　A． B． C． D．3．（5分）設函數(shù)，則　　A．5 B．8 C．9 D．174．（5分）若關于的不等式的解集為，則的解集是　　A． B． C． D．5．（5分）若，，，則　　A． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則實數(shù)　　A． B． C．2 D．7．（5分）設命題甲：關于的不等式的解集是實數(shù)集；命題乙：，則命題甲是命題乙成立的　　條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．（5分）已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于，恒成立，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．（5分）下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是　　A．， B．， C．， D．，10．（5分）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），則　　A．為奇函數(shù) B．方程的實數(shù)解為 C．的圖象關于軸對稱 D．，，且，都有11．（5分）下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則12．（5分）德國數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其名命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則關于函數(shù)有　　A． B．函數(shù)的圖象是兩條直線 C．（1） D．，都有三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案直接填寫在答題卡相應位置上。13．（5分）若集合恰有3個元素，則實數(shù)的取值范圍是　　．14．（5分）函數(shù)的值域為　　．15．（5分）已知，是正實數(shù)，且，則的最小值是　　．16．（5分）十六、十七世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急，約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)，后來天才數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關系，即．現(xiàn)已知，，則　　，　　．四、解答題：本題共6小題，共70分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）（1）求值：；（2）已知，求函數(shù)的解析式．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對于任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）對于集合，，我們把集合，且，記作．（1）已知集合，，求，；（直接寫出結果即可）（2）已知集合，，，若，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）某地規(guī)劃對一片面積為的沙漠進行治理，每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為．當治理面積達到這片沙漠面積一半時，正好用了10年時間．（1）求的值；（2）若今年初這片沙漠面積為原沙漠面積的，按照規(guī)劃至少還需多少年，使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的？21．（12分）已知不等式的解集為，集合．（1）求集合；（2）當，時，求集合；（3）是否存在實數(shù)，使得是的充分條件，若存在，求出實數(shù)，滿足的條件；若不存在，說明理由．22．（12分）已知函數(shù)，且．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）對于，，，，使得，求的取值范圍．
2020-2021學年江蘇省南通市啟東市高一（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，，則　　A． B． C． D．【分析】解不等式，分別求出關于，的范圍，求出，的補集即可．【解答】解：，，，故選：．【點評】本題考查了集合的運算，考查不等式問題，是一道基礎題．2．（5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)為　　A． B． C． D．【分析】利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與漫畫書的單調(diào)性判斷結果即可．【解答】解：選項是一次函數(shù)是增函數(shù)，所以不正確；選項，函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)函數(shù)，所以不正確；選項，函數(shù)是．函數(shù)是增函數(shù)，所以不正確選項，是指數(shù)函數(shù)，是減函數(shù)，所以正確；故選：．【點評】本題考查基本函數(shù)的單調(diào)性的判斷，是基本知識的考查．3．（5分）設函數(shù)，則　　A．5 B．8 C．9 D．17【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，據(jù)此可得（4），計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，則，則（4），故選：．【點評】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計算，注意分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．4．（5分）若關于的不等式的解集為，則的解集是　　A． B． C． D．【分析】由題意知，是方程的根，且，推出，再代入，解之即可．【解答】解：由題意知，是方程的根，且，所以，所以不等式可化為，解得，故選：．【點評】本題考查一元一次不等式的解法，靈活運用不等式的逆向思維是解題的關鍵，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．5．（5分）若，，，則　　A． B． C． D．【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，的大小關系，由冪函數(shù)的單調(diào)性可得，的大小關系，從而得到，，的大小關系．【解答】解：指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，即，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，即，綜上所述，．故選：．【點評】本題主要考查了三個冪值的大小比較，合理應用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性是本題的解題關鍵，屬于基礎題．6．（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則實數(shù)　　A． B． C．2 D．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出，結合冪函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論．【解答】解：函數(shù)是偶函數(shù)，，即，則，解得，解得或，若，在內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足條件，若，在內(nèi)單調(diào)遞增，滿足條件，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及冪函數(shù)的性質(zhì)，比較基礎．7．（5分）設命題甲：關于的不等式的解集是實數(shù)集；命題乙：，則命題甲是命題乙成立的　　條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】利用特殊值發(fā)令，可得，來判斷充分條件，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷必要條件，從而求解；【解答】解：已知命題甲：，令，可得恒成立，命題甲推不出命題乙，設，則其中，△，圖象開口向上，與軸無交點，此時恒成立，命題乙推出命題甲，命題甲：是命題乙：成立的必要不充分條件；故選：．【點評】本題考查命題的充分必要性，考查不等式恒成立的等價關系．值域數(shù)形結合的思想和等價轉化的思想的運用．8．（5分）已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于，恒成立，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．【分析】根據(jù)條件可得圖象關于軸對稱以及在上遞減，則在，上恒成立，解出范圍即可．【解答】解：由題可知，的圖象關于軸對稱，且函數(shù)在上遞減，由函數(shù)的圖象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．故選：．【點評】本題考查函數(shù)對稱性，單調(diào)性，涉及函數(shù)恒成立問題，利用分離參數(shù)法解不等式即可求出范圍，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．（5分）下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同，即可判斷它們是同一個函數(shù)．【解答】解：對于，，定義域為，的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)；對于，，定義域為，，的定義域為，，兩函數(shù)定義域相同，對應關系也相同，是同一函數(shù)；對于，，定義域為，的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)；對于，，定義域為，的定義域為，兩函數(shù)定義域相同，對應關系也相同，是同一函數(shù)．故選：．【點評】本題考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的應用問題，是基礎題．10．（5分）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），則　　A．為奇函數(shù) B．方程的實數(shù)解為 C．的圖象關于軸對稱 D．，，且，都有【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，函數(shù)，其定義域為，有，即函數(shù)為奇函數(shù)，正確，對于，若，變形可得，解可得，即方程的實數(shù)解為，正確，對于，為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，不關于軸對稱，錯誤，對于，，函數(shù)為上的增函數(shù)，則為上的增函數(shù)，，，且，都有，正確，故選：．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎題．11．（5分）下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】利用基本不等式以及不等式的基本性質(zhì)，判斷即可．【解答】解：，則，所以正確；若，則，所以不正確；若，則，所以正確；若，則也可能，所以不正確；故選：．【點評】本題考查基本不等式的應用，不等式的簡單性質(zhì)的應用，是基本知識的考查．12．（5分）德國數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其名命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則關于函數(shù)有　　A． B．函數(shù)的圖象是兩條直線 C．（1） D．，都有【分析】對應各個選項，結合有理數(shù)和無理數(shù)以及何時的性質(zhì)，即可判斷各個選項評分正確．【解答】解：選項：若為有理數(shù)，則，所以（1），正確，選項：在軸上，有理數(shù)和無理數(shù)是分散的，圖象不可能為直線，錯誤，選項是無理數(shù)，所以，而1為有理數(shù)，所以（1），所以（1），錯誤，選項：若為無理數(shù)，則與都為無理數(shù)，所以，若 為有理數(shù)，則與為有理數(shù)，所以，正確，故選：．【點評】本題考查了狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)，考查了學生對有理數(shù)和無理數(shù)的理解能力，屬于基礎題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案直接填寫在答題卡相應位置上。13．（5分）若集合恰有3個元素，則實數(shù)的取值范圍是　　．【分析】分情況解二次不等式，結合已知條件即可求解結論．【解答】解：當時，，恰有三個元素，此時沒有正根，故舍去，當時，，恰有三個元素，，當時，不存在，綜上可得：實數(shù)的取值范圍為：．【點評】本題主要考查不等式的求解以及分類討論思想的應用，屬于中檔題目．14．（5分）函數(shù)的值域為　，　．【分析】求出指數(shù)的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的值域．【解答】解：因為，函數(shù)是減函數(shù)，所以，．故答案為：，．【點評】本題是基礎題，考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力．15．（5分）已知，是正實數(shù)，且，則的最小值是　　．【分析】先對式子變形，再利用基本不等式求得結果即可．【解答】解：，是正實數(shù)，且，，，當且僅當時取“ “，故答案為：．【點評】本題主要考查式子的變形及基本不等式在處理最值中的應用，屬于中檔題．16．（5分）十六、十七世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急，約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)，后來天才數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關系，即．現(xiàn)已知，，則　1　，　　．【分析】根據(jù)換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出．【解答】解：，，則則，，則，故答案為：1，．【點評】本題考查了對數(shù)式和指數(shù)式的互化，以及換底公式，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．四、解答題：本題共6小題，共70分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）（1）求值：；（2）已知，求函數(shù)的解析式．【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．（2）利用拼湊法得到，再利用換元法令，求出的范圍，從而得到函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）原式．（2），令，則，，．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了拼湊法求函數(shù)解析式，是中檔題．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對于任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結合題意求得的取值范圍；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立問題轉化為，解之即可得的取值范圍．【解答】解：（1）因為開口向上，所以函數(shù)的對稱軸是，解得，所以的取值范圍是．（2）因為對于任意，，都有成立，所以，即解得，因此，的取值范圍是．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了一元二次不等式恒成立的應用問題．19．（12分）對于集合，，我們把集合，且，記作．（1）已知集合，，求，；（直接寫出結果即可）（2）已知集合，，，若，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)定義且．即可求解，；（2）由，結合定義且．即可求解實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由定義且．集合，，，，，．（2）已知集合，，，由，即時，無解，那么，解得或，故得實數(shù)的取值范圍，，．【點評】本題考查對新定義的理解和應用，解題時要認真審題，屬于基礎題．20．（12分）某地規(guī)劃對一片面積為的沙漠進行治理，每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為．當治理面積達到這片沙漠面積一半時，正好用了10年時間．（1）求的值；（2）若今年初這片沙漠面積為原沙漠面積的，按照規(guī)劃至少還需多少年，使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的？【分析】（1）由題意，，即可求解值；（2）設按照規(guī)劃至少還需年，使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的，則，將代入，求解的范圍得結論．【解答】解：（1）由題意，，，得；（2）設按照規(guī)劃至少還需年，使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的，則，將代入，可得，，即，得．故按照規(guī)劃至少還需15年，使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的．【點評】本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查運算求解能力，正確理解題意是關鍵，是中檔題．21．（12分）已知不等式的解集為，集合．（1）求集合；（2）當，時，求集合；（3）是否存在實數(shù)，使得是的充分條件，若存在，求出實數(shù)，滿足的條件；若不存在，說明理由．【分析】（1）解不等式可得集合；（2）解不等式可得集合；（3）分類討論，根據(jù)是的充分條件，即可求出．【解答】解：（1）不等式，即，解得或，，；（2），，則，即，解得，即，；（3）是的充分條件，則，由可得，當時，，解得，不滿足，當時，，或，或，不滿足，當時，可化為，由于，且，即且，綜上所述存在實數(shù)，滿足且時，使得是的充分條件．【點評】本題考查了不等式的解法和充分條件的定義，考查了運算求解能力，屬于中檔題．22．（12分）已知函數(shù)，且．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）對于，，，，使得，求的取值范圍．【分析】（1）函數(shù)的定義域為，由函數(shù)的奇偶性定義，即可得出答案．（2）分兩種情況：①當時，②當時，討論函數(shù)是上的單調(diào)性．（3）由單調(diào)性，推出在區(qū)間，上的值域，，，，問題轉化為，是的值域的子集，進而解出的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，因為對于任意的，都有，且，所以為奇函數(shù)．（2）①當時，，由函數(shù)是上的增函數(shù)，是上的減函數(shù)，得是上的增函數(shù)，從而函數(shù)是上的增函數(shù)，②當時，，由函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，得是上的減函數(shù)，從而函數(shù)是上的增函數(shù)，綜上所述，函數(shù)是上的增函數(shù)．（3）由（2）知在區(qū)間，上是增函數(shù)，由于（1），，所以在區(qū)間，上的值域為，，因為對于，，，，使得，記，，，所以，是的值域的子集，即，當即時，，所以，當即時，（2），所以．綜上所述，的取值范圍是，．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解題中注意分類討論思想，轉化思想的應用，屬于中檔題．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2021/2/23 14:26:17；用戶：高中數(shù)學12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學號：26722394

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