廣東省深圳重點學(xué)校高一2022-2023學(xué)年下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知向量，，若，則的值為（　　）A．-2 B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則的虛部是（　?。?/span>A．2 B． C． D．3．已知單位向量，滿足，則，（　?。?/span>A． B． C． D．4．從正方體的個頂點上任取個頂點，則這個頂點構(gòu)成的幾何圖形不可能是（　?。?/span>A．三個面是直角三角形的正三棱錐B．有一個面是鈍角三角形的四面體C．每個面都是等邊三角形的四面體D．每個面都是直角三角形的四面體5．在中，已知，則一定成立的是（　?。?/span>A． B． C． D．6．在中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（　　）A． B． C． D．7．過的重心的直線分別交線段、于點、，若，則的最小值為（　?。?/span>A． B． C． D．8．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9．設(shè)，，為平面內(nèi)任意三個非零向量，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．的充要條件是B．的充要條件是C．若，，則D．若，則10．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．的充要條件是 B．是純虛數(shù)的充要條件是C．若，則 D．若，則是純虛數(shù)11．在正四面體中，若，為的中點，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．正四面體的體積為B．正四面體外接球的表面積為C．如果點在線段上，則的最小值為D．正四面體內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側(cè)面積的最大值為12．在中，角，，所對的邊分別為，，，，是的外接圓圓心，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．的最大值是B．的取值范圍是C．若，則是等腰三角形D．的最大值是三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．若，為單位向量，且，則在方向上的投影向量為　     　．14．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，則　     　．15．若為的重心，，則的最小值為　     　．16．水平桌面上放置了個半徑為的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切若用一個半球形容器容器厚度忽略不計罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是　     　．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知，，為坐標原點．（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，求的取值范圍．18．已知半圓圓心為點，直徑，為半圓弧上靠近點的三等分點，若為半徑上的動點，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示．（1）若，求與夾角的大?。?/span>（2）試求點的坐標，使取得最小值，并求此最小值．19．如圖，在中，，，且點在線段上． （1）若，求的長；（2）若，，求的面積．20．已知正四棱錐的側(cè)棱長為和底面邊長為．（1）求正四棱錐的體積和表面積；（2）若點，，分別在側(cè)棱，，上，且，求三棱錐的體積．21．正六棱臺玻璃容器的兩底面棱長分別為，，高為，如圖水平放置，盛有水深為． （1）求玻璃容器的體積；（2）將一根長度為的攪棒置入玻璃容器中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度．容器厚度，攪棒粗細均忽略不計22．如圖，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點引圓的兩條切線長相等．（1）若的面積，求木棧道長；（2）如圖，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，求木棧道的最小值．
答案解析部分1．【答案】C【知識點】利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】由 得，即，解得
故選：C
【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，可得關(guān)于m的方程，求解可得m的值.2．【答案】D【知識點】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】，  ，
則 ，
故， 則的虛部是 -2
故選：D
【分析】 根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及共軛復(fù)數(shù)、虛部的定義，即可求解出答案.3．【答案】B【知識點】平面向量的數(shù)量積運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【解析】【解答】由單位向量，滿足 ，得，
即，解得，
又

故 ，
【分析】 根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，以及平面向量的夾角公式，即可求解出答案.4．【答案】B【知識點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【解析】【解答】 根據(jù)題意，正方體ABCD- A1B1C1D1中，四面體A-A1BD就是三個面是直角三角形的正三棱錐，故A正確；
先選取其中一點A，與其余的7個點中的任意2個都不會構(gòu)成鈍角三角形，則不可能構(gòu)成有一個面是鈍角三角形的四面體，故B錯誤；
四面體C1-A1BD就是每個面都是等邊三角形四面體，故C正確；
四面體A-A1BC就是每個面都是直角三角形的四面體，故D正確.
故選：B.
【分析】根據(jù)題意，正方體ABCD- A1B1C1D1中，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征逐項進行判斷，可得答案.5．【答案】D【知識點】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理【解析】【解答】 由 得 即
由正弦定理得
由余弦定理得
又，得
故選： D.
【分析】由二倍角的余弦公式化簡已知表達式，再結(jié)合余弦定理可求出cosC的值，結(jié)合C的范圍可求出C的值，即可得答案.6．【答案】C【知識點】正弦定理【解析】【解答】 當asinB< b<a時，三角形ABC有兩組解，又 ，如果三角形ABC有兩組解，則x應(yīng)滿足，即
故選： C.
【分析】 要使△ABC有兩組解，利用正弦定理得asinB< b<a，代入數(shù)據(jù)，即可求出x的范圍.7．【答案】A【知識點】平面向量的線性運算；平均值不等式【解析】【解答】 因為點G是 的重心，且
所以
由E，G，F三點共線，得，即
故
當且僅當即時，等號成立，
故 的最小值為
故選： A.
【分析】由G為重心，且E，G，F三點共線，可得用的線性表示，再由題意可得用的線性表示，可得的關(guān)系，由“1“的活用及均值不等式可得的最小值.8．【答案】A【知識點】兩角和與差的正弦公式；正弦定理【解析】【解答】由 得2sinCcosA= sinB- sinC = sin(A +C)- sinC
則2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC-sinC
故sinC=sin(A- C)，
即或
故或(舍)
由正弦定理可得
又由△ABC是銳角三角形，得，解得
則，得，即
故選： A.
【分析】 先根據(jù)已知條件化簡可得A=2C，再將 化為，結(jié)合△ABC是銳角三角形，可得C的范圍，進而求解出 的取值范圍 .9．【答案】B,C【知識點】共線（平行）向量；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】由 ，得 ， 同向，而 ， 方向相同或相反都有 ，因此不是充要條件，故A錯誤；
由， 均為非零向量，得當 時，必有，即必有 ，故B正確；
由，均為非零向量，得當 ，時，有 ，方向相同或相反， ， 方向相同或相反，即， 同向或反向，故C正確；
由 可得，則可得 或，故D錯誤.
故選： BC.
【分析】 根據(jù)平面向量的平行與垂直的性質(zhì)，逐項進行判斷，可得答案.10．【答案】A,C【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；復(fù)數(shù)的模【解析】【解答】若z∈R，則b=0， 是充分條件，反之也成立，故A正確；
若z是純虛數(shù)，則a=0且b≠0，則 是充分條件，反之，若則 ，當b=0時，z不是純虛數(shù)，故B錯誤；
若，則，即，解得b=0， z∈R，故C正確；
若 則2a2+2abi=0，則a=b=0，則z=0，故D錯誤.
故選： AC.
【分析】 根據(jù)充分必要條件判斷A；根據(jù)充分必要條件以及特殊值法判斷B；根據(jù)定義得方程組判斷C、D.11．【答案】B,C,D【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；余弦定理【解析】【解答】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長為2，如下圖示，

O為底面中心，則D，O，M共線，AO為正四面體的高，故，
則
故正四面體的體積為，故A錯誤；
由題設(shè)，外接球球心E在AO上，且半徑r=EA=EB，則
故
故外接球的表面積為，故B正確；
由題意可知將面AMD與面CMD沿MD翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，



則AD=CD=2且，
又∠CDM=30°而cos∠ADC=cos(∠ADM +∠CDM)
要使(AP+CP)2最小，只需A， P， C共線，則
故，故C正確；
如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體A BCD內(nèi)接一個圓柱的上底面，

若截面所成正三角形邊長為x∈(0，2)，則圓柱體的高
圓柱底面半徑為
故其側(cè)面積為
故當x=1時，，故D正確.
故選： BCD.
【分析】由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用棱錐的體積公式求體積，可判斷A；確定外接球的半徑求表面積，可判斷B；展開側(cè)面，要使(AP+CP)2最小，只需A， P， C共線， 結(jié)合余弦定理求其最小值，可判斷C；根據(jù)正四面體ABCD內(nèi)接一個圓柱底面圓與其中截面正三角形關(guān)系求半徑、體高，利用二次函數(shù)性質(zhì)求側(cè)面積最大值，可判斷D.12．【答案】A,C,D【知識點】平面向量的數(shù)量積運算；正弦定理；余弦定理【解析】【解答】 設(shè)△ABC的外接圓半徑為r ，則根據(jù)正弦定理可得，如下圖，

過A作AD⊥BC于D，由a2 +b2- 2abcosC=c2=2，得，
故僅當時等號成立，故A正確；
由題意，，解得，故B錯誤；
若E， F， G為AB， BC， AC中點，由 ，故C， O， E共線，又OE⊥AB，則CE⊥AB且AE=BE，故CE為中垂線，則△ABC是等腰三角形，故C正確；
由

又
則
故
由，得時， 的最大值是 ，故D正確.
故選： ACD.
【分析】由余弦定理、基本不等式可得，進而求ab最大值，注意取值條件，可判斷A；由已知條件和構(gòu)成三角形條件有，求出b的范圍，可判斷B；若E， F， G為AB， BC， AC中點，由外心的性質(zhì)、向量線性關(guān)系可得CE⊥AB且AE=BE，即得三角形形狀，可判斷C；將化為，根據(jù)對應(yīng)線段位置關(guān)系、長度及正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值，可判斷D.13．【答案】【知識點】空間向量的投影向量【解析】【解答】由 ，為單位向量，且 ，得，即
故 在方向上的投影向量為
故答案為：
【分析】 對兩邊平方，求出，再利用投影向量的定義求解，可得答案.14．【答案】【知識點】復(fù)數(shù)的模【解析】【解答】由復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為， ，，得，，
則，中一個等于2+i，另一個等于2 - i，
故 ，
故答案為：
【分析】由題意，利用當判別式小于零時，利用求根公式求得a、β，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義與求法可得答案.15．【答案】【知識點】基本不等式；平面向量的數(shù)量積運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【解析】【解答】如圖：令，且它們的模長分別為m，n，且夾角為90°，則
則，同理，
則，

故
由m2 +n2≥2ab，得(m2 +n2)2≥4m2n2，當且僅當a=b時取等號，
故
即cosA的最小值為
故答案為：
【分析】，且它們的模長分別為m，n，且夾角為90°，以此為基底向量，表示出cosA的值，然后利用基本不等式求解，可得 的最小值 .16．【答案】【知識點】球的體積和表面積【解析】【解答】如圖所示，設(shè)3個球心分別為A1， B1， C1， 3個球分別與水平桌面相切于A， B， C三點，
假設(shè)半球形的容器與球C1相切于點D，此時半球形容器內(nèi)壁的半徑最小，
記最小半徑設(shè)為Rmin，易知△ABC是邊長為4的正三角形，
記AB中點為E，半球形容器的球心O為△ABC的中心，
則
即
故答案為：
【分析】 以3個小球球心和與桌面的切點為頂點作三棱柱，結(jié)合圖形分析求解可得 半球形容器的半徑的最小值 .17．【答案】（1）解：根據(jù)題意，，， 則，，若與的夾角為鈍角，則有，且，解得且，即的取值范圍為；（2）解：根據(jù)題意，， 則，所以，又，則，即的取值范圍是【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)；平面向量的數(shù)量積運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，求出 與的坐標，由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得關(guān)于m的不等式，然后求出m的范圍；
(2)根據(jù)題意，求出的坐標，得到 的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出 的取值范圍．18．【答案】（1）解：因為半圓的直徑，由題易知：又、又，，則，則．所以，，所以．設(shè)與夾角為，則，又因為，所以，即與的夾角為．（2）解：設(shè)， 由知，，則，，所以，又因為，所以當時，有最小值為，此時點的坐標為．【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)；平面向量的數(shù)量積運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【解析】【分析】 (1)由平面向量數(shù)量積運算，結(jié)合平面向量的夾角公式求解，即可求出 與夾角的大??；
(2)設(shè)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積運算結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得有最小值.19．【答案】（1）解：由，可得， 所以或舍去，所以，因為，所以，在中，由正弦定理可得解得．（2）解：由，得，， 因為，，所以，由余弦定理，可得，解得或舍去，所以，所以．【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】 (1)根據(jù)三角函數(shù)基本關(guān)系式由cosB求出sinB，再利用正弦定理即可求出AD的長；
(2)由，得，從而求出AC，再利用余弦定理求出BC，即可求出 的面積．20．【答案】（1）解：根據(jù)題意可知四邊形為正方形， 設(shè)為底面中心，則為該錐體的高，又易知，，，正四棱錐的體積為，又側(cè)面等腰三角形的高為，正四棱錐的表面積為；（2）解：，， ，，，，即．【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【分析】(1)由正四棱錐性質(zhì)求體高、斜高，再利用棱錐的體積公式、表面積求法求出正四棱錐的體積和表面積；
(2)由線段的數(shù)量關(guān)系得，進而有，最后可得，即可求出三棱錐的體積．21．【答案】（1）解：由題意可知，下底面面積為， 上底面的面積，又臺體的高為，所以正六棱臺的體積（2）解：設(shè)攪棒在上的點為，則，攪棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點， 為正六棱臺，，，，為等腰梯形，畫出平面的平面圖，，，，，，由勾股定理得：，，，，根據(jù)正弦定理得：，，，，．攪棒沒入水中部分的長度為．【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；正弦定理【解析】【分析】 (1)求解出下底面面積，上底面的面積，結(jié)合臺體的高，求解出正六棱臺的體積；
(2)設(shè)攪棒在上的點為，則，攪棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點，畫出平面的平面圖，求解E1Q，E1E，結(jié)合正弦定理求解出sin∠EMG，cos∠EMG，然后轉(zhuǎn)化求解即可得 沒入水中部分的長度.22．【答案】（1）解：在中，因為的面積，所以， 則解得，所以，則，所以，兩邊平方得，所以，在中，由余弦定理可得，即，由求解得；（2）解：設(shè)圓與，分別切于，， 則，，，則≌，≌，則，，由，可得，由，可得，則，則；；；，當且僅當時等號成，則的最小值．【知識點】基本不等式；余弦定理【解析】【分析】 (1)由已知可得，，進而由余弦定理可得，可求出AB；
(2)設(shè)圓與，分別切于，，由已知可得，利用，可求出木棧道AB的最小值.

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