2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市育能重點(diǎn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  設(shè)，，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  化簡(jiǎn)(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，那么復(fù)數(shù)等于(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知命題：，，則是(    )A. ， B. ，
C.  D. 5.  (    )A.  B.  C.  D. 6.  設(shè)，，，則(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，，則(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象(    )A. 先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B. 先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變
D. 先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變10.  已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是(    )A.  B.
C.  D. 與的夾角為11.  記函數(shù)，，其中若，則(    )A.  B.
C. 為奇函數(shù) D. 為奇函數(shù)12.  已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則(    )A.  B.  C.  D. 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  函數(shù)，則______．14.  在中，若，，，則 ______ ．15.  已知，則的值為           ．16.  已知，且，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是        ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
已知，
求，的值；
求的值．18.  本小題分
已知平面向量，，，，且與的夾角為．
求；
若與垂直，求的值．19.  本小題分
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
求角的大小；
若，，求的值．20.  本小題分
的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知
求；
若，求的面積的最大值21.  本小題分
已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
求的解析式；
設(shè)，利用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．22.  本小題分
某醫(yī)藥研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人在內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時(shí)間之間近似滿足如圖所示的曲線，其中是線段，曲線段是函數(shù)是常數(shù)的圖象，且，．
寫出注射該藥后每毫升血液中藥物含量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；
據(jù)測(cè)定：每毫升血液中藥物含量不少于時(shí)治療有效，如果某人第一次注射藥物為早上點(diǎn)，為保持療效，第二次注射藥物最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？
若按中的最遲時(shí)間注射第二次藥物，則第二次注射后再過(guò)，該人每毫升血液中藥物含量為多少精確到？

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可．
本題主要考查集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．【解答】解：，，，

則，
故選：．  2.【答案】 【解析】解：．
故選D．
利用向量的三角形法則即可得出．
熟練掌握向量三角形法則是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：由已知
故選：．
利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則、直接求出
本題考查了復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：命題：，，則是：．
故選：．
根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．
 5.【答案】 【解析】解：




．
故選：．
利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)所求即可求解．
本題考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)值大小的比較，此類題一般借助單調(diào)性進(jìn)行比較，由于本題中三個(gè)數(shù)太接近，不好直接比較，轉(zhuǎn)化為它們的四倍進(jìn)行比較是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
三個(gè)數(shù)，，太接近，不易找中間量比較大小，可采取放大法，比較，，的大小，從而得出答案【解答】解：由題意，可得，可得，
又，可得，又，
綜上得．
故選D．  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式與兩角差的余弦公式，是基礎(chǔ)題．
，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式與兩角差的余弦公式，計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，，
又，
所以，
，
所以


．
故選：．  8.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>恒成立，
所以恒成立，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
．
故選：．
由題意得恒成立，結(jié)合基本不等式即可求解．
本題主要考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，還考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：只需將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，
再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象．
或者，將的圖象先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，
再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，
故選：．
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：，
，，
，
，
，
與的夾角為，故BC正確．
故選：．
利用向量數(shù)量積公式、向量垂直、向量的模、向量夾角公式直接求解．
本題考查命題真假的判斷，考查向量數(shù)量積公式、向量垂直、向量的模、向量夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：由于函數(shù)滿足，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸滿足，
故，
由于，
當(dāng)或時(shí)，所以或．
故或；
對(duì)于：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于：，故B正確；
對(duì)于：當(dāng)或時(shí)，不滿足奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于：當(dāng)滿足滿足奇函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，滿足奇函數(shù)，故D正確．
故選：．
直接利用函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
 12.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，
，，，
對(duì)于選項(xiàng)A：
，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B：
，，
，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：
，同理，，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，
即，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D：，，
，
，即，
，故選項(xiàng)D正確，
故選：．
設(shè)，則，，，，利用換底公式可判斷，，利用換底公式可得，同理，，利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，由，，利用作差法結(jié)合完全平方公式比較，的大小，即可判斷．
本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，同時(shí)考查了換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
故答案為：．
根據(jù)分段函數(shù)求值即可．
考查分段函數(shù)求值，基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】【分析】由與的度數(shù)求出的度數(shù)，再由，，以及的值，利用正弦定理即可求出的值．
此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
【解答】
解：在中，，，，
，
利用正弦定理
得：．
故答案為：  15.【答案】 【解析】【分析】原式分子分母除以，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系弦化切后，將的值代入計(jì)算即可求出值．
此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【解答】解：，
原式．
故答案為：  16.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)閷?duì)任意的，都存在，使得成立，
因此函數(shù)在上的最大值小于函數(shù)在上的最大值，
而當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
求出函數(shù)在上的最大值，再根據(jù)給定條件列出不等式求解作答．
本題考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，考查了初等函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．
 17.【答案】解：，，
則，
；
． 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，即可求解；
根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．
本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：根據(jù)題意，，，與的夾角為，
則，
則有；
若與垂直，
則，
即，
，解可得：；
故． 【解析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，由此變形計(jì)算可得答案；
根據(jù)題意，由向量垂直的判斷方法可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案．
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：已知等式，
由正弦定理化簡(jiǎn)得：，
即，
在中，，
，；
，；
由余弦定理得：
，
代入得
． 【解析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)不為求出的值，即可確定出的度數(shù)；
利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將，以及的值代入求出的值．
本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用這兩個(gè)定理完成了邊角問(wèn)題的互化．
 20.【答案】解：，
由正弦定理可得：，
，
，可得，
由，可得．
由余弦定理可得：，可得：，
解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，的面積的最大值． 【解析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可得的值．
由余弦定理，基本不等式可求，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．
本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
 21.【答案】解：設(shè)為常數(shù)，
冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
，
；
證明：，，
任取，，且，
則，
，，且，
，，，
，即，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增． 【解析】利用待定系數(shù)法求解；
利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．
本題主要考查了冪函數(shù)的定義，考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．
 22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，把，代入，是常數(shù)，
得，解得，故．
設(shè)第一次注射藥物后最遲過(guò)小時(shí)注射第二次藥物，其中，
則，解得，
即第一次注射藥物后開(kāi)始第二次注射藥物，即最遲點(diǎn)注射藥物．
解：第二次注射藥物后，
每毫升血液中第一次注射藥物的含量，
每毫升血液中第二次注射藥物的含量，
所以此時(shí)兩次注射藥物后的藥物含量為．
故該人每毫升血液中藥物含量為． 【解析】根據(jù)函數(shù)圖象分段求解函數(shù)解析式即可；
根據(jù)題意列出不等式，求解出答案；
分別求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果．
本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．
 

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