?2020-2021學(xué)年江蘇省南通市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合，，，則　　
A．， B．， C．，1， D．，
2．（5分）已知復(fù)數(shù)，則　　
A． B．1 C． D．
3．（5分）已知，，，則　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為，公比為，則　　
A． B． C． D．24
5．（5分）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒．，發(fā)現(xiàn)了如下公式：．根據(jù)該公式可知，與的值最接近的是　　
A． B． C． D．
6．（5分）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．點(diǎn)在上，且，，成等比數(shù)列，則的離心率的最大值為　　
A． B． C． D．1
7．（5分）為貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》的文件精神，某學(xué)校推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)用木工》《實(shí)用電工》4門校本勞動(dòng)選修課程，要求每個(gè)學(xué)生從中任選2門進(jìn)行學(xué)習(xí)，則甲、乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的概率為　　
A． B． C． D．
8．（5分）若，，則“”是“”成立的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）如圖是函數(shù)的部分圖象，則　　

A．的最小正周期為
B．圖象關(guān)于，對(duì)稱
C．
D．的圖象向右平移個(gè)單位，可以得到的圖象
10．（5分）已知四棱錐的底面是矩形，平面，則　　
A．是與所成的角
B．是與平面所成的角
C．是二面角的平面角
D．作于，連結(jié)，則是二面角的平面角
11．（5分）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與相交于，，，兩點(diǎn)．若的最小值為6，則　　
A．拋物線的方程為
B．的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值為3
C．
D．當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，為的一個(gè)四等分點(diǎn)
12．（5分）在中，設(shè)，，，則下列命題正確的是　　
A．若，則為鈍角三角形
B．
C．若，則
D．若，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）若的展開式中的系數(shù)為30，則　?。?br /> 14．（5分）某公司于2021年1月推出了一款產(chǎn)品，現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品上市時(shí)間（單位：月）和市場(chǎng)占有率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如表數(shù)據(jù)：

1
2
3
4
5

0.002
0.005
0.010
0.015
0.018
由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，市場(chǎng)占有率約為 　　．
15．（5分）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則　?。?br /> 16．（5分）一個(gè)正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的角為，且下底面邊長(zhǎng)是上底面邊長(zhǎng)的2倍．若該棱臺(tái)的體積為，則其下底面邊長(zhǎng)為 　　，外接球的表面積為 　?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求滿足不等式的正整數(shù)的集合．
18．（12分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并回答問題．
問題：在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，是的中點(diǎn)．若，，且______，求及的長(zhǎng)．
19．（12分）某中學(xué)高三年級(jí)組為了解學(xué)生主動(dòng)預(yù)習(xí)與學(xué)習(xí)興趣是否有關(guān)，隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查結(jié)果表明，主動(dòng)預(yù)習(xí)的學(xué)生占樣本容量的，學(xué)習(xí)興趣高的學(xué)生占樣本容量的，主動(dòng)預(yù)習(xí)且學(xué)習(xí)興趣高的學(xué)生占樣本容量的．
（1）完成下面列聯(lián)表．若有的把握認(rèn)為主動(dòng)預(yù)習(xí)與學(xué)習(xí)興趣有關(guān)，求樣本容量的最小值；

學(xué)習(xí)興趣高
學(xué)習(xí)興趣一般
合計(jì)
主動(dòng)預(yù)習(xí)



不太主動(dòng)預(yù)習(xí)



合計(jì)



（2）該校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用分層抽樣的方法從“學(xué)習(xí)興趣一般”的學(xué)生中抽取10人，組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，現(xiàn)從該小組中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行摸底測(cè)試，記3人中“不太主動(dòng)預(yù)習(xí)”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線的交點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為4．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知為圓的切線，且與相交于，兩點(diǎn)，求．
22．（12分）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求；
（2）當(dāng)，時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

2020-2021學(xué)年江蘇省南通市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合，，，則　　
A．， B．， C．，1， D．，
【解答】解：集合，
，，，2，，
，．
故選：．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)，則　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：，
．
故選：．
3．（5分）已知，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，，
，即．
，
故選：．
4．（5分）已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為，公比為，則　　
A． B． C． D．24
【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為，公比為，
則有，解可得，
則；
故選：．
5．（5分）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒．，發(fā)現(xiàn)了如下公式：．根據(jù)該公式可知，與的值最接近的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知，，
因?yàn)?弧度，
所以，
由誘導(dǎo)公式可得，，，
所以，
則與的值最接近的是．
故選：．
6．（5分）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．點(diǎn)在上，且，，成等比數(shù)列，則的離心率的最大值為　　
A． B． C． D．1
【解答】解：因?yàn)樵跈E圓上，由橢圓的定義得①；
由，，成等比數(shù)列，所以②；
由均值不等式及①②，得；
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
故選：．
7．（5分）為貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》的文件精神，某學(xué)校推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)用木工》《實(shí)用電工》4門校本勞動(dòng)選修課程，要求每個(gè)學(xué)生從中任選2門進(jìn)行學(xué)習(xí)，則甲、乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的概率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：某學(xué)校推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)用木工》《實(shí)用電工》4門校本勞動(dòng)選修課程，
要求每個(gè)學(xué)生從中任選2門進(jìn)行學(xué)習(xí)，
甲、乙兩名同學(xué)的選課包含的基本事件個(gè)數(shù)，
甲、乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同包含的基本事件個(gè)數(shù)，
則甲、乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的概率為．
故選：．
8．（5分）若，，則“”是“”成立的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：，，
要使即使，
令，，，
令，，
故在上為減函數(shù)，且，
故，故在上為減函數(shù)，
故“”是“”的充要條件，
即“”是“”成立的充要條件，
故選：．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）如圖是函數(shù)的部分圖象，則　　

A．的最小正周期為
B．圖象關(guān)于，對(duì)稱
C．
D．的圖象向右平移個(gè)單位，可以得到的圖象
【解答】解：由圖象可知，，
所以的最小正周期為，
故選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，可得?br /> 又為“五點(diǎn)法”中的第二個(gè)點(diǎn)，
則，解得，
所以，
因?yàn)椋?br /> 則，不是的對(duì)稱中心，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，
故選項(xiàng)正確；
的圖象向右平移個(gè)單位，
可得函數(shù)，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
10．（5分）已知四棱錐的底面是矩形，平面，則　　
A．是與所成的角
B．是與平面所成的角
C．是二面角的平面角
D．作于，連結(jié)，則是二面角的平面角
【解答】解：作出圖象如圖所示，
因?yàn)槭蔷匦?，則，所以是與所成的角，
故選項(xiàng)正確；
因?yàn)槠矫?，則在平面內(nèi)的射影為，
所以是與平面所成的角，
故選項(xiàng)正確；
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 則，又，，，平面，
所以平面，平面，
則，又，
故為二面角的平面角，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
作于，連結(jié)，因?yàn)闆]有條件可以判斷是否垂直，
所以不能確定是二面角的平面角，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．

11．（5分）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與相交于，，，兩點(diǎn)．若的最小值為6，則　　
A．拋物線的方程為
B．的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值為3
C．
D．當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，為的一個(gè)四等分點(diǎn)
【解答】解：當(dāng)斜率不存在時(shí)，即過拋物線的焦點(diǎn)，且垂直軸，
，
，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，，，
聯(lián)立直線與拋物線方程，可得①，
由韋達(dá)定理，可得，
由拋物線的定義，可得，
綜合以上兩種情況可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即過拋物線的焦點(diǎn)，且垂直軸，取得最小值，
的最小值為6，
，即，
拋物線的方程為，故選項(xiàng)正確，
的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最小值為，故選項(xiàng)正確，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，可得，
，解得，
將，代入①中，可得，解得兩根為，
不妨設(shè)，，，
由拋物線得的定義可得，，，即，
，即為的一個(gè)四等分點(diǎn)，故選項(xiàng)正確．
故選：．
12．（5分）在中，設(shè)，，，則下列命題正確的是　　
A．若，則為鈍角三角形
B．
C．若，則
D．若，則
【解答】解：對(duì)于，
，
又，所以，故不能判斷 是鈍角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，

，
，
，
，
顯然成立，故正確；
對(duì)于，
，
由正弦定理可得，
所以，由大角對(duì)大邊可得，即，故 正確．
對(duì)于，
，
設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
，，
于是，
在中，由余弦定理可得
，
在 中，由余弦定理可得
，
所以，又，
所以，即．故正確．
故選：．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）若的展開式中的系數(shù)為30，則　?。?br /> 【解答】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，、
令，則，
所以，
因?yàn)榈南禂?shù)為30，
則，解得．
故答案為：．
14．（5分）某公司于2021年1月推出了一款產(chǎn)品，現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品上市時(shí)間（單位：月）和市場(chǎng)占有率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如表數(shù)據(jù)：

1
2
3
4
5

0.002
0.005
0.010
0.015
0.018
由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，市場(chǎng)占有率約為 　0.0394?。?br /> 【解答】解：由題意，，
，
因?yàn)榫€性回歸方程為，
則，
所以，
將代入，可得．
故答案為：0.0394．
15．（5分）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則　?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意，是奇函數(shù)，若，則，
當(dāng)時(shí)，，則，則，
故答案為：．
16．（5分）一個(gè)正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的角為，且下底面邊長(zhǎng)是上底面邊長(zhǎng)的2倍．若該棱臺(tái)的體積為，則其下底面邊長(zhǎng)為 　2　，外接球的表面積為 　?。?br /> 【解答】解：設(shè)正四棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為，
依題意可得，正四棱臺(tái)的高，
棱臺(tái)的體積為，，
解得，則正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為2；
正四棱臺(tái)上底面對(duì)角線長(zhǎng)為，下底面對(duì)角線長(zhǎng)為，

設(shè)上底面中心為，下底面中心為，四棱臺(tái)外接球半徑為，
若外接球球心在線段上，由，
此方程無(wú)解；
若外接球球心在線段的延長(zhǎng)線上，由，
解得：解得：，外接球的表面積為．
故答案為：2；．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求滿足不等式的正整數(shù)的集合．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，，所以，解得?br /> 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
解得，
所以，
又為正整數(shù)，
所以，2，
故正整數(shù)的集合為，．
18．（12分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并回答問題．
問題：在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，是的中點(diǎn)．若，，且______，求及的長(zhǎng)．
【解答】解：①，由正弦定理可得：，又因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
即，在三角形中，，則，
所以，所以可得，
所以或，
可得或（舍
由正弦定理可得，而，，
所以，
，
，
在中，，
由余弦定理可得；
②；所以可得，
所以可得，，
所以，后面解法同①；
③，由正弦定理可得：，
在三角形中，，
所以，，
所以，即，
所以，
所以或，
可得或（舍，
后面計(jì)算同①，
綜上所述：，．
19．（12分）某中學(xué)高三年級(jí)組為了解學(xué)生主動(dòng)預(yù)習(xí)與學(xué)習(xí)興趣是否有關(guān)，隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查結(jié)果表明，主動(dòng)預(yù)習(xí)的學(xué)生占樣本容量的，學(xué)習(xí)興趣高的學(xué)生占樣本容量的，主動(dòng)預(yù)習(xí)且學(xué)習(xí)興趣高的學(xué)生占樣本容量的．
（1）完成下面列聯(lián)表．若有的把握認(rèn)為主動(dòng)預(yù)習(xí)與學(xué)習(xí)興趣有關(guān)，求樣本容量的最小值；

學(xué)習(xí)興趣高
學(xué)習(xí)興趣一般
合計(jì)
主動(dòng)預(yù)習(xí)



不太主動(dòng)預(yù)習(xí)



合計(jì)



（2）該校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用分層抽樣的方法從“學(xué)習(xí)興趣一般”的學(xué)生中抽取10人，組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，現(xiàn)從該小組中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行摸底測(cè)試，記3人中“不太主動(dòng)預(yù)習(xí)”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：

學(xué)習(xí)興趣高
學(xué)習(xí)興趣一般
合計(jì)
主動(dòng)預(yù)習(xí)



不太主動(dòng)預(yù)習(xí)



合計(jì)



則，
因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為主動(dòng)預(yù)習(xí)與學(xué)習(xí)興趣有關(guān)，
所以，解得，
結(jié)合題意，正整數(shù)是15的倍數(shù)，
所以的最小值為270；
（2）由（1）可知，“學(xué)習(xí)興趣一般”的學(xué)生中，
“主動(dòng)預(yù)習(xí)”與“不太主動(dòng)預(yù)習(xí)”的學(xué)生人數(shù)之比為，
因此用分層抽樣的方法，從“學(xué)習(xí)興趣一般”的學(xué)生中抽取10人中，“不太主動(dòng)預(yù)習(xí)”的人數(shù)為2，
所以，2，，
所以，

，
所以的分布列為：

0
1
2




則．
20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解答】（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，
在底面中，因?yàn)?，?br /> 由，可得，
因?yàn)?，即?br /> 所以在中，，
故，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面；
（2）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)?，?br /> 所以為等邊三角形，則，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)槠矫妫?，平面?br /> 所以，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)如圖所示，
因?yàn)?，，，，平面?br /> 則平面，
因?yàn)?，?br /> 所以，
平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?br /> 故，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，
故，
所以，
故二面角的余弦值．

21．（12分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線的交點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為4．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知為圓的切線，且與相交于，兩點(diǎn)，求．
【解答】解：（1）設(shè)，由直線是雙曲線的一條漸近線，可得①，
因?yàn)殡p曲線的準(zhǔn)線方程為，
則，可得，所以，
由雙曲線的對(duì)稱性，可得，
結(jié)合四邊形的面積為4，可得，解得，
結(jié)合①，可得，
所以雙曲線的方程為；
（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，對(duì)于圓，
不妨考慮，
則由，可得，
所以，
所以；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
因?yàn)檫@些與相交于，兩點(diǎn)，所以，
因?yàn)檫@些與圓相切，
所以，即，
設(shè)，，，，
聯(lián)立方程組，可得，
結(jié)合，可得△，
則，
所以


，
結(jié)合，可得．
綜上所述，．
22．（12分）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求；
（2）當(dāng)，時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)椋裕?br /> 則，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，
故；
（2）由（1）可知，，且，
因?yàn)椋栽?，上單調(diào)遞增，
則當(dāng)，時(shí)，，即，
①當(dāng)時(shí)，，所以恒成立；
②當(dāng)時(shí)，令，，，
則，，，
若，，，則，
所以在，上單調(diào)遞增，
則當(dāng)，時(shí)，，
結(jié)合，可得，
故當(dāng)，時(shí)，恒成立，
若，則，
所以當(dāng)，時(shí)，，則單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，在，上圖象不間斷，
所以在，上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
則當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上減增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，，即，
即時(shí)，，與題設(shè)矛盾．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 16:41:15；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學(xué)號(hào)：39016604

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