易錯點18   拋物線易錯點1：主觀認為拋物線的頂點就是原點;易錯點2：忽視拋物線的變化趨勢,只從圖形的局部,亂下結(jié)論;易錯點3：在使用拋物線的焦半徑公式時,錯把縱坐標(biāo)寫成橫坐標(biāo);易錯點4：解決直線與拋物線綜合題時,忽略對直線斜率不存在情況的討論;易錯點5：在解有關(guān)直線與拋物線的位置關(guān)系的問題必記結(jié)論直線AB過拋物線的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如圖：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即當(dāng)x1＝x2時，弦長最短為2p. （3）＋為定值.（4）弦長AB＝(α為AB的傾斜角)．（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。（6）以AF為直徑的圓與y軸相切．（7）焦點F對A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.題組一：定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.（2021新高考2卷）拋物線的焦點到直線的距離為，則（  ）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2.(2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù))若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則p=(　）A．2  B．3  C．4  D．8 【解析】由題意可得：，解得．故選D．3．（2021北京）已知拋物線，的焦點為，點在曲線上，且，則的橫坐標(biāo)是________；作軸于，=________．【答案】；【解析】根據(jù)拋物線定義，拋物線準(zhǔn)線為，到準(zhǔn)線距離等于到焦點距離6，橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線方程到軸距離為，三角形底為，所以面積為．4．（2021新高考1卷）已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且．若，則的準(zhǔn)線方程為            .【答案】【解析】由已知可設(shè)，所以，，因此直線的方程為：，令得，因此．所以的準(zhǔn)線方程為． 題組二：拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用5．【2020全國Ⅰ卷】已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為，到軸的距離為，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得，故選C．6．（2020北京卷）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（    ）A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示，因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點．7.(2018全國1卷)設(shè)拋物線：的焦點為，過點且斜率為的直線與交于，兩點，則=(   )A．5     B．6     C．7      D．8【答案】D【解析】通解  過點且斜率為的直線的方程為，由，得，解得或，所以，或，不妨設(shè)，，易知，所以，，所以．故選D．8.（2017新課標(biāo)Ⅱ）已知F是拋物線：的焦點，M是上一點，FM的延長線交軸于點N．若M為FN的中點，則     ．【答案】6【解析】如圖所示，不妨設(shè)點M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，作與點，與點，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故． 題組三：焦點弦問題9.（2018全國2卷）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．則的方程是______________.【答案】【解析】由題意得，的方程為．設(shè)，由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得（舍去），．因此的方程為． 10.（2019全國1卷）已知拋物線的焦點為，斜率為 的直線與 的交點為，，與軸的交點為,，則的方程是_______________.【答案】【解析】由題意得，的方程為．設(shè)，由焦半徑公式知由得．，故．所以．所以的方程是，即. 11．（2018全國3卷）已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點．若∠AMB=900，則k=________．【答案】2【解析】法1: 由題意知拋物線的焦點為，則過的焦點且斜率為的直線方程為，由，消去得，即，設(shè)，，則，．由，消去得，即，則，，由，得，將，與，代入，得．法2: 設(shè)拋物線的焦點為，，，則，所以，則，取的中點，分別過點，做準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，又，點在準(zhǔn)線上，所以．又為的中點，所以平行于軸，且，所以，所以． 12.（2014全國2卷）設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積為______.【答案】【解析】法1：易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得．設(shè)，則，由物線的定義可得弦長，結(jié)合圖象可得到直線的距離，所以的面積．法2：秒殺公式的應(yīng)用小結(jié)：設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F且傾斜角為θ的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，. 題組四：拋物線中的最值問題13.（2017全國1卷）已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，直線 與交于A、B兩點，直線與交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（  ）A．16    B．14    C．12     D．10【答案】16【解析】由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設(shè)為，的斜率為，由題意有，設(shè)，，，此時直線方程為，取方程，得，∴同理得  由拋物線定義可知當(dāng)且僅當(dāng)（或）時，取得等號．14.（2021全國乙卷理）已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的最短距離為4.（1）求；（2）若點在上，為的切線，切點為，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因為到圓上點的最短距離為，所以（2）解法一：由（1）知拋物線所以設(shè)切點，則易得，從而得.設(shè)，聯(lián)立拋物線消去得，所以，且,，因為，，所以，    又在圓，所以，代入得,而，所以時，面積最大值.解法二：由（1）知拋物線所以設(shè)切點，圓上任意一點， 則易得，聯(lián)立可得，所以，又線段中點，所以. 又在圓，所以，代入得，而，所以時，面積最大值.15. （2021全國乙卷文）已知拋物線:的焦點到準(zhǔn)線的距離為2.（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點，點在上，點滿足，求直線斜率的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在拋物線中，焦點到準(zhǔn)線的距離為，故，（2）設(shè)點，，則，因為，所以，那么，又因為點在拋物線上，，所以，則點的軌跡方程，設(shè)直線方程為，當(dāng)直線和曲線相切時，斜率最大，聯(lián)立直線與曲線方程，此時，得，相切時，，，解得，所以直線斜率的最大值為.    1.設(shè)拋物線的焦點為，點M在C上，｜MF｜＝5，若以MF為直徑的圓過點（0,2），則C的方程為（     ）A. 或     B. 或C. 或    D. 或【答案】C【解析】設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋＝5，則x0＝5－.又點F的坐標(biāo)為，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)＋(y－y0)y＝0.將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x.故選C.2.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（   ）.A．2               B．4             C．6               D．8【答案】B【解析】由題意，不妨設(shè)拋物線方程為，由，，可取，，設(shè)為坐標(biāo)原點，由，得，得，所以選B． 3.已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于，兩點，，為的準(zhǔn)線上一點，則的面積為（    ）A．18         B．24        C．36        D．48【答案】C【解析】設(shè)拋物線的方程為，易知，即，∵點在準(zhǔn)線上，∴到的距離為，所以面積為36，故選C．4．過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在的軸上方），為的準(zhǔn)線，點在上且，則到直線的距離為  A．     B．     C．     D．【答案】C【解析】由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得，所以，因為，所以，因為，所以．所以到直線的距離為．故選C．5．已知，拋物線：的焦點為，與拋物線在第一象限的交點為，且，則（   ）．A．1        B．2        C．3        D．4【答案】A【解析】拋物線：的準(zhǔn)線方程是，焦點為F(2p,0),由，所以，解得 小結(jié)：P為拋物線的任意一點，F(xiàn)為焦點，以PF為直徑的圓與y軸相切． 6.已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則=_______.A．1        B．2        C．3        D．4【答案】C【解析】過點作交于點，因為，所以，又焦點到準(zhǔn)線的距離為4，所以．故選C．7.設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；若，的面積為；則的值為________.【答案】2【解析】由對稱性知：是等腰直角，斜邊點到準(zhǔn)線的距離  8．斜率為的直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則__________．【答案】【解析】由題拋物線，可知其焦點為，準(zhǔn)線為，如圖所示．作，，直線準(zhǔn)線交于點，由，∴傾斜角，∴，由拋物線定義知：，，又∵，∴為中點，∵，∴，∵，∴，∴，∴．9.已知A、B是拋物線上的兩點，直線AB垂直于軸，F(xiàn)為拋物線的焦點，射線BF交拋物線的準(zhǔn)線于點C，且的面積為，則p的值為____. 【答案】2【解析】法1：設(shè)A點的坐標(biāo)為(m,n),且點A在第一象限內(nèi)， 則B(m,-n),所以①，由所以因為所以②因為的面積為，又所以所以③，聯(lián)立①②③解得p=2.  法2：如圖，過A作AH垂直準(zhǔn)線于H，作CG垂直AB于G，根據(jù)拋物線的定義，|AH|=|A|F,CE//AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,由  `    因為|EF|正好是焦點到準(zhǔn)線的距離，即p=2.10.已知點及拋物線上的動點,則的最小值是___.【解析】動點P到準(zhǔn)線的距離為，所以，又所以   

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