易錯點11   球球是最常見的一種幾何體,在近幾年高考題中與球有關(guān)的問題頻繁出現(xiàn)。在此類問題中,既可以考查球的表面積、體積及距離等基本量的計算,又可以考查球與多面體的相切接,同時也能很好地考查同學們的畫圖能力、空間想象能力、推理論證能力?？疾樾问蕉嘁赃x擇題和填空題出現(xiàn)。易錯點1：公式記憶錯誤易錯點2：多面體與幾何體的結(jié)構(gòu)特征不清楚導(dǎo)致計算錯誤易錯點3：簡單的組合體畫不出適當?shù)慕孛鎴D致誤題組一：以三視圖為背景1．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是????????????? (　　)????????????? A.    B.     C.     D.【答案】A【解析】由三視圖知：該幾何體是個球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是，故選A．2．(2015高考數(shù)學新課標1理科)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為，則=A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為=，解得r=2，故選B．題組二，以棱（圓）柱為載體 3.(2010)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________. 【答案】【解析】根據(jù)題意可知三棱柱是棱長都是a的正三棱柱，設(shè)上下底面中心連線EF的中點O，則O就是球心，其外切球的半徑為OA1,又設(shè)D為A1C1中點，在直角三角形EDA1中， 4．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】  B【解析】法一：如圖，畫出圓柱的軸截面，所以，那么圓柱的體積是，故選B．法二：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高，而該圓柱的外接球的半徑為根據(jù)球與圓柱的對稱性，可得即，故該圓柱的體積為，故選B．題組三：以棱（圓）錐為載體5．(2021年高考全國甲卷理科)已如A． B．C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】A解析：，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以．故選：A．6.（2021天津卷）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為A. B. C. D.【答案】B【解析】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.7.（2020年全國1卷）已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A
【叮囑】球的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1.  球的任意一個截面都是圓.其中過球心的截面叫做球的大圓，其余的截面都叫做球的小圓.性質(zhì)2.  球的小圓的圓心和球心的連線垂直于小圓所在的平面. 反之，球心在球的小圓所在平面上的射影是小圓的圓心.性質(zhì)3: 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r 的關(guān)系為:R2=d2+r2.性質(zhì)4.  球的兩個平行截面的圓心的連線垂直于這兩個截面，且經(jīng)過球心.性質(zhì)5.  球的直徑等于球的內(nèi)接長方體的對角線長.性質(zhì)6.  若直棱柱的所有頂點都在同一個球面上，則該球的球心是直棱柱的兩個底面的外接圓的圓心的連線的中點.8．(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)已知△ABC是面積為等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為????????????? (　　)A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：．設(shè)外接圓半徑為，邊長為， 是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離．故選：C． 9．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：．故答案為：．  題組四：與最值相關(guān) 10．(2015高考數(shù)學新課標2理科)已知是球的球面上兩點，,為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積． 11．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)設(shè)是同一個半徑為的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的邊長為，則，此時外接圓的半徑為，故球心到面的距離為，故點到面的最大距離為，此時，故選B． 12．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球,若,,,,則的最大值是????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】要使球的體積最大,必須球的半徑最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時,球的半徑取得最大值,此時球的體積為,故選B.  1．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體的體積為，其內(nèi)切球的體積為，由條件可知牟合方蓋的體積為，故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為.故選：C2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（       ）A．200π B．100π C． D．50【答案】D【解析】由三視圖可得該幾何體為如圖的長方體中的四面體A1BC1D,四面體A1BC1D與長方體的外接球是同一個球，長方體的外接球的直徑即為長方體的對角線，，所以外接球的表面積為，故選：D.3．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的體積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中點，過點做直線垂直，因為為直角三角形，所以點為外接圓的圓心，又平面平面，所以平面，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線上，且球心為的外心.在中，，所以，則外接圓的半徑為即外接球的半徑為，所以體積為.故選：D4．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個多面體的三視圖，若該多面體的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三視圖可還原幾何體為從長、寬均為，高為的長方體中截得的四棱錐，則四棱錐的外接球即為長方體的外接球，球的半徑，球的表面積.故選：A.5．已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，構(gòu)成以D為頂點的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造以其為長寬高的長方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1，1，，所以，球面積，故選:D.6．在四邊型中（如圖1所示），，，，將四邊形沿對角線折成四面體（如圖2所示），使得，則四面體外接球的表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，又，則，，可知，則，取的中點，連接，則，所以點為四面體外接球的球心，則外接球的半徑為：，所以四面體外接球的表面積.故選：D.7．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)在底面上的射影為，如圖，因為，所以為的中心，由題可知，，由，解得在正中，可得.從而直角三角形中解得.進而可得，，，因此正三棱錐可看作正方體的一角，正方體的外接球與三棱錐的外接球相同，正方體對角線的中點為球心.記外接球半徑為，則，所以，球的表面積為.故選：B8．在體積為的直三棱柱中，為等邊三角形，且的外接圓半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的邊長為a，由的外接圓半徑為可得，故，則的面積.由三棱柱的體積為可得，故，設(shè)三棱柱外接球的半徑為R，則，故該三棱柱外接球的表面積為.故選：A．9．在三棱錐中，，，若該三棱錐的體積為，則其外接球表面積的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故底面三角形外接圓半徑為，，當時等號成立，故，故，當離平面最遠時，外接球表面積最小，此時，在平面的投影為中點，設(shè)球心為，則在上，故，化簡得到，雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故.故選：D.10．已知三棱錐的頂點在底面的射影為的垂心，若的面積為的面積為的面積為，滿足，當的面積之和的最大值為8時，則三棱錐外接球的體積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接交于點，連接,因為為的垂心，所以，因為平面，所以，而 ,所以平面，所以，可得，因為，即，所以，所以，所以,又 平面， 平面，故 ，而 ,所以平面，平面，所以，同理可知，且，所以平面，所以，因此兩兩垂直，設(shè)，則，當且僅當時，等號成立，所以，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，所以，解得，所以三棱錐外接球的體積為,故選:D.

相關(guān)試卷

易錯點11 立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學考試易錯題（新高考專用）：

這是一份易錯點11 立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學考試易錯題（新高考專用），文件包含易錯點11立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學考試易錯題新高考專用解析版docx、易錯點11立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學考試易錯題新高考專用原卷版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。

易錯點17 雙曲線（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題：

這是一份易錯點17 雙曲線（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題，共13頁。試卷主要包含了已知雙曲線，已知，是雙曲線等內(nèi)容，歡迎下載使用。

易錯點10 不等式（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題：

這是一份易錯點10 不等式（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題，共12頁。試卷主要包含了已知函數(shù)，，已知函數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

易錯點16 橢圓（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題

易錯點16 橢圓（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題
易錯點01 集合及其運算【解析版】-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題

易錯點01 集合及其運算【解析版】-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題
易錯點11 球（學生版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題

易錯點11 球（學生版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學考試易錯題
易錯點11 球 高考數(shù)學易錯題精編（word版含答案解析）

易錯點11 球 高考數(shù)學易錯題精編（word版含答案解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部