易錯(cuò)點(diǎn)17   雙曲線易錯(cuò)點(diǎn)1：焦點(diǎn)位置不確定導(dǎo)致漏解   要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：易錯(cuò)點(diǎn)2：雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線、離心率、焦半經(jīng)、通徑； 易錯(cuò)點(diǎn)3：直線與雙曲線的位置關(guān)系（1）忽視直線斜率與漸近線平行的情況；（2）在用橢圓與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零？判別式的限制.（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對稱，存在性問題都在下進(jìn)行）.題組一：定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2015福建理）若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（   ） A．11         B．9         C．5            D．3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B．2．（2019年新課標(biāo)1卷）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為　　A． B． C． D．【答案】B【解答】∵，∴，又，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根據(jù)cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得，解得a2＝3，∴．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以橢圓C的方程為故選：B．3．（2017新課標(biāo)Ⅲ理）已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為A．     B．     C．    D．【答案】B【解析】由題意可得：，，又，解得，，則的方程為，故選B．4.（2016年新課標(biāo)1卷）已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（   ）A.(-1,3)   B.(-1,)     C.(0,3)     D.(0,)【答案】A【解析】由題意知c=2,,因?yàn)?/span>方程表示雙曲線，所以解得故選A.  題組二：焦點(diǎn)三角形5．（2020·新課標(biāo)Ⅰ文）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（    ）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由已知，不妨設(shè)，則，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故選B．6．【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)11】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為．是上的一點(diǎn)，且．若的面積為，則（  ）A．                B．                 C．                 D．【答案】A【解析】解法一：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選A．解法二：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為．∴=4，則，又∵，∴．解法三：設(shè)，則，，，求的．7.（2015全國1卷）已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（    ）A.     B.   C.  D.【答案】A【解析】法1：根據(jù)題意的坐標(biāo)分別為，所以所以所以.故選A.秒殺法2： 當(dāng)由等面積得：因?yàn)?/span>，所以為鈍角，根據(jù)變化規(guī)律，可得故選A.8．(2016全國II理)已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，，則的離心率為（   ）A．          B．           C．          D．2【答案】A【解析】設(shè)，將代入雙曲線方程，得，化簡得，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故選A．題組三：漸進(jìn)線9．（2019全國3卷）雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為　　A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為：，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，可得，，所以的面積為：,故選A．10．(2018全國2卷)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A．     B．     C．   D．【答案】A【解析】解法一  由題意知，，所以，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選A ．解法二 由，得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選A．11．（2017天津理）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為．若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A．     B．      C．   D．【答案】B【解析】設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，由，由題意有，又，，得，，故選B．12．（2015新課標(biāo)1文）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為    ．【答案】【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為，又雙曲線過點(diǎn)，∴，∴，故雙曲線的方程為．題組四：離心率13．(2021年高考全國甲卷理科)已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?/span>,由余弦定理可得，整理可得，所以，即．故選：A14．(2021全國乙卷理科)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．15．（2019全國1卷）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)．若，，則的離心率為　　．【答案】2【解析】如圖，，，∴OA⊥F1B，則F1B：①，漸近線OB為②聯(lián)立①②，解得B，則，，又，所以整理得：，故的離心率為16．（2019全國2卷）設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為(   ).A． B． C．2 D．【答案】A【解析】法1：由題意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故選A． 法2：如圖所示，由可知為以  為直徑圓的另一條直徑，所以，代入得，所以，解得.故選A．法3：由可知為以為直徑圓的另一條直徑，則，.故選A．題組五：距離17．【2020年高考北京卷12】已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是__________．【答案】，【解析】∵雙曲線，∴，，，∴，∴右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵雙曲線中焦點(diǎn)到漸近線距離為，∴．18．【2018·全國Ⅲ文】已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為A．    B．   C．   D．【答案】D【解析】，，∴雙曲線的漸近線方程為，∴點(diǎn)到漸近線的距離，故選D．19.（2018全國1卷）已知雙曲線C： - y2 =1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若ΔOMN為直角三角形，則|MN|=____.【答案】3【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以．不妨設(shè)過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，由為直角三角形，不妨設(shè)，則，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，由，得，所以，所以，所以．20．【2020年高考浙江卷8】已知點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖像上的點(diǎn)，則 （   ）A．            B．            C．            D．【答案】D【解析】由條件可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，并且，∴，方程為 且點(diǎn)為函數(shù)上的點(diǎn)，聯(lián)立方程 ，解得：，，，故選D． 1.等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為（    ）A.       B.        C.        D.【答案】C【解析】設(shè)等軸雙曲線C:，的準(zhǔn)線因?yàn)?/span>與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，，所以,將A點(diǎn)代入雙曲線方程得，故選C.2.雙曲線的漸進(jìn)線方程為，且焦距為10，則雙曲線方程為（   ）A.       B.或C.       D.【答案】D【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，漸進(jìn)線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.焦點(diǎn)在y軸時(shí)，漸進(jìn)線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.故選D.3.已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為(   )A.   B.    C.   D.【答案】B【解析】由雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，即 則，則，故的方程式為．應(yīng)選B．已知雙曲線：的離心率為，則的漸近線方程為(    )A.   B.   C.    D.【答案】C【解析】由題意，所以的漸近線方程為故選C.5. 已知是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為(     )A.   B.3    C.    D.【答案】A【解析】由C:得即，則點(diǎn)F到C得一條漸近線得距離故選A.6.P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為     .【答案】x=a【解析】如圖所示：，設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，PF1,PF2與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M、N，由雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a，由圓的切線長定理知， |PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，所以（x+c)-(c-x)=2a,得x=a.7.已知F1、F2為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則P到x軸的距離為________.【答案】【解析】法1：設(shè)，可知,根據(jù)雙曲線定義①，在ΔPF1F2中，根據(jù)余弦定理②聯(lián)立①②得，設(shè)P到x軸得距離為h，則秒殺法2：由等面積得：設(shè)P到x軸得距離為h，故答案為：8.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為_____.【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)雙曲線，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH⊥x軸于點(diǎn)H，則∠MBH=600，故|BH|=a,將點(diǎn)M代入得a=b,所以9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為___.【答案】2【解析】雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線的距離為，圓心到弦的距離也為，所以，又，所以得，所以離心率 10．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C: －＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P．若|PF1|=|OP|，則C的離心率為_____.【答案】【解析】法1：不妨設(shè)一條漸近線的方程為，則到的距離，在中，，所以，所以，又，所以在與中，根據(jù)余弦定理得，即，得．所以．法2：選C  設(shè)P(t,- t),∵PF2與y=- x垂直，∴=，解得t= 即P(,-  ) ∴|OP|==a，|PF1|=，依題有(+c)2+(- )2=6a2，化簡得c2=3a2，即 

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