2020-2021學(xué)年江蘇省南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題,每小題3分，共24分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1．（3分）已知集合，，2，3，4，，則　　A．， B．，2， C．，2，3， D．，3，2．（3分）“”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（3分）下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則4．（3分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是　　A． B． C． D．5．（3分）已知，，，則　　A． B． C． D．6．（3分）已知函數(shù)的定義域是，，則的定義域是　　A．， B．， C．， D．，7．（3分）若，則等于　　A．9 B． C．25 D．8．（3分）設(shè)偶函數(shù)在上為減函數(shù)，且（2），則不等式的解集為　　A．，， B．，， C．，， D．，，二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得4分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．（4分）若，，則下列說(shuō)法不正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則10．（4分）下列四個(gè)命題是真命題的是　　A．函數(shù)與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù) B．奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位得到 D．若函數(shù)，則11．（4分）下列說(shuō)法正確的是　　A．若，則函數(shù)有最小值 B．若，，，則的最大值為4 C．若，，，則的最大值為1 D．若，，，則的最小值為412．（4分）對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間，，使在，上的值域?yàn)?/span>，．那把稱為閉函數(shù)．下列函數(shù)是閉函數(shù)的是　　A． B． C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則　　．14．（5分）已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是　　．15．（5分）函數(shù)的遞減區(qū)間是　　，遞增區(qū)間是　　．16．（5分）已知函數(shù)，．①若方程有兩個(gè)解，則的取值范圍為　　；②若不等式在上恒成立，則的取值范圍為　　．三、解答題：本大題共5小題，共48分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．18．（10分）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中．命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）當(dāng)時(shí)，命題，都為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（10分）某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬(wàn)元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬(wàn)元）．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？20．（10分）已知定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）判斷并用定義證明在上的單調(diào)性；（3）解不等式．21．（10分）已知函數(shù)，．（1）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題,每小題3分，共24分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1．（3分）已知集合，，2，3，4，，則　　A．， B．，2， C．，2，3， D．，3，【分析】由集合與，找出兩集合的交集即可．【解答】解：集合，，2，3，4，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（3分）“”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由，解得范圍．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由，解得，或． “”是“”的充分不必要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【解答】解：．時(shí)不成立；．，，則，因此不正確；．，，則，正確．．取，，，，滿足條件，，但是不成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（3分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【解答】解：為奇函數(shù)，不符合題意；為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，符合題意；，非奇非偶函數(shù)，不符合題意；為偶函數(shù)，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．5．（3分）已知，，，則　　A． B． C． D．【分析】，，，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，可比較，，，進(jìn)而得到答案．【解答】解：，，，綜上可得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．6．（3分）已知函數(shù)的定義域是，，則的定義域是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域得出的取值范圍，由此求出的定義域．【解答】解：函數(shù)的定義域是，，令，解得，所以的定義域是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的定義域求法問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)理解函數(shù)定義域的概念，是基礎(chǔ)題．7．（3分）若，則等于　　A．9 B． C．25 D．【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及其單調(diào)性即可得出．【解答】解：，，化為，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及其單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）設(shè)偶函數(shù)在上為減函數(shù)，且（2），則不等式的解集為　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可將原不等式變形為，然后分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)有，根據(jù)函數(shù)在上為減函數(shù)，且（2），得到；當(dāng)時(shí)有，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)的性質(zhì)與上的單調(diào)性，得．【解答】解：是偶函數(shù)不等式，即也就是①當(dāng)時(shí)，有在上為減函數(shù)，且（2）即（2），得；②當(dāng)時(shí)，有，（2），綜上所述，原不等式的解集為：，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性為載體，考查了抽象不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得4分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．（4分）若，，則下列說(shuō)法不正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】分別根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)即可判斷．【解答】解：對(duì)于：若，則，故正確；對(duì)于：若，則不成立，故不正確；對(duì)于：若，則，得不到，故不正確；對(duì)于：若，則不成立，故不正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（4分）下列四個(gè)命題是真命題的是　　A．函數(shù)與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù) B．奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位得到 D．若函數(shù)，則【分析】直接利用函數(shù)的定義，函數(shù)的值域判定的結(jié)論；利用奇函數(shù)的圖象判定的結(jié)論，利用函數(shù)的圖象的平移變換判斷的結(jié)論；利用恒等變換的應(yīng)用求出函數(shù)的解析式，主要對(duì)定義域進(jìn)行確定．【解答】解：對(duì)于：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故這兩個(gè)函數(shù)不為示同一個(gè)函數(shù)，故該命題為假命題；對(duì)于：函數(shù)為奇函數(shù)，但是函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故假命題；對(duì)于：函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位得到，符合左加右減的性質(zhì)，故為真命題；對(duì)于：函數(shù)，所以，故為真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義，函數(shù)的圖象的平移變換，奇函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（4分）下列說(shuō)法正確的是　　A．若，則函數(shù)有最小值 B．若，，，則的最大值為4 C．若，，，則的最大值為1 D．若，，，則的最小值為4【分析】利用基本不等式逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證其正誤即可．【解答】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ “，故選項(xiàng)正確；，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ “，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ “，故選項(xiàng)正確；，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ “，故選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用及解不等式，屬于中檔題．12．（4分）對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間，，使在，上的值域?yàn)?/span>，．那把稱為閉函數(shù)．下列函數(shù)是閉函數(shù)的是　　A． B． C． D．【分析】結(jié)合選項(xiàng)分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性分別求解滿足條件的，是否存在，進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷．【解答】解：：若在，上單調(diào)遞減，則，此時(shí)，不存在，若在，上單調(diào)遞增，則，此時(shí)，不存在，不符合題意；：若在，上單調(diào)遞減，根據(jù)題意可得，且，解得，，，即存在區(qū)間，滿足題意，符合題意；若，，解得，，，故此時(shí)存在區(qū)間，滿足題意；在，上單調(diào)遞增，則（a），，令，則，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，故函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，此時(shí)，不存在，滿足題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于綜合性試題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則　　．【分析】當(dāng)時(shí)，，可得（1）．由于函數(shù)為奇函數(shù)，可得（1），即可得出．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，（1）．函數(shù)為奇函數(shù)，（1）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是　　．【分析】令求出的值和此時(shí)的值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：令得：，此時(shí)，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，即點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，令的指數(shù)整體等于0是本題的解題關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．（5分）函數(shù)的遞減區(qū)間是　，　，遞增區(qū)間是　　．【分析】先求出該函數(shù)定義域?yàn)?/span>，或，可以看出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間一致，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可得出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：解得，，或；函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；該函數(shù)的遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為，．故答案為：，，，．【點(diǎn)評(píng)】考查解一元二次不等式，復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，以及二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．16．（5分）已知函數(shù)，．①若方程有兩個(gè)解，則的取值范圍為　　；②若不等式在上恒成立，則的取值范圍為　　．【分析】①轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)圖象可得所求范圍；②由題意可得恒成立，由指數(shù)函數(shù)的值域和恒成立思想可得的范圍．【解答】解：①若方程有兩個(gè)解，即為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，可得的范圍是；②若不等式在上恒成立，即為恒成立，由，，可得，即的取值范圍是，．故答案為：；，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立問(wèn)題解法，考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共48分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．【解答】解：（1）原式；（2）原式，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．（10分）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中．命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）當(dāng)時(shí)，命題，都為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1），均為真命題，把代入，分別計(jì)算范圍得到答案．（2）是的充分不必要條件，根據(jù)表示范圍關(guān)系解得答案．【解答】解：：實(shí)數(shù)滿足，其中，解得．命題：實(shí)數(shù)滿足，解得．（1）時(shí)，．命題，都為真，則，解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）是的充分不必要條件，，，則，或，解得或．故實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件，同時(shí)考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．19．（10分）某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬(wàn)元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬(wàn)元）．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？【分析】（Ⅰ）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)時(shí)，投入成本為（萬(wàn)元），根據(jù)年利潤(rùn)銷售收入成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，投入成本為，根據(jù)年利潤(rùn)銷售收入成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（Ⅱ）根據(jù)年利潤(rùn)的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，千件商品銷售額為萬(wàn)元，①當(dāng)時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)銷售收入成本，；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)銷售收入成本，．綜合①②可得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值萬(wàn)元．綜合①②，由于，當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1000萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．20．（10分）已知定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）判斷并用定義證明在上的單調(diào)性；（3）解不等式．【分析】】（1）設(shè)，則，由函數(shù)為奇函數(shù)，可求函數(shù)的解析式；（2）在上單調(diào)遞增，利用增函數(shù)的定義證明即可；（3）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，解之即可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)，則，是奇函數(shù)，，，．（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，，，則，，即，故在上單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增．（3）由為奇函數(shù)可得，則，由在上單調(diào)遞增，可得，解得，即不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性證明以及利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．21．（10分）已知函數(shù)，．（1）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）由恒成立，即恒成立，轉(zhuǎn)化為二次不等式問(wèn)題，對(duì)進(jìn)行討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將因式分解，對(duì)進(jìn)行討論，可得不等式的解集；（3）令，求解的最小值，有四個(gè)不同的實(shí)根，即與有4個(gè)交點(diǎn)，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由恒成立，即恒成立，可得恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使恒成立，則，即，解得．綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（2）函數(shù)即，又，所以當(dāng)時(shí)，可得，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，，；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，，；（3）令，則，由方程有四個(gè)不同的實(shí)根，即與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)，顯然與不能有4個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)，作出的圖象（如圖），從圖象，顯然與不能有4個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)，作出的圖象（如圖），從圖象可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值為，要使與能有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則且．即且，所以，綜上，可知實(shí)數(shù)的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，不等式的解法，討論思想，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2021/2/23 14:21:27；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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