2020-2021學(xué)年江蘇省南京師大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1．（5分）已知全集，0，1，，，，則集合　　A．， B．， C．， D．，2．（5分）“”是“”的　　A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）命題“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，4．（5分）已知，則的值為　　A． B．1 C． D．5．（5分）函數(shù)的值域?yàn)?/span>　　A．， B． C． D．，6．（5分）下列四組函數(shù)中，與（或表示同一個函數(shù)的是　　A．， B．， C．， D．，7．（5分）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為　　A． B． C．4 D．8．（5分）函數(shù)的圖象大致為　　A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）9．（5分）設(shè)集合，則下列表述不正確的是　　A． B． C． D．10．（5分）下列四個條件中，能成為的充分不必要條件的是　　A． B． C． D．11．（5分）下列命題中是真命題的有　　A．若函數(shù)在，和上都單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增 B．狄利克雷函數(shù)在任意一個區(qū)間都不單調(diào) C．若函數(shù)是奇函數(shù)，則一定有 D．若函數(shù)是偶函數(shù)，則可能有12．（5分）已知，，且，那么下列結(jié)論正確的有　　A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知，則（6）　　．14．（5分）已知函數(shù)，，則（3）　　．15．（5分）某水果店申報(bào)網(wǎng)上銷售水果價格如下：梨子60元盒，桔子65元盒，水蜜桃80元盒，荔枝90元盒，為增加銷量，店主對這四種水果進(jìn)行促銷：一次性購買水果總價達(dá)到120元，顧客就少付元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，店主會得到支付的．①時，顧客一次性購買梨子、水蜜桃各一盒，需要支付　　元；②在促銷活動中，為保證店主每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折（即，則的最大值是　　．16．（5分）為定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù)，則不等式的解集為　　．三、解答題：本大題共6小題，共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.17．（10分）已知、是正實(shí)數(shù)，求證：．18．（12分）計(jì)算：（1）；（2）．19．（12分）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?/span>，，且不等式的解集為．（1）求的解析式；（2）若對于任意的，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）某小區(qū)為了擴(kuò)大綠化面積，規(guī)劃沿著圍墻（足夠長）邊畫出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建花圃，規(guī)定的每條邊長不超過20米．如圖所示，要求矩形區(qū)域用來種花，且點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線，陰影部分為1米寬的種草區(qū)域．設(shè)米，種花區(qū)域的面積為平方米．（1）將表示為的函數(shù)；（2）求的最大值．21．（12分）已知集合，集合．（1）若，求的取值范圍；（2）在中有且僅有兩個整數(shù)，求的取值范圍．22．（12分）設(shè)，為大于0的常數(shù)）．（1）若的最小值為4，求的值；（2）用定義證明：在，上是增函數(shù)；（3）在（1）的條件下，當(dāng)時，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京師大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1．（5分）已知全集，0，1，，，，則集合　　A．， B．， C．， D．，【分析】直接求補(bǔ)集．【解答】解：因?yàn)槿?/span>，0，1，，，，所以：，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）“”是“”的　　A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】解，得集合，，根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：解一元二次方程，得集合，，，， “”是“”的充分不必要條件，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了充要條件的定義及一元二次方程的解，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）命題“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，【分析】特稱命題“，”的否定是：把改為，其它條件不變，然后否定結(jié)論，變?yōu)橐粋€全稱命題．即，使”．【解答】解：特稱命題“，”的否定是全稱命題：，使”．故選：．【點(diǎn)評】寫含量詞的命題的否定時，只要將“任意”與“存在”互換，同時將結(jié)論否定即可．4．（5分）已知，則的值為　　A． B．1 C． D．【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出．【解答】解：由，可得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）函數(shù)的值域?yàn)?/span>　　A．， B． C． D．，【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求時的的值域，再由二次函數(shù)的單調(diào)性求時的函數(shù)的值域，取并集得答案．【解答】解：當(dāng)時，單調(diào)遞減，，；當(dāng)時，，其對稱軸方程為，圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又，（1），（3）．，．綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的值域及其求法，分段函數(shù)的值域分段求，然后取并集，是基礎(chǔ)題．6．（5分）下列四組函數(shù)中，與（或表示同一個函數(shù)的是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，這樣的兩個函數(shù)是同一函數(shù)，對選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行判定即可．【解答】解：對于，，；，；它們的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對于，，；，，；它們的定義域不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，不是同一函數(shù)；對于，，，，；，；它們的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于，，；，；它們的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了判定兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的問題，是基礎(chǔ)題．7．（5分）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為　　A． B． C．4 D．【分析】先對式子變形，再由題設(shè)條件利用基本不等式求得結(jié)果．【解答】解：由題設(shè)可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時取“ “，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（5分）函數(shù)的圖象大致為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢即可判斷．【解答】解：的定義域?yàn)?/span>，，，，故排除，，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除，當(dāng)時，，故排除，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，掌握函數(shù)的定義域，奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）9．（5分）設(shè)集合，則下列表述不正確的是　　A． B． C． D．【分析】先求出集合，再利用集合與元素的關(guān)系和集合間的基本關(guān)系求解．【解答】解：集合，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合與元素的關(guān)系，考查了集合間的基本關(guān)系，是基礎(chǔ)題．10．（5分）下列四個條件中，能成為的充分不必要條件的是　　A． B． C． D．【分析】利用充要條件的定義逐項(xiàng)分析即可判斷．【解答】解：對于：若，則，則，反之不成立，正確．對于：當(dāng)時，，錯誤，對于：若，由，則，反之不成立，正確，對于在單調(diào)遞減，若，則，反之不成立，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了充要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）下列命題中是真命題的有　　A．若函數(shù)在，和上都單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增 B．狄利克雷函數(shù)在任意一個區(qū)間都不單調(diào) C．若函數(shù)是奇函數(shù)，則一定有 D．若函數(shù)是偶函數(shù)，則可能有【分析】反例判斷；利用函數(shù)值判斷單調(diào)性，判斷；反例判斷；特例判斷；【解答】解：對于，反例，所以不正確；對于，在任意區(qū)間上，總可以取，，使得，則在上是不單調(diào)的，所以正確；對于，反例，是反函數(shù)，但是沒有意義，所以不正確；對于，函數(shù)是偶函數(shù)，利用，滿足題意，所以正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，是基本知識的考查．12．（5分）已知，，且，那么下列結(jié)論正確的有　　A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【分析】由已知結(jié)合基本不等式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，解可得，正確，錯誤；因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號，解得，錯誤，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知，則（6）　　．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，直接代入即可得到結(jié)論．【解答】解：由，可得（6），（6），即（6），故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用分段函數(shù)的表達(dá)式直接求解，注意變量的取值范圍．14．（5分）已知函數(shù)，，則（3）　9　．【分析】由函數(shù)，可得函數(shù)是奇函數(shù)．即可得出．【解答】解：函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)．（3），又，（3）．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）某水果店申報(bào)網(wǎng)上銷售水果價格如下：梨子60元盒，桔子65元盒，水蜜桃80元盒，荔枝90元盒，為增加銷量，店主對這四種水果進(jìn)行促銷：一次性購買水果總價達(dá)到120元，顧客就少付元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，店主會得到支付的．①時，顧客一次性購買梨子、水蜜桃各一盒，需要支付　130　元；②在促銷活動中，為保證店主每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折（即，則的最大值是　　．【分析】①由一盒梨子與一盒水蜜桃的價格和減去10得答案；②購買總價剛好為120元時，折扣比例最高，由此列不等式求得的范圍得答案．【解答】解：①由于梨子60元盒，水蜜桃80元盒，顧客一次性購買梨子、水蜜桃各一盒，總價為元，超過120元，則顧客少付元，需要支付元；②由題意可知，購買總價剛好為120元時，折扣比例最高，此時有，解得．的最大值是15元．故答案為：130；15元．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．16．（5分）為定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù)，則不等式的解集為　　．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)?/span>為定義在上的偶函數(shù)，即，所以，所以為偶函數(shù)，因?yàn)?/span>在，上是增函數(shù)，由可得，即，所以，解得．故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用三、解答題：本大題共6小題，共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.17．（10分）已知、是正實(shí)數(shù)，求證：．【分析】利用基本不等式可得，兩式相加，即可證得【解答】證明：、是正實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）兩式相加得即【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在不等式證明中的應(yīng)用．使用基本不等式時一定要把握好“一定，二正，三相等”的原則18．（12分）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．【解答】解：（1）原式，（2）原式．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?/span>，，且不等式的解集為．（1）求的解析式；（2）若對于任意的，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）設(shè)，由題意可得（1），，3為的兩根，可得，，的方程，解方程可得的解析式；（2）由題意可得對，恒成立，令，則，判斷的單調(diào)性，可得最小值，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）設(shè)，由題意可得對稱軸為，且（1），又，3為的兩根，則，，，解得，，，即；（2）對于任意的，，都有恒成立，即為對，恒成立，令，則，當(dāng)，，可得遞減，則的最小值為（2），則．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，以及不等式恒成立問題解法，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（12分）某小區(qū)為了擴(kuò)大綠化面積，規(guī)劃沿著圍墻（足夠長）邊畫出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建花圃，規(guī)定的每條邊長不超過20米．如圖所示，要求矩形區(qū)域用來種花，且點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線，陰影部分為1米寬的種草區(qū)域．設(shè)米，種花區(qū)域的面積為平方米．（1）將表示為的函數(shù)；（2）求的最大值．【分析】（1）由，結(jié)合矩形花圃面積可得，，再由矩形面積公式得，由、大于0求解函數(shù)的定義域；（2）由（1）中求得的的函數(shù)解析式利用基本不等式求最值．【解答】解：（1），，，，，，，解得，；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，的最大值為．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題．21．（12分）已知集合，集合．（1）若，求的取值范圍；（2）在中有且僅有兩個整數(shù)，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)，討論是空集和不是空集，得到關(guān)于的不等式，解出即可；（2）通過討論的范圍，以及滿足中有且僅有兩個整數(shù)的條件下，得到關(guān)于的不等式，解出的范圍即可．【解答】解：（1）若，則，，故，，集合的不等式可化為，①，即△，解得：，符合題意；②，即時，此時，，解得：且，綜上：；（2）集合中有3個整數(shù)0，1，2，，由中有且只有2個整數(shù)，可得中有0，1，2中的2個整數(shù)，即時，，則中整數(shù)僅有0，1或僅有1，2，若僅有0，1，則，，解得：，若僅有1，2，則，，無解，即時，，不滿足題意，即時，，則中整數(shù)僅有0，1或僅有1，2，若僅有0，1，則，，解得：，若僅有1，2，則，，無解，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【點(diǎn)評】本題考查了集合的包含關(guān)系以及集合的交集，并集問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．22．（12分）設(shè)，為大于0的常數(shù)）．（1）若的最小值為4，求的值；（2）用定義證明：在，上是增函數(shù)；（3）在（1）的條件下，當(dāng)時，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）運(yùn)用基本不等式可得的最小值，解方程可得所求值；（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號和下結(jié)論等步驟；（3）原不等式可化為，即恒成立．由基本不等式可得不等式右邊的最小值，可得所求范圍．【解答】解：（1）由，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以，解得；（2）證明：任取，，，設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，，且，所以，即，所以在，上是增函數(shù)；（3）原不等式可化為，即恒成立．因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，以及不等式恒成立問題解法，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算能力，屬于中檔題．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2021/2/23 14:22:39；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號：26722394

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