?2020-2021學年江蘇省南京師大附中高一（下）期末數(shù)學試卷
一、單項選擇題：本大題共8小題。每小題5分，共計40分。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）是虛數(shù)單位，復數(shù)，若，則　　
A． B．1 C．2 D．3
2．（5分）如圖，在直三棱柱中，，，點為的中點，則異面直線與所成的角為　　

A． B． C． D．
3．（5分）已知，是不同的直線，，是不同的平面，若，，，則下列命題中正確的是　　
A． B． C． D．
4．（5分）鈍角三角形的面積是，，，則等于　　
A．1 B．2 C． D．5
5．（5分）如果一個正四面體（各個面都是正三角形）的體積為，則其表面積的值為　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量，，，若，則　　
A． B． C． D．
7．（5分）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為　　

A． B． C． D．
8．（5分）如圖，過圓外一點作圓的切線，，切點分別為，，現(xiàn)將△沿折起到，使點在圓所在平面上的射影為圓心，若三棱錐的體積是圓錐體積的．則　　

A． B． C．或 D．或
二、多項選擇題：本大題共4小題。每小題5分，共計20分。在每小題給出的四個選項中，不止一項是符合題目要求的，每題全選對得5分，都分選對得2分，其他情況不得分。
9．（5分）某家庭將2018年1月至2019年12月期間每月的教育投入（單位，千元）繪制成如圖所示的折線圖，根據(jù)該圖，下列結論正確的是　　

A．2019年的教育總投入要高于2018年的教育總投入
B．2018年與2019年中月教育投入最多的均在8月份
C．2018年與2019年的月教育投入逐月增加
D．2018年與2019年中每年9月至12月的月教育投入變化比較平穩(wěn)，波動性較小
10．（5分）已知復數(shù)為虛數(shù)單位），為的共軛復數(shù)，若復數(shù)，則下列結論正確的有　　
A．在復平面內對應的點位于第二象限
B．
C．的實數(shù)部分為
D．的虛部為
11．（5分）現(xiàn)有分在問一組的三個代表隊參加黨史知識競賽，若對于某個問題3個隊回答正確的概率分別為，，，則關于該問題的回答情況，以下說法中正確的是　　
A．3個隊都正確的概率為
B．3個隊都不正確的概率為
C．出現(xiàn)恰有1個隊正確的概率比出現(xiàn)恰有2個隊正確的概率大
D．出現(xiàn)恰有2個隊正確的概率比出現(xiàn)恰有1個隊正確的概率大
12．（5分）正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點．則　　

A．直線與直線垂直
B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為
D．點和點到平面的距離相等
三、填空題：本大題共4小題5個空，每題5分，共計20分，請把答案填寫在答題卡相應位置上。
13．（5分）下列數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位數(shù)為 　　，90百分位數(shù)為 　?。?br /> 14．（5分）用斜二側法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示等腰直角△．已知點是斜邊的中點，且，則的邊上的高為 　?。?br />
15．（5分）直三棱柱中，若，，，則點到平面的距離為 　?。?br /> 16．（5分）在邊長為的菱形中，，沿對角線折起，使二面角的大小為，這時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為 　　
四、解答題：本大題共6小題。共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）20名學生某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）估計總體中成績落在，中的學生人數(shù)；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)，平均數(shù)；

18．（12分）在中，．
（1）若，的面積為，求；
（2）若，求周長的最大值．
19．（12分）已知平面向量，．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求與的夾角．
20．（12分）如圖，在三棱柱中，，側面為菱形．
（1）求證：平面平面；
（2）如果點，分別為，的中點，求證：平面．

21．（12分）已知在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總人數(shù)．現(xiàn)對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：
題號
1
2
3
4
5
考前預估難度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如下表所示 “”表示答對，“”表示答錯）
題號
學生編號
1
2
3
4
5
1





2





3





4





5





6





7





8





9





10





（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將被抽取的10名學生每道題實測的答對人數(shù)及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數(shù)．
題號
1
2
3
4
5
實測答對人數(shù)





實測難度





（2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率．
（3）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度，2，，．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理．
22．（12分）如圖，圓錐頂點為，底面圓心為，其母線與底面所成的角為，和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．
（1）證明：平面與平面的交線平行于底面；
（2）求二面角的余弦值．


2020-2021學年江蘇省南京師大附中高一（下）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本大題共8小題。每小題5分，共計40分。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）是虛數(shù)單位，復數(shù)，若，則　　
A． B．1 C．2 D．3
【分析】利用復數(shù)模的運算性質即可得出．
【解答】解：復數(shù)，若，則，解得．
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)模的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
2．（5分）如圖，在直三棱柱中，，，點為的中點，則異面直線與所成的角為　　

A． B． C． D．
【分析】取的中點，連，，，，所以異面直線與所成角是，或其補角，在直角三角形中可求得．
【解答】解：取的中點，連，，，
，所以異面直線與所成角是，或其補角
易得平面，，
在直角三角形中，，，
，．
故選：．

【點評】本題考查了異面直線及其所成的角，屬中檔題．
3．（5分）已知，是不同的直線，，是不同的平面，若，，，則下列命題中正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平面與平面之間的位置關系以及空間中直線間的位置關系進行判斷
【解答】解：，，，
、，故本選項不符合題意；
、或，故本選項不符合題意；
、，故本選項符合題意；
、，故本選項不符合題意；
故選：．
【點評】考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．
4．（5分）鈍角三角形的面積是，，，則等于　　
A．1 B．2 C． D．5
【分析】由三角形的面積公式求得角，再由余弦定理求得的值．
【解答】解：由題意，鈍角的面積是
，
，
或（不合題意，舍去）；
，
由余弦定理得：，
解得的值為．
故選：．
【點評】本題考查了三角形的面積公式和余弦定理的應用問題，是基礎題．
5．（5分）如果一個正四面體（各個面都是正三角形）的體積為，則其表面積的值為　　
A． B． C． D．
【分析】先由正四面體的體積為，計算正四面體的棱長，即可計算表面積的值．
【解答】解：設正四面體，棱長為，高為，為底面正三角形外心（重心），
底面正三角形高為，，
，，
，
，
表面積
故選：．
【點評】本題考查正四面體的體積、表面積，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．
6．（5分）已知向量，，，若，則　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，由向量的平行的坐標表示方法可得若，則，變形可得，結合平方關系可得，結合的范圍解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，向量，，
若，則，變形可得，
又由，則有，
變形可得：，
解可得或，
又由，則；
故選：．
【點評】本題考查向量平行的坐標表示，涉及三角函數(shù)的化簡求值，屬于基礎題．
7．（5分）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為　　

A． B． C． D．
【分析】利用，結合已知條件可把求出，由平面向量基本定理，都可用已知向量，表示，可求數(shù)量積．
【解答】解：，，
，，即，又，
則，，，，
則，
故選：．

【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查向量的幾何意義，共線以及計算，考查計算能力．
8．（5分）如圖，過圓外一點作圓的切線，，切點分別為，，現(xiàn)將△沿折起到，使點在圓所在平面上的射影為圓心，若三棱錐的體積是圓錐體積的．則　　

A． B． C．或 D．或
【分析】設，把棱錐的體積用含有角的三角函數(shù)表示，然后由棱錐與圓錐的體積比求得，則答案可求．
【解答】解：設，則，
可得，或，
當時，在底面上的射影不可能為，舍去，
則，
故選：．
【點評】本題考查棱錐與圓錐體積的應用，考查運算求解能力，是基礎題．
二、多項選擇題：本大題共4小題。每小題5分，共計20分。在每小題給出的四個選項中，不止一項是符合題目要求的，每題全選對得5分，都分選對得2分，其他情況不得分。
9．（5分）某家庭將2018年1月至2019年12月期間每月的教育投入（單位，千元）繪制成如圖所示的折線圖，根據(jù)該圖，下列結論正確的是　　

A．2019年的教育總投入要高于2018年的教育總投入
B．2018年與2019年中月教育投入最多的均在8月份
C．2018年與2019年的月教育投入逐月增加
D．2018年與2019年中每年9月至12月的月教育投入變化比較平穩(wěn)，波動性較小
【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，對四個選項逐一分析判斷即可．
【解答】解：由折線圖可知，2019年的教育總投入要高于2018年的教育總投入，故選項正確；
在每年的8月份，月教育投入均達到高峰，故選項正確；
2018年2月與3月，8月到9月的月教育投入均減少了，故選項錯誤；
由折線圖可知，每年9月至12月的月教育投入變化比較平穩(wěn)，波動性較小，故選項正確．
故選：．
【點評】本題考查了折線圖的應用，讀懂統(tǒng)計圖并能從統(tǒng)計圖得到必要的信息是解決問題的關鍵，屬于基礎題．
10．（5分）已知復數(shù)為虛數(shù)單位），為的共軛復數(shù)，若復數(shù)，則下列結論正確的有　　
A．在復平面內對應的點位于第二象限
B．
C．的實數(shù)部分為
D．的虛部為
【分析】先根據(jù)條件求出；再結合其定義以及幾何意義即可求得答案．
【解答】解：因為復數(shù)為虛數(shù)單位），為的共軛復數(shù)，
則復數(shù)；
故對應的點為，；
；
且的實部為：，虛部為：；
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)的實部與虛部的簡單應用，復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是中檔題．
11．（5分）現(xiàn)有分在問一組的三個代表隊參加黨史知識競賽，若對于某個問題3個隊回答正確的概率分別為，，，則關于該問題的回答情況，以下說法中正確的是　　
A．3個隊都正確的概率為
B．3個隊都不正確的概率為
C．出現(xiàn)恰有1個隊正確的概率比出現(xiàn)恰有2個隊正確的概率大
D．出現(xiàn)恰有2個隊正確的概率比出現(xiàn)恰有1個隊正確的概率大
【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式分別求出概率即可判斷．
【解答】解：對于個隊都正確的概率，正確，
對于個隊都不正確的概率，正確，
對于（恰有1個隊正確），
（恰有2個隊正確），正確，錯誤．
故選：．
【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式的應用，是中檔題．
12．（5分）正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點．則　　

A．直線與直線垂直
B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為
D．點和點到平面的距離相等
【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．
【解答】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系
則，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，
對于，，0，，，2，，
，直線與直線不垂直，故錯誤；
對于，，2，，，2，，，2，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
，平面，
直線與平面平行，故正確；
對于，連接，，，分別是，的中點，
面截正方體所得的截面為梯形，
面截正方體所得的截面面積為：
，故正確；
對于，由知平面的法向量，1，，
點到平面的距離，
點到平面的距離，
點和點到平面的距離相等，故正確．
故選：．

【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是中檔題．
三、填空題：本大題共4小題5個空，每題5分，共計20分，請把答案填寫在答題卡相應位置上。
13．（5分）下列數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位數(shù)為 　3　，90百分位數(shù)為 　?。?br /> 【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出該組數(shù)據(jù)的下四百分位數(shù)和90百分位數(shù)．
【解答】解：因為，
，
所以數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位數(shù)為3，
90百分位數(shù)為．
故答案為：3；9.5．
【點評】本題考查了百分位數(shù)的定義與應用問題，是基礎題．
14．（5分）用斜二側法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示等腰直角△．已知點是斜邊的中點，且，則的邊上的高為 　?。?br />
【分析】根據(jù)直觀圖是等腰直角△，求出的值，再根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則求出的高．
【解答】解：因為直觀圖是等腰直角△，，，
所以；
根據(jù)直觀圖平行于軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br /> 所以的高為．
故答案為：．
【點評】本題考查了平面圖形的直觀圖與原圖形的關系應用問題，是基礎題．
15．（5分）直三棱柱中，若，，，則點到平面的距離為 　　．
【分析】由已知可以證明平面平面，通過面面垂直的性質定理，過點作，則的長即為點到平面的距離，利用幾何知識求解即可．
【解答】解：因為為直三棱柱
所以有，，
所以平面，
又因為平面，平面平面，
所以過點作，則的長即為點到平面的距離，
在△中，，
所以點到平面的距離為．
故答案為：．

【點評】本題考查了點到面的距離，一般的方法是通過幾何作圖，直接求出點到面的距離，另一種方法是利用等體積法進行求解．
16．（5分）在邊長為的菱形中，，沿對角線折起，使二面角的大小為，這時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為 　　
【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．
【解答】解：如圖所示，，，
，，
設，則
，，
由勾股定理可得，
，
四面體的外接球的表面積為，
故答案為：．

【點評】本題考查四面體的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出四面體的外接球的半徑是關鍵，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題．
四、解答題：本大題共6小題。共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）20名學生某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）估計總體中成績落在，中的學生人數(shù)；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)，平均數(shù)；

【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程能求出．
（2）由頻率分布直方圖得成績落在，中的頻率為0.1，由此能估計總體中成績落在，中的學生人數(shù)．
（3）根據(jù)頻率分布直方圖能估計20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)和平均數(shù)．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得．
（2）由頻率分布直方圖得成績落在，中的頻率為，
估計總體中成績落在，中的學生人數(shù)為：
人．
（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為：，
平均數(shù)為：．
【點評】本題考查頻率、頻數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是基礎題．
18．（12分）在中，．
（1）若，的面積為，求；
（2）若，求周長的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結合三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，推出，由，可得的值，最后由余弦定理，得解；
（2）結合余弦定理和基本不等式，可得，從而得解．
【解答】解：（1）由正弦定理知，，
，
，即，
，
，
，，
，，
，，
由余弦定理知，，
．
（2）由余弦定理知，，
，
，當且僅當時，取等，
周長的最大值為．
【點評】本題主要考查解三角形，還涉及利用基本不等式解決最值問題，熟練掌握正弦定理、余弦定理是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
19．（12分）已知平面向量，．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求與的夾角．
【分析】（1）對的兩邊平方進行數(shù)量積的運算即可得出，然后代入坐標即可求出的值；
（2）時，可得出和的坐標，可設和的夾角為，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出的值，進而可得出的值．
【解答】解：（1），，
，
，，解得；
（2）時，，，，
設與的夾角為，則，且，，
．
【點評】本題考查了向量數(shù)量積的運算，向量坐標的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運算，向量夾角的余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎題．
20．（12分）如圖，在三棱柱中，，側面為菱形．
（1）求證：平面平面；
（2）如果點，分別為，的中點，求證：平面．

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面平面；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可．
【解答】解：（1）因三棱柱的側面為菱形，
故．分
又，且，為平面內的兩條相交直線，
故平面．分
因平面，
故平面平面．分
（2）如圖，取的中點，連，．
又為的中點，故，．
因平面，平面，
故面．分
同理，面．
因，為平面內的兩條相交直線，
故平面面．分
因平面，
故面．分．

【點評】本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定，利用相應的判定定理是解決本題的關鍵．
21．（12分）已知在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總人數(shù)．現(xiàn)對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：
題號
1
2
3
4
5
考前預估難度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如下表所示 “”表示答對，“”表示答錯）
題號
學生編號
1
2
3
4
5
1





2





3





4





5





6





7





8





9





10





（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將被抽取的10名學生每道題實測的答對人數(shù)及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數(shù)．
題號
1
2
3
4
5
實測答對人數(shù)





實測難度





（2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率．
（3）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度，2，，．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理．
【分析】（1）每道題實測的答對人數(shù)及相應的實測難度列表統(tǒng)計，能估計120人中答對第5題的人數(shù)．
（2）記編號為的學生為，，2，3，4，，從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)，恰好有1人答對第5題包含的基本事件有6個，由此能求出恰好有1人答對第5題的概率．
（3）求出，由，得到該次測試的難度預估合理．
【解答】解：（1）每道題實測的答對人數(shù)及相應的實測難度如下表：
題號
1
2
3
4
5
實測答對人數(shù)
8
8
8
7
2
實測難度
0.8
0.8
0.8
0.7
0.2
估計120人中有人答對第5題．
（2）記編號為的學生為，，2，3，4，，
從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)，
恰好有1人答對第5題包含的基本事件有6個，分別為：
，，，，，，，，，，，，
恰好有1人答對第5題的概率．
（3）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，
為第題的預估難度，2，，．
，
，該次測試的難度預估合理．
【點評】本題考查頻數(shù)、概率、預估難度的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
22．（12分）如圖，圓錐頂點為，底面圓心為，其母線與底面所成的角為，和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．
（1）證明：平面與平面的交線平行于底面；
（2）求二面角的余弦值．

【分析】（1）設平面與平面的交線為，證明平面，推出，然后證明與底面平行；
（2）說明二面角為，設的中點為，連接，，為與平面所成的角，通過求解三角形推出結果即可．
【解答】（1）證明：設平面與平面的交線為，
，平面，平面，
面，平面與平面的交線為，，
在底面上，在底面外，
與底面平行；
（2）因為，，所以二面角為，
設的中點為，連接，，
由圓的性質，，，
底面，底面，，
，
平面，
平面，
平面平面，
直線在平面上的射影為直線，
為與平面所成的角，
由題設，設，則，
，，
，
，
，
在中，，
．

【點評】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:43:28；用戶：高中數(shù)學12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學號：26722394

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