?2018北京海淀高一（下）期中
數(shù) 學(xué) 2018.4
學(xué)校 班級(jí) 姓名 成績
一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（4分）sin18°cos12°+cos18°sin12°＝（　?。?br /> A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（4分）在△ABC中，已知a＝3，b＝4，，則sinA＝（　?。?br /> A． B． C． D．1
3．（4分）函數(shù)f（x）＝sinxcosx的最大值為（　　）
A．1 B． C． D．
4．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為（　?。?br />
A．3 B．6 C． D．12
5．（4分）如圖，飛機(jī)飛行的航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測得目標(biāo)C的俯角為30°，飛行10千米到達(dá)B處，測得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)B處與地面目標(biāo)C的距離為（　　）

A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
6．（4分）如圖1，直線EF將矩形紙ABCD分為兩個(gè)直角梯形ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面說法正確的是（　?。?br />
A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE
B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE
C．在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立
D．在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF恒成立
7．（4分）在△ABC中，A＜B＜C，則下列結(jié)論中不正確的是（　?。?br /> A．sinA＜sinC B．cosA＞cosC C．tanA＜tanB D．cosB＜cosC
8．（4分）在△ABC中，若AC＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（　?。?br /> A．存在點(diǎn)D使得△BCD為等邊三角形
B．存在點(diǎn)D使得
C．存在點(diǎn)D使得
D．存在點(diǎn)D使得CD＝1
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.
9．（4分）計(jì)算：cos215°﹣sin215°＝　 ?。?br /> 10．（4分）已知，則tanα的值為　 ?。?br /> 11．（4分）已知正四棱柱底面邊長為1，高為2，則其外接球的表面積為　 ?。?br /> 12．（4分）在△ABC中，已知A＝60°，，b＝3，則c＝　 　．
13．（4分）若α，β均為銳角，且滿足，，則sinβ的值是　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，棱長為的正方體ABCD﹣A1B1C1D1繞其體對(duì)角線BD1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（θ＞0），若旋轉(zhuǎn)后三棱錐D1﹣DC1A1與其自身重合，則θ的最小值是　 ??；三棱錐D1﹣DC1A1在此旋轉(zhuǎn)過程中所成幾何體的體積為　 ?。?br />
三、解答題：本大題共4小題，每小題11分，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（11分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值．




16．（11分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2AD，∠ACD＝45°，∠BCD＝90°．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，求BC的長．

17．（11分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形，AC⊥CB，側(cè)面B1BCC1⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，C1D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面B1BCC1；
（Ⅱ）求證：EF⊥AC；
（Ⅲ）在線段EF上是否存在點(diǎn)G，使得AC⊥平面C1D1G？并說明理由．

18．（11分）正四棱錐S﹣ABCD的展開圖如圖所示，側(cè)棱SA長為1，記∠ASB＝α，其表面積記為f（α），體積記為g（α）．
（Ⅰ）求f（α）的解析式，并直接寫出α的取值范圍；
（Ⅱ）求，并將其化簡為的形式，其中a，b，c為常數(shù)；
（Ⅲ）試判斷是否存在最大值，最小值？（寫出結(jié)論即可）

參考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．【分析】根據(jù)題意和兩角和的正弦函數(shù)化簡，由特殊角的三角函數(shù)值求值．
【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°
＝sin（18°+12°）＝sin30°＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和的正弦函數(shù)，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
2．【分析】利用正弦定理，即可求得sinA的值．
【解答】解：△ABC中，a＝3，b＝4，，
由正弦定理得，＝，
則sinA＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
3．【分析】由二倍角公式可得函數(shù)y＝sinxcosx＝sin2x≤．
【解答】解：由于函數(shù)y＝sinxcosx＝sin2x，而sin2x的最大值等于1，故函數(shù)y的最大值等于，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式，正弦函數(shù)的值域，是一道基礎(chǔ)題．
4．【分析】由幾何體的三視圖得出原幾何體一個(gè)底面為正方形的正四棱柱，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．
【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為正方形的直四棱柱，
正四棱柱的底面正方形的對(duì)角線長為2，高是3；
所以，底面正方形的邊長為：，
該長方體的體積為：＝6．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由幾何體的三視圖求表面積的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力和邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．
5．【分析】由題意，利用正弦定理即可求得BC的值．
【解答】解：由題意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
由正弦定理得＝，
解得BC＝＝5．
∴B處與地面目標(biāo)C的距離為5千米．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用正弦定理解答實(shí)際應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
6．【分析】在A中，CD與EF相交，從而CD與平面ABFE相交；在B中，DE與EF不垂直，從而不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE；在C中，DE∥CF，從而在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立；在D中，BF與FE不垂直，在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF不一定成立．
【解答】解：在A中，∵四邊形DEFC是梯形，DE∥CF，∴CD與EF相交，
∴CD與平面ABFE相交，故A錯(cuò)誤；
在B中，∵四邊形DEFC是梯形，DE⊥CD，
∴DE與EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B錯(cuò)誤；
在C中，∵四邊形DEFC是梯形，DE∥CF，CF?平面ADE，DE?平面ADE，
∴在翻折的過程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正確；
在D中，∵四邊形ABFE是梯形，AB⊥BF，
∴BF與FE不垂直，在翻折的過程中，BF⊥平面CDEF不一定成立，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．
7．【分析】利用三角形中大角對(duì)大邊可得a＜c，再利用特殊值判斷可得結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC中，A＜B＜C，利用大角對(duì)大邊，可得a＜c．
不妨C為鈍角，則B是銳角，cosB＞0，cosC＜0，
所以cosB＜cosC不成立．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中大角對(duì)大邊，特殊值判斷法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．【分析】運(yùn)用三角形的正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理、邊角關(guān)系，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)一一判斷，即可得到結(jié)論．
【解答】解：若△BCD為邊長為x的等邊三角形，可得
＝解得x＝＜2，
滿足AC＞CD，則A成立；
cos∠CDA＝＜＝cos60°，
且0°＜∠CDA＜180°，
可得∠CDA＞B，
AB上存在點(diǎn)D，則B成立；
，可得＝＝，
可得sin∠BCD＝，即有∠BCD＝45°＜∠BCA＝75°，
則C成立；
若CD＝1，在△ACD中可得＝，
可得sin∠ADC＝＝＞1，∠ADC不存在，
則D不成立．
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正弦定理和內(nèi)角和定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.
9．【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°＝cos30°，從而得到結(jié)果．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，
cos215°﹣sin215°＝cos30°＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
10．【分析】由題意利用二倍角的正切公式，求得tanα的值．
【解答】解：∵已知，則tanα＝＝＝﹣，
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
11．【分析】通過正四棱柱的對(duì)角線就是外接球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．
【解答】解：正四棱柱的底面邊長為2，高為3，則該正四棱柱的外接球的直徑，就是正四棱柱的對(duì)角線的長，
所以球的直徑為：＝，
所以球的表面積為：4π（ ）2＝6π．
故答案為：6π．
【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體的特征與球的關(guān)系，考查計(jì)算能力、空間想象能力．
12．【分析】利用余弦定理列方程求得c的值，再驗(yàn)證c的值是否滿足題意即可．
【解答】解：△ABC中，A＝60°，，b＝3，
則a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴7＝9+c2﹣3c，
解得c＝1或c＝2；
經(jīng)驗(yàn)證，c＝1或c＝2都滿足題意，
∴c的值為1或2．
故答案為：1或2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
13．【分析】由已知及角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，sin（α+β）的值，利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可化簡求值．
【解答】解：∵銳角α、β滿足cosα＝，cos（α+β）＝，
∴sinα＝＝，
∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14．【分析】連接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方體體對(duì)角線BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，旋轉(zhuǎn)后三棱錐D1﹣DC1A1與其自身重合，即等邊三角形A1DC1 旋轉(zhuǎn)后與自身重合，也就是A1旋轉(zhuǎn)到D，此時(shí)θ的最小值是；由正方體棱長求出體對(duì)角線長，再求出三角形A1DC1 的外接圓的半徑，由圓錐體積公式求解．
【解答】解：如圖，連接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，
可得正方體體對(duì)角線BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，
若是旋轉(zhuǎn)后三棱錐D1﹣DC1A1與其自身重合，
則等邊三角形A1DC1 旋轉(zhuǎn)后與自身重合，即A1旋轉(zhuǎn)到D，此時(shí)θ的最小值是；
由正方體棱長為，可得，
則D1 到平面A1DC1 的高為，
等邊三角形A1DC1 的邊長為2，則外接圓的半徑為2，
∴三棱錐D1﹣DC1A1在此旋轉(zhuǎn)過程中所成幾何體為圓錐，其體積為．
故答案為：；．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．
三、解答題：本大題共4小題，每小題11分，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，可得該函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1
＝2sinxcosx﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的最小正周期為＝π；
（Ⅱ）在區(qū)間上，2x+∈[0，π]，故當(dāng)2x+＝時(shí)，f（x）取得最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最小正周期、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．
16．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得AC＝AD?sin∠ADC，在△BCD中，由∠BCD＝90°．可得BC＝BD?sin∠BDC，由∠BDC+∠ADC＝π，BD＝2AD，即可代入證明．
（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝135°，BC＝AC，由余弦定理即可解得BC的值．
【解答】（本題滿分為11分）
解：（Ⅰ）在△ACD中，∠ACD＝45°，
由正弦定理可得：＝，…2分
可得：AC＝＝＝AD?sin∠ADC，…3分
在△BCD中，∠BCD＝90°．
則BC＝BD?sin∠BDC，…6分
由于：∠BDC+∠ADC＝π，BD＝2AD，
所以：BC＝BD?sin∠BDC＝2AD?sin∠ADC＝AC，…7分
即：BC＝AC．
（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝135°，BC＝AC，
由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BCcos∠ACB，…9分
即：5＝AC2+（AC）2﹣2AC×（﹣）＝5AC2，…10分
因?yàn)锳C＞0，
所以：AC＝1，BC＝…11分
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
17．【分析】（Ⅰ）法一：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM、BM推導(dǎo)出四邊形FMBE是平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面B1BCC1．
法二：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)FM、EM，推導(dǎo)出EM∥CB，從而平面EFM∥平面B1BCC1，由此能證明EF∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AC⊥平面B1BCC1，從而AC⊥BM，由此能證明EF⊥AC．
（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得AC⊥平面C1D1G，假設(shè)AC⊥C1D1，推導(dǎo)出AC⊥C1D1，與已知矛盾，從而在線段EF上不存在點(diǎn)G，使得AC⊥平面C1D1G．
【解答】證明：（Ⅰ）解法一：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM、BM，
在△CC1D中，∵F，M分別為C1D、C1C中點(diǎn)，∴FM∥CD，F(xiàn)M＝CD，
在平行四邊形ABCD中，∴CD∥AB，E為AB中點(diǎn)，
∴FM∥EB，F(xiàn)M＝，
在平行四邊形ABCD中，∵CD∥AB，E為AB中點(diǎn)，
∴FM∥EB，F(xiàn)M＝EB，
∴四邊形FMBE是平行四邊形，∴EF∥BM，
∵BM?平面B1BCC1，EF?平面B1BCC1，
∴EF∥平面B1BCC1．
解法二：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)FM、EM，
在△CC1D中，∵F，M分別是C1D，CD中點(diǎn)，
∴EM∥CB，
又∵EM∩FM＝M，EM，F(xiàn)E?平面EFM，CC1，CB?平面B1BCC1，
∴平面EFM∥平面B1BCC1，
又∵EF?平面EFM，∴EF∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）∵平面B1BCC1⊥平面ABCD，面B1BCC1∩平面ABCD＝BC，
AC⊥BC，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面B1BCC1，
∵BM?平面B1BCC1，∴AC⊥BM，
又∵EF∥BM，∴EF⊥AC．
解：（Ⅲ）在線段EF上不存在點(diǎn)P，使得AC⊥平面C1D1G．
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得AC⊥平面C1D1G，
∵C1D1?平面C1D1G，∴AC⊥C1D1，
與已知AC與C1D1不垂直矛盾，
∴在線段EF上不存在點(diǎn)G，使得AC⊥平面C1D1G．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．
18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)四棱錐的表面積公式進(jìn)行求解即可；
（Ⅱ）求出的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡即可；
（Ⅲ）根據(jù)的表達(dá)式，直接進(jìn)行判斷最值即可．
【解答】解：（I ）因?yàn)檎睦忮FS﹣ABCD中，SA＝SB＝1，∠ASB＝α，
所以f（α）＝4S△SAB+S底ABCD＝4×SA?SBsin∠ASB+AB2
＝2sinα+SA2+SB2﹣2SA?SB﹣cos∠ASB
＝2sinα+2﹣2cosα，其中α∈（0，），
（Ⅱ）設(shè)正方形ABCD的中心為O，則OA2＝AB2＝（2﹣2cosα）＝1﹣cosα，
則在Rt△SOA中，SO2＝SA2﹣OA2＝cosα，
則g（α）＝S正方形ABCD?SO＝（2﹣2cosα），
則＝?＝，
則（）2＝＝?＝，
則＝，（0＜α＜）
（Ⅲ）有最大值，無最小值．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解，以及三角函數(shù)的化簡，利用三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．

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