2021北京海淀高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（4分）若角的終邊經(jīng)過點，則　　A． B． C． D．2．（4分）已知向量，則　　A．3 B． C．5 D．3．（4分）　　A． B． C． D．4．（4分）在中，為鈍角，則點，　　A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限5．（4分）下列函數(shù)中，周期為且在區(qū)間，上單調(diào)遞增的是　　A． B． C． D．6．（4分）對函數(shù)的圖象分別作以下變換：①向左平移個單位，再將每個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變）；②向左平移個單位，再將每個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變）③將每個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位④將每個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位其中能得到函數(shù)的圖象的是　　A．①③ B．②③ C．①④ D．②④7．（4分）如圖，已知向量，，，，的起點相同，則　　A． B． C． D．8．（4分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為　　A．2 B．1 C． D．9．（4分）“”是“”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）已知函數(shù)．是的圖象上一點，若在的圖象上存在不同的兩點，，使得成立，其中是坐標(biāo)原點，則這樣的點　　A．有且僅有1個 B．有且僅有2個 C．有且僅有3個 D．可以有無數(shù)個二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上。11．（4分）已知向量，，則　　．12．（4分）已知，則　　．13．（4分）在中，點滿足，若，則　　．14．（4分）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且對任意實數(shù)均有成立，則　　．15．（4分）聲音是由物體振動而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)（空氣、固體或液體）傳播并能被人的聽覺器官所感知的波動現(xiàn)象．在現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要把兩個不同的聲波進(jìn)行合成，這種技術(shù)被廣泛運用在樂器的調(diào)音和耳機(jī)的主動降噪技術(shù)方面．（1）若甲聲波的數(shù)學(xué)模型為，乙聲波的數(shù)學(xué)模型為，甲、乙聲波合成后的數(shù)學(xué)模型為．要使恒成立，則的最小值為；（2）技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為，其部分圖象如圖所示，對該聲波進(jìn)行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由，兩種不同的聲波合成得到的，，的數(shù)學(xué)模型分別記為和，滿足．已知，兩種聲波的數(shù)學(xué)模型源自于下列四個函數(shù)中的兩個．①；②；③；④．則，兩種聲波的數(shù)學(xué)模型分別是　　．（填寫序號）三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（9分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的定義域；（Ⅱ）若，且，求的值．17．（9分）已知點，，，是線段的中點．（Ⅰ）求點和的坐標(biāo)；（Ⅱ）若是軸上一點，且滿足，求點的坐標(biāo)．18．（11分）已知函數(shù)．（Ⅰ）某同學(xué)利用五點法畫函數(shù)在區(qū)間上的圖象．他列出表格，并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，請你幫他把表格填寫完整，并在坐標(biāo)系中畫出圖象； 0 020 0（Ⅱ）已知函數(shù)．（ⅰ）若函數(shù)的最小正周期為，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（ⅱ）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍（直接寫出結(jié)論）．19．（11分）若定義域的函數(shù)滿足：①，，，②，，．則稱函數(shù)滿足性質(zhì)．（Ⅰ）判斷函數(shù)與是否滿足性質(zhì)，若滿足，求出的值；（Ⅱ）若函數(shù)滿足性質(zhì)（2），判斷是否存在實數(shù)，使得對任意，都有，并說明理由；（Ⅲ）若函數(shù)滿足性質(zhì)（4），且．對任意的，都有，求函數(shù)的值域．
參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：角的終邊經(jīng)過點，，故選：．【點評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)結(jié)合向量的模的計算公式，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，則，即，故選：．【點評】本題考查向量模的計算，關(guān)鍵是理解向量的坐標(biāo)以及向量模的定義．3．【分析】根據(jù)向量的減法的運算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：因為：，故選：．【點評】本題主要考查平面向量的基本運算，比較基礎(chǔ)．4．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與三角函數(shù)值的符號法則，判斷即可．【解答】解：中，為鈍角，所以為銳角，所以，，所以點在第二象限內(nèi)．故選：．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理與三角函數(shù)值符號的判斷問題，是基礎(chǔ)題．5．【分析】利用三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可求解．【解答】解：對于，的周期為，在區(qū)間，單調(diào)遞增函數(shù)，所以正確；對于，的周期為，在區(qū)間，不是單調(diào)函數(shù)，所以不正確；對于，的周期為，所以不正確；對于，的周期為，所以不正確；故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期性以及單調(diào)性的判斷，是基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)三角函數(shù)沿軸的平移變換和伸縮變換，看哪個變換可由得到即可．【解答】解：①；②；③；④．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)沿軸方向的平移變換和伸縮變換，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】利用平面向量的基本定理，推出結(jié)果即可．【解答】解：如圖，已知向量，，，，的起點相同，則．故選：．【點評】本題考查向量的基本定理的應(yīng)用，向量的加減運算，是基礎(chǔ)題．8．【分析】由點在函數(shù)的圖象上可求，結(jié)合范圍，可得，又點在函數(shù)的圖象上，有，可得，或，，從而解得的值．【解答】解：點在函數(shù)的圖象上，即有，，，可得：，又點在函數(shù)的圖象上，即有，，可得，或，，解得，或，，則當(dāng)時，的值為．故選：．【點評】本題考查由的部分圖象確定其解析式，理解三角函數(shù)圖象的特征是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】，可得，．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：，，．化為：，，或，， “ “是“， “的必要不充分條件．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)方程的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】先由已知可得為，的中點，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性即可做出判斷．【解答】解：因為，則，所以為的中點，因為函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，所以當(dāng)的坐標(biāo)為時，取關(guān)于點對稱的點，符合題意，，在兩側(cè)時，中點也要在函數(shù)上，只能是，，在同側(cè)時，相當(dāng)于，，所在的直線與在一側(cè)有3個交點，不可能成立，故滿足條件的只有一個，故選：．【點評】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的對稱性，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上。11．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出的坐標(biāo)即可．【解答】解：，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，考查對應(yīng)思想，是基礎(chǔ)題．12．【分析】對已知等式分子分母同時除以，即可求出的值．【解答】解：，，，，故答案為：2．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，是基礎(chǔ)題．13．【分析】利用已知條件畫出圖形，利用平面向量的基本定理，求解，即可．【解答】解：在中，點滿足，若，如圖，可知，所以，，則．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出，再根據(jù)五點法作圖，可得的值．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且對任意實數(shù)均有成立，，．且是的最大值點，是函數(shù)的最小值點，由五點法作圖可得，，故答案為：．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．15．【分析】（1）由函數(shù)的解析式以及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可解出；（2）由函數(shù)圖象分析可知至少有一個數(shù)學(xué)模型的振幅大于等于2，由此可知④是必選，再利用函數(shù)圖象及其周期性可作出判斷．【解答】解：（1）由題意可知，又，，（2）當(dāng)時，，，，，由圖象可知（1），排出①，由圖象可知，波峰波谷是不一樣波動的，且有三種不同的波峰，則說明，的周期不同，而③④的周期相同，一定包含②，若②④組合，當(dāng)時，，與圖象不符，排除④，只能是②③．故答案為：，②③．【點評】本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，分析問題能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．【分析】（Ⅰ）由即可求出的定義域．（Ⅱ）先化簡函數(shù)的解析式，再代入，得到，在根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系和角的范圍求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，的定義域為，．（Ⅱ），，，又，，．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形及化簡，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量的運算性質(zhì)計算即可；（Ⅱ）根據(jù)向量的線性運算計算即可．【解答】解：（Ⅰ），，是線段的中點，，，，，，，；（Ⅱ）設(shè)，則，，，，解得：，點的坐標(biāo)是．【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，考查平行向量，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及五點作圖法即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求，利用正弦函數(shù)的周期公式可求，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（ⅱ）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（Ⅰ）表格如下： 00200圖像如下：（Ⅱ）已知函數(shù)．（ⅰ），．，函數(shù)的最小正周期為，解得，，令，，解得，，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，，；（ⅱ）的取值范圍為．【點評】本題主要考查了五點法作函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）利用定義分別判斷即可求解得結(jié)論；（Ⅱ）由②計算可得，即，令即可求得的值；（Ⅲ）根據(jù)已知可得任意的，，，遞推可得任意的，，，有，由，可得，，分，兩種情況分別求出的值域即可得解．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)為增函數(shù)，滿足性質(zhì)①，對于②，由，有，所以，，所以函數(shù)滿足性質(zhì)．函數(shù)顯然不滿足①，所以不滿足性質(zhì)．（Ⅱ）存在，理由如下：由，．可得，即，令，得．（Ⅲ）依題意，對任意的，都有，所以，因為函數(shù)滿足性質(zhì)（4），由①可得，在區(qū)間，上有，又因為，所以，可得任意，，，又因為對任意的，都有，所以任意的，，，遞推可得任意的，，，有，函數(shù)，因為，所以，，由②及，可得（2），所以當(dāng)時，（2），當(dāng)時，，所以，即時，，所以當(dāng)，，，時，，當(dāng)時，，，（當(dāng)時，，需要排除），此時隨的增大而減小，所以，，，所以求值域，只需取，得，，，當(dāng)時，，，，此時隨的增大而減小，所以，，，只需取，得，，．綜上，函數(shù)的值域為，．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查新定義，函數(shù)值域的求法，考查邏輯推理與運算求解能力，屬于難題．

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