2021北京豐臺(tái)高一（下）期中數(shù)    學(xué)（B）一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.）1．（4分）復(fù)數(shù)的虛部為　　A．2 B． C．1 D．2．（4分）已知點(diǎn)，，則　　A． B． C． D．3．（4分）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象　　A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度4．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（4分）已知，且，那么等于　　A． B．3 C． D．26．（4分）如圖，在的方格中，已知向量，，的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)，且滿足向量，那么　　A．0 B． C．1 D．27．（4分）已知，，，是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是　　A． B． C． D．
9．（4分）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，則是　　)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形10．（4分）如圖，飛機(jī)飛行的航線和地面目標(biāo)在同一鉛直平面內(nèi)，在處測(cè)得目標(biāo)的俯角為，飛行10千米到達(dá)處，測(cè)得目標(biāo)的俯角為，這時(shí)處與地面目標(biāo)的距離為　　A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米二、填空題（每題4分，共24分）11．（4分）如圖，在中，是上一點(diǎn)，則　　．12．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則復(fù)數(shù)　　．13．（4分）若，，，且、、三點(diǎn)共線，則　　．14．（4分）在中，已知，，，則　　．15．（4分）已知，，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為　　．16．（4分）已知函數(shù)給出下列三個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；③的值域是，．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是　　．
三、解答題（共4小題，共36分.）17．（9分）已知向量與，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)，的夾角為，求的值；（Ⅲ）若向量與互相平行，求的值． 18．（9分）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面積． 19．（9分）已知平面向量，，，，且與的夾角為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若與垂直，求的值． 20．（9分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2021北京豐臺(tái)高一（下）期中數(shù)學(xué)（B）參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.）1．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)的虛部為1．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，求出即可．【解答】解：點(diǎn)，，則，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3．【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：只要將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】按多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則展開(kāi)，化簡(jiǎn)為的形式，即可確定復(fù)數(shù)所在象限．【解答】解：，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查．5．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和和角公式的運(yùn)用求出結(jié)果．【解答】解：已知，且，所以，則，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，和角公式的運(yùn)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．6．【分析】可作單位向量，，從而可用單位向量，表示向量，，，根據(jù)平面向量基本定理可得出關(guān)于，的方程組，解出，的值，從而計(jì)算．【解答】解：如圖所示，作單位向量，，則：，，；，又，，，解得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】該題考查平面向量的基本定理，利用實(shí)數(shù)，的唯一性解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型．7．【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的定義即可判斷．【解答】解：由可不一定推出四邊形為平行四邊形，但由四邊形為平行四邊形一定可得，故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要而不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)共線定理，平行四邊形的判定定理，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：在區(qū)間上，，沒(méi)有單調(diào)性，故排除．在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，故排除．在區(qū)間上，單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故正確；根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，可排除．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】把已知的等式利用正弦定理化簡(jiǎn)后，移項(xiàng)整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，由和都為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得到，根據(jù)等角對(duì)等邊可得此三角形為等腰三角形．【解答】解：，即，，變形得：，整理得：，又和都為三角形的內(nèi)角，，即，則為等腰三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有：正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等腰三角形的判定，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．10．【分析】由題意，利用正弦定理即可求得的值．【解答】解：由題意知，在中，，，，由正弦定理得，解得．處與地面目標(biāo)的距離為千米．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用正弦定理解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．二、填空題（每題4分，共24分）11．【分析】由題意利用兩個(gè)向量的加減法法則，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的加減法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫(xiě)出復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)．【解答】解：復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以復(fù)數(shù)，它的共軛復(fù)數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．13．【分析】【方法一】由、、三點(diǎn)共線，得與共線；利用向量的知識(shí)求出的值；【方法二】由、、三點(diǎn)共線，得；利用直線的斜率求出的值．【解答】解：【方法一】、、三點(diǎn)共線，與共線；，，，，，，，解得；【方法二】、、三點(diǎn)共線，；，，，解得；故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三點(diǎn)共線的判定問(wèn)題，利用向量的知識(shí)比較容易解答，利用斜率相等也可以解答．14．【分析】可求出，然后根據(jù)正弦定理可得出，根據(jù)可求出的值，從而可求出的值．【解答】解：在中，，，，且，根據(jù)正弦定理得：，且，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和的正弦公式，正弦定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由向量投影的定義和向量共線定理，可得所求向量．【解答】解：向量在向量方向上的投影為，由于向量在向量方向上的投影向量與共線，可得所求向量為，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量的求法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性判斷①；求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷②；函數(shù)的值域判斷③．【解答】解：函數(shù)，①是非奇非偶函數(shù)，所以①不正確；②，可得，，，所以函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；所以②正確；③函數(shù)，的值域是，，正確；正確結(jié)論的序號(hào)是：②③．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．三、解答題（共4小題，共36分.）17．【分析】結(jié)合向量減法的坐標(biāo)表示即可求解；結(jié)合向量夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解；結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，，所以；（Ⅱ），，，由題意可得，，整理可得，，解可得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量夾角公式及平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．18．【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．（Ⅱ）利用和角公式和三角形的面積公式求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）在中，已知，，所以．利用正弦定理，整理得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理和三角形的面積，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)平面向量數(shù)量積計(jì)算公式求解；（Ⅱ）先求出，再開(kāi)方即可得；（Ⅲ）根據(jù)向量垂直的充要條件得，展開(kāi)即得到關(guān)于的方程，解方程即可的答案．【解答】解：（Ⅰ）．（Ⅱ），．（Ⅲ）若與垂直，則，即， 即，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積、模的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（Ⅰ）先結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（Ⅱ）由已知的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（Ⅲ）由已知可轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由，得的最小正周期為．（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，所以．從而．所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2；當(dāng)，即時(shí)，的最小值為．（Ⅲ）由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，，所以若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題．

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