2022北京師大附中高一（下）期中數(shù)    學班級________  姓名________  學號________考生須知1．本試卷有三道大題，共6頁．考試時長120分鐘，滿分150分．2．考生務必將答案填寫在答題紙上，在試卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，考生應將答題紙交回．一、選擇題（每小題4分，共40分，每題均只有一個正確答案）1. 若角的終邊經(jīng)過點，則（    ）A.  B.  C. 2 D. 2. 已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為（    ）A.  B.  C.  D. 3. 已知，，且，則（    ）A. 3 B.  C. 5 D. 94. 要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（    ）A. 向左平移個單位 B. 向右移個單位C. 向左平移個單位 D. 向右平移個單位5. 已知，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 6. “”是“，”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件7. 化簡的結(jié)果為（    ）A.  B.  C.  D. 8. 在銳角中,設,則的大小關(guān)系為A.  B.  C.  D. 9. 設函數(shù)，下列命題中真命題的個數(shù)為（    ）①是奇函數(shù)；②當時，；③是周期函數(shù)；④在無數(shù)個零點；⑤在上單調(diào)遞增A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個10. 在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切圓上，則的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 二、填空題（每小題5分，共25分）11. 已知扇形的圓心角為120°，扇形的面積為，則該扇形所在圓的半徑為________．12. 已知，則________．13. _______.14. 如圖，正方形邊長為3，點是線段的靠近點的一個三等分點，若邊上存在點，使得成立，則的一個符合題意的值為________．15. 聲音是由物體振動而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)（空氣、固體或液體）傳播并能被人的聽覺器官所感知的波動現(xiàn)象．在現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要把兩個不同的聲波進行合成，這種技術(shù)被廣泛運用在樂器的調(diào)音和耳機的主動降噪技術(shù)方面．技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學模型記為，其部分圖象如圖所示，對該聲波進行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由，兩種不同的聲波合成得到的，，的數(shù)學模型分別記為和，滿足．已知，兩種聲波的數(shù)學模型源自于下列四個函數(shù)中的兩個：①；②；③；④．則，兩種聲波的數(shù)學模型分別是________．（填寫序號）
 三、解答題（共6小題，共85分．解答時寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16 已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．（1）若∥，求 的值；（2）若⊥（＋2），求實數(shù)k的值；（3）若與夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．17. 函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中是的一個零點．
 （1）求的最小正周期及解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上最值．18. 據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每月的價格滿足函數(shù)關(guān)系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x為月份.已知3月份該商品的價格首次達到最高，為9萬元，7月份該商品的價格首次達到最低，為5萬元.（1）求f(x)的解析式；（2）求此商品的價格超過8萬元的月份.19. 設函數(shù)，．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求的取值范圍．20. 已知函數(shù)．在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知．（1）求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的最大值．條件①：最小正周期為；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：．21. 己知集合（且），，且．若對任意，，當時，存在，使得，則稱是的元完美子集．（1）判斷下列集合是否是的3元完美子集，并說明理由；①；                             ②；（2）若是的3元完美子集，求的最小值；（3）若是（且）的元完美子集，求證：．
參考答案1. 若角的終邊經(jīng)過點，則（    ）A.  B.  C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)終邊上的點坐標求即可.【詳解】由題設，.故選：D2. 已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】令方格邊長為1，、與水平線夾角為，，由結(jié)合差角正切公式求夾角大小.【詳解】若每個方格邊長為1，、與水平線夾角為，，由圖知：，而，所以，則 .故選：A3. 已知，，且，則（    ）A. 3 B.  C. 5 D. 9【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的性質(zhì)，將所求轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，然后計算可得.【詳解】因為，，且所以所以故選：B4. 要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（    ）A. 向左平移個單位 B. 向右移個單位C. 向左平移個單位 D. 向右平移個單位【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象平移前后解析式判斷平移過程.【詳解】由題設，所以只需把函數(shù)的圖象向右平移個單位.故選：D5. 已知，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】將齊次式由弦化切，即可求值.【詳解】.故選：C6. “”是“，”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】取特值可判斷充分性，利用誘導公式可判斷必要性.【詳解】取，則，又當，時，所以“”是“，”的必要不充分條件.故選：B7. 化簡的結(jié)果為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】應用誘導公式化簡即可得結(jié)果.【詳解】.故選：D8. 在銳角中,設,則的大小關(guān)系為A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】試題分析：在銳角中，．則，所以．故選C．考點：三角恒等變換點評：本題應用公式：9. 設函數(shù)，下列命題中真命題的個數(shù)為（    ）①是奇函數(shù)；②當時，；③是周期函數(shù)；④在無數(shù)個零點；⑤在上單調(diào)遞增A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個【答案】C【解析】【分析】由奇函數(shù)定義驗證可判斷①；根據(jù)x的范圍可得的范圍，可判斷②；考察曲線與曲線系Z，的交點可判斷③④；取特值可判斷⑤.【詳解】因為，R所以，是奇函數(shù)，①正確；當時，，所以，所以，②正確；令，則Z，即Z，記Z，由圖知，曲線與曲線系Z在區(qū)間，，…，內(nèi)的交點個數(shù)逐漸增加且趨于無窮多個，所以原函數(shù)不存在周期，故③錯誤；如圖，曲線與曲線系Z的交點顯然有無數(shù)個，④正確；因為，，且，所以，即，故⑤錯誤.故選：C10. 在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出圓的半徑，由，結(jié)合向量數(shù)量積運算律將的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，即可求出結(jié)論.【詳解】由題意，設到的距離為，則，故，其中，設的夾角為，，當且僅當與反向或同向時取得端點值；綜上，的范圍為.故選：A．二、填空題（每小題5分，共25分）11. 已知扇形的圓心角為120°，扇形的面積為，則該扇形所在圓的半徑為________．【答案】【解析】【分析】令扇形所在圓的半徑為，根據(jù)扇形的面積公式有，即可求.【詳解】由題意，令扇形所在圓的半徑為，則,∴，故.故答案為：12. 已知，則________．【答案】【解析】【分析】把兩邊平方，利用正弦的二倍角公式即可求解.【詳解】將兩邊同時平方得，即，故答案為：.13. _______.【答案】2【解析】【分析】由余弦的二倍角公式降冪，同時用誘導公式化，即可求值．【詳解】．故答案為：2．【點睛】本題考查余弦的二倍角公式和誘導公式，三角函數(shù)求值時一般先化簡再求值，變形時有幾個方面要注意：一是化同次，二次的降冪為一次，二是同角，利用角的拆分化多角為一角或二角，三是同名，用誘導公式化函數(shù)式為同名函數(shù)．14. 如圖，正方形的邊長為3，點是線段的靠近點的一個三等分點，若邊上存在點，使得成立，則的一個符合題意的值為________．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】取基底（或建立平面直角坐標系），設，用基底表示出，根據(jù)x的范圍可求得的范圍，在范圍內(nèi)的任意實數(shù)都可作為答案.詳解】記，由題知，又因為所以因為，所以，即，故答案為：1（答案不唯一，在區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)都滿足.）15. 聲音是由物體振動而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)（空氣、固體或液體）傳播并能被人的聽覺器官所感知的波動現(xiàn)象．在現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要把兩個不同的聲波進行合成，這種技術(shù)被廣泛運用在樂器的調(diào)音和耳機的主動降噪技術(shù)方面．技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學模型記為，其部分圖象如圖所示，對該聲波進行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由，兩種不同的聲波合成得到的，，的數(shù)學模型分別記為和，滿足．已知，兩種聲波的數(shù)學模型源自于下列四個函數(shù)中的兩個：①；②；③；④．則，兩種聲波的數(shù)學模型分別是________．（填寫序號）
 【答案】②③【解析】【分析】由4個函數(shù)的周期和的周期之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖形取特值排除可得.【詳解】因為的周期，的周期，和的周期由圖知，的周期所以或當時，因為由圖知不滿足題意，故故答案為：②③三、解答題（共6小題，共85分．解答時寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16. 已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．（1）若∥，求 的值；（2）若⊥（＋2），求實數(shù)k的值；（3）若與夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）3；    （2）k＝；    （3）k＜且k≠－6.【解析】【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【小問1詳解】解：因為向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．【小問2詳解】解：因為＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．【小問3詳解】解：因為與的夾角是鈍角，則＜0且與不共線．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．17. 函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中是的一個零點．
 （1）求的最小正周期及解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1）,    （2）最大值為2，最小值為-1【解析】【分析】（1）由圖可得A和周期，由周期可得，代最值點坐標可得，然后可得解析式；（2）由x的范圍結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得.【小問1詳解】由圖知，，所以，所以又因為的圖象過點所以，所以Z，得Z，因為，所以所以【小問2詳解】因為，所以所以所以，即所以數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1.18. 據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每月的價格滿足函數(shù)關(guān)系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x為月份.已知3月份該商品的價格首次達到最高，為9萬元，7月份該商品的價格首次達到最低，為5萬元.（1）求f(x)的解析式；（2）求此商品的價格超過8萬元的月份.【答案】（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的價格超過8萬元.【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，由周期求得，再用最高點坐標代入可得，從而得解析式；（2）解不等式2sin＋7>8中在上的整數(shù)解即得．【詳解】解（1）由題意可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝.又，∴，即f(x)＝2sin＋7.(*)又f(x)過點(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，∴sin＝1，∴，k∈Z.又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*).（2）令f(x)＝2sin＋7>8，∴sin>，∴，k∈Z，可得＋8k<x<＋8k，k∈Z.又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4，10，11，12.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的價格超過8萬元.【點睛】本題考查三角函數(shù)的應用，解題關(guān)鍵是根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)解析式．19. 設函數(shù)，．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求的取值范圍．【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）由差角正弦公式、二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性，應用整體法求單調(diào)減區(qū)間；（2）由正弦函數(shù)的對稱軸方程求得對稱軸，，結(jié)合已知條件求的范圍．【小問1詳解】由題設，令，，則，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.【小問2詳解】令，，則，，又對稱軸只有一條落在上，則.20. 已知函數(shù)．在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知．（1）求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的最大值．條件①：最小正周期為；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：．【答案】（1）答案見解析；    （2）.【解析】分析】（1）先對函數(shù)化簡得，根據(jù)所選條件并結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)，得到對應解析式，進而求.（2）由（1）得到的解析式求函數(shù)的增區(qū)間，再根據(jù)題意可求出的最大值【小問1詳解】選①和②，則且，解得，所以，則；選①和③，則，解得，所以，則；選②和③，則且，這樣的不存在.綜上，選①和②；選①和③；選②和③不存.【小問2詳解】選①和②：；選①和③：；均有，得，所以的增區(qū)間為，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以實數(shù)的最大值為.21. 己知集合（且），，且．若對任意，，當時，存在，使得，則稱是的元完美子集．（1）判斷下列集合是否是的3元完美子集，并說明理由；①；                             ②；（2）若是的3元完美子集，求的最小值；（3）若是（且）的元完美子集，求證：．【答案】（1）不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由見解析；    （2）12；    （3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)元完美子集的定義判斷可得結(jié)論；（2）不妨設．由，，分別由定義可求得的最小值；（3）應用反證思想，假設，可知是中個不同的元素，且均屬于集合得到矛盾，進而有任意都有，由此可證結(jié)論.【小問1詳解】①因為，又，所以不是的3元完美子集．②因為，且，而，所以是的3元完美子集．【小問2詳解】不妨設．若，則，，，與3元完美子集矛盾；若，則，，而，符合題意，此時．若，則，于是，，則．綜上，的最小值是12．【小問3詳解】不妨設，存在某個，使得．所以，則是中個不同的元素，且均屬于集合，該集合恰有個不同的元素，顯然矛盾．所以對任意，都有．于是．即．等號成立的條件是且．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，應用反證法，首先假設存在某個使得，推得矛盾結(jié)論，則有任意都有成立，即可證結(jié)論.

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