2022北京昌平高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，0，1，，則　　A．， B．，0， C．， D．，0，1，2．已知命題，，則為　　A．， B．， C．， D．，3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是　　A． B． C． D．4．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　A．0 B．1 C．2 D．35．北京2022年冬奧會新增了女子單人雪車、短道速滑混合團(tuán)體接力、跳臺滑雪混合團(tuán)體、男子自由式滑雪大跳臺、女子自由式滑雪大跳臺、自由式滑雪空中技巧混合團(tuán)體和單板滑雪障礙追逐混合團(tuán)體等7個(gè)比賽小項(xiàng)．現(xiàn)有甲、乙兩名志愿者分別從7個(gè)比賽小項(xiàng)中各任選一項(xiàng)參加志愿服務(wù)工作，且甲、乙兩人的選擇互不影響，那么甲、乙兩名志愿者選擇同一個(gè)比賽小項(xiàng)進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是　　A． B． C． D．6．如圖，四邊形是平行四邊形，則　　A． B． C． D．7．農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗(yàn)田中各抽取6株麥苗測量株高．得到的樣本數(shù)據(jù)如下（單位：甲：9，10，11，12，10，20；乙：8，14，13，10，12，21．根據(jù)所抽取的甲、乙兩種麥苗的株高數(shù)據(jù)．給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是　　A．甲種麥苗樣本株高的平均值大于乙種麥苗樣本株高的平均值 B．甲種麥苗樣本株高的極差小于乙種麥苗樣本株高的極差 C．甲種麥苗樣本株高的分位數(shù)為10 D．甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)大于乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)8．設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．為了鼓勵大家節(jié)約用水，北京市居民用水實(shí)行階梯水價(jià)，其中每戶的戶年用水量與水價(jià)的關(guān)系如表所示：分檔戶年用水量（立方米）水價(jià)（元立方米）第一階梯（含5第二階梯（含7第三階梯260以上9假設(shè)居住在北京的某戶家庭2021年的年用水量為，則該戶家庭2021年應(yīng)繳納的水費(fèi)為　　A．1800元 B．1400元 C．1040元 D．1000元10．已知函數(shù)．給出下面四個(gè)結(jié)論：①的定義域是；②是偶函數(shù)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④的圖像與的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)．其中正確的結(jié)論是　　A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．實(shí)數(shù)的值為 　　．12．某校高中三個(gè)年級共有學(xué)生2000人，其中高一年級有學(xué)生750人，高二年級有學(xué)生650人．為了了解學(xué)生參加整本書閱讀活動的情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為 　　．13．已知，，，則，，的大小關(guān)系是 　　（用“”連接）14．某高中校為了減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高育人質(zhì)量，在全校所有的1000名高中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，了解他們完成作業(yè)所需要的時(shí)間（單位：，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，并將所得的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由圖中數(shù)據(jù)可知　　；估計(jì)全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時(shí)間不少于的人數(shù)為 　　．15．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，給出下列兩個(gè)條件：①（1）；②任取，且，都有恒成立．請寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)，則　　．16．若函數(shù)且．①若，則　　；②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　　．三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，算步或證明過程。17．（13分）設(shè)向量，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若、、，求的值；（Ⅲ）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線．18．（14分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若，求的解集；（Ⅱ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的取值范圍．19．（14分）近年來，手機(jī)逐漸改變了人門的生活方式，已經(jīng)成為了人們生活中的必需品，因此人們對手機(jī)性能的要求也越來越高．為了了解市場上某品牌的甲、乙兩種型號手機(jī)的性能、現(xiàn)從甲、乙兩種型號手機(jī)中各隨機(jī)抽取了6部手機(jī)進(jìn)行性能測評，得到的評分?jǐn)?shù)據(jù)如下（單位：分）甲型號手機(jī)908990889192乙型號手機(jī)889189938594假設(shè)所有手機(jī)性能評分相互獨(dú)立．（Ⅰ）在甲型號手機(jī)樣本中，隨機(jī)抽取1部手機(jī)，求該手機(jī)性能評分不低于90分的概率；（Ⅱ）在甲、乙兩種型號手機(jī)樣本中各抽取1部手機(jī)，求其中恰有1部手扒性能評分不低于90分的概率；（Ⅲ）試判斷甲型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差與乙型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差的大小（只需寫出結(jié)論）．20．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的定義域；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．21．（15分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，如果存在，使得，則稱為的一階不動點(diǎn)；如果存在，使得，且，則稱為的二階周期點(diǎn)．（Ⅰ）分別判斷函數(shù)與是否存在一階不動點(diǎn)；（只需寫出結(jié)論）（Ⅱ）求的一階不動點(diǎn)；（Ⅲ）求的二階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】直接根據(jù)交集的定義即可求解．【解答】解：，，0，1，，則，．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為特稱命題，則命題的否定為：，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．3．【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；為奇函數(shù)，不符合題意；為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】令函數(shù)，則，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象，即可求解．【解答】解：令函數(shù)，則，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，故的零點(diǎn)只有1個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．5．【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．【解答】解：甲、乙兩名志愿者分別從7個(gè)比賽小項(xiàng)中各任選一項(xiàng)參加志愿服務(wù)工作，共有種選法，甲、乙兩名志愿者選擇同一個(gè)比賽小項(xiàng)進(jìn)行志愿服務(wù)工作共有7種選法，所以甲、乙兩名志愿者選擇同一個(gè)比賽小項(xiàng)進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由已知結(jié)合向量加法及減法的平行四邊形法則可求．【解答】解：由題意得，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量加法及減法的平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)，中位數(shù)，極差，分位數(shù)公式，即可求解．【解答】解：對于，，，故甲種麥苗樣本株高的平均值小于乙種麥苗樣本株高的平均值，故錯(cuò)誤，對于，甲種麥苗樣本株高的極差為11，乙種麥苗樣本株高的極差為13，則甲種麥苗樣本株高的極差小于乙種麥苗樣本株高的極差，故正確，對于，甲種麥苗樣本株高從小到大排列為9，10，10，11，12，20，，故甲種麥苗樣本株高的分位數(shù)為12，故錯(cuò)誤，對于，甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)為，乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)為，則甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)小于乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查中位數(shù)，平均數(shù)，極差的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性分別求解相應(yīng)的的范圍，進(jìn)而可判斷．【解答】解：由函數(shù)在上是減函數(shù)可得，此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則，即，在上單調(diào)性不確定，故函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性對參數(shù)的要求，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】用水量，可分兩階梯分別付費(fèi)，列式求解即可．【解答】解：居住在北京的某戶家庭2021年的年用水量為，該戶家庭2021年應(yīng)繳納的水費(fèi)為（元，故選：．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】對于①，由，即可求解，對于②，結(jié)合偶函數(shù)的定義，即可求解，對于③，結(jié)合特殊值法，即可求解，對于④，由題意可得，，即，分類討論，解出的值，即可求解．【解答】解：對于①，，的定義域?yàn)?/span>，故①正確，對于②，，且定義域關(guān)于原點(diǎn)原點(diǎn)對稱，故為偶函數(shù)，故②正確，對于③，，（1），（2），故③錯(cuò)誤，對于④，由題意可得，，即，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得或，綜上所述，的圖像與的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，故④正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可．【解答】解：．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】求出高三年級的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣法原理計(jì)算從中抽取的樣本人數(shù)．【解答】解：高三年級有學(xué)生為人，用分層抽樣法從中抽取容量為20的樣本，應(yīng)抽取高三年級學(xué)生的人數(shù)為：．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13．【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14．【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出中間4個(gè)組對應(yīng)的頻率和，利用頻率和為1，求出，再求出全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時(shí)間不少于的頻率與頻數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，得，解得，全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時(shí)間不少于的頻率為，估計(jì)對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是．故答案為：0.1；50．【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．【分析】依題意，可令，同時(shí)滿足條件①②即可．【解答】解：令，，則（1），滿足①；令，則，，滿足②，故答案為：（不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】（1）直接代入，求值即可，（2）分類討論的值，并求的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，則（4），（2）設(shè)函數(shù)且有最小值，，時(shí)，（2），時(shí)，，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，算步或證明過程。17．【分析】（Ⅰ）利用向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．（Ⅱ）利用向量的數(shù)乘和相等的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．（Ⅲ）利用向量的共線證明即可．【解答】解：（Ⅰ）向量，，，．（Ⅱ），，，，，，，．證明：（Ⅲ），，，，，與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)計(jì)算，向量的共線，屬中檔題．18．【分析】把代入后，結(jié)合二次不等式的求法即可求解；結(jié)合二次方程根的存在條件及已知不等式可求的范圍．【解答】解：若，則，解得，所以的解集，；因?yàn)?/span>有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，所以△且，解得或，又，所以，解得，或，綜上的范圍為或．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次不等式的求解及二次方程的根的存在條件及二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解．令在甲、乙兩種型號手機(jī)樣本中各抽取1部手機(jī)，其中恰有1部手扒性能評分不低于90分的事件為，事件包含兩種情況，分別求出兩種情況的概率，并求和，即可求解．通過觀察表中數(shù)據(jù)可得，相對于甲型號手機(jī)的數(shù)據(jù)，乙型號手機(jī)的數(shù)據(jù)更加分散，即可求解．【解答】解：令在甲型號手機(jī)樣本中，隨機(jī)抽取1部手機(jī)，該手機(jī)性能評分不低于90分的事件為，則（A）．令在甲、乙兩種型號手機(jī)樣本中各抽取1部手機(jī)，其中恰有1部手扒性能評分不低于90分的事件為，事件包含兩種情況，甲低于90分，乙不低于90分或甲不低于90分，乙低于90分，故（B）．乙型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差大于甲型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差，理由如下：通過觀察表中數(shù)據(jù)可得，相對于甲型號手機(jī)的數(shù)據(jù)，乙型號手機(jī)的數(shù)據(jù)更加分散，故乙型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差大于甲型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差．【點(diǎn)評】本題主要考查統(tǒng)計(jì)知識的應(yīng)用，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）由可求得的定義域；（Ⅱ）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義證明即可；（Ⅲ）對于恒成立對于恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的最小值．【解答】解：（Ⅰ），由得，故的定義域?yàn)?/span>；（Ⅱ）為偶函數(shù)．證明：由（Ⅰ）知，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為偶函數(shù)．（Ⅲ）對于恒成立對于恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又為增函數(shù)，所以式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對于恒成立，分離參數(shù)，得對于恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，即．．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的定義域及函數(shù)奇偶性的確定，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與化簡運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）根據(jù)一階不動點(diǎn)的定義直接分別判斷即可；（Ⅱ）根據(jù)一階不動點(diǎn)的定義直接計(jì)算；（Ⅲ）根據(jù)分段函數(shù)寫出，結(jié)合二階周期點(diǎn)的定義判斷．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，，作出與的圖像，如圖所示，兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，所以不存在一階不動點(diǎn)；設(shè)函數(shù)存在一階不動點(diǎn)，即存在，上，使，解得成立，所以存在一階不動點(diǎn)；（Ⅱ）由已知得，解得或，所以的一階不動點(diǎn)為0，；（Ⅲ）由，當(dāng)時(shí)，，，所以，設(shè)，，因?yàn)?/span>，在，上單調(diào)遞減，所以在，上單調(diào)遞減，且，（1），所以在，上只有一個(gè)零點(diǎn)，即在，上只有一個(gè)解，即在，上只有一個(gè)二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，且（2），所以時(shí)，，，令，解得成立，所以方程在上只有一個(gè)解，此時(shí)，所以在上只有一個(gè)二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)，因?yàn)?/span>與，均為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在，上單調(diào)遞減，且（2），（4），所以在，只有一個(gè)零點(diǎn)，即在，上只有一個(gè)解，即在，上只有一個(gè)二階周期點(diǎn)；綜上所述，的二階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．【點(diǎn)評】本題屬于新概念題，考查了學(xué)生的推理能力及分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難點(diǎn)在于根據(jù)定義求解二階周期點(diǎn)，屬于中檔題．

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