2021北京二中高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分，選出符合題目要求的一項）1．已知集合，，，則　　A． B． C． D．，2．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間，上是增函數(shù)的是　　A． B． C． D．3．設(shè)，，，則　　A． B． C． D．4．函數(shù)的值域為　　A．， B．， C．， D．，5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則點的坐標為　　A． B． C． D．6．已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C． D．7．已知，且是第二象限角，那么的終邊在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知是三角形的內(nèi)角，且，則的值為　　A． B． C． D．9．同時具有性質(zhì)：“①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增”的一個函數(shù)可以是　　A． B． C． D．10．設(shè)，則對任意實數(shù)，，是（a）（b）的　　A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到的圖象．若，且，，，則的最大值為　　A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，若對任意，，總存在，使，則實數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C．， D．，，二、填空題13．函數(shù)的最小正周期是 　　，定義域是 　　．14．計算　　．15．已知，則　　．16．已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為　　．17．已知，且，則的值是 　　．18．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是 　　．19．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有取到最大值1，也沒有取到最小值，則的取值范圍為　　三、解答題（共5小題，共67分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）20．（13分）（1）已知角的終邊經(jīng)過點．求的值；（2）已知，且，求的值．21．（13分）設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值及相對應(yīng)的的值．22．（13分）已知函數(shù)的定義域為集合，關(guān)于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．23．（14分）已知二次函數(shù)過點，且當時，函數(shù)取得最小值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．24．（14分）對于集合，定義函數(shù)對于兩個集合，，定義集合△．已知，4，6，8，，，2，4，8，．（Ⅰ）寫出（1）和（1）的值，并用列舉法寫出集合△；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的個數(shù)，求△△的最小值；（Ⅲ）有多少個集合對，滿足，，且△△△△？
參考答案一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分，選出符合題目要求的一項）1．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：集合，，，．故選：．【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)不是奇函數(shù)，故排除；由于函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間，上是增函數(shù)，故滿足題意；由于函數(shù)是奇函數(shù)，又在區(qū)間，上是減函數(shù)，故排除；由于函數(shù)是奇函數(shù)，但不滿足在區(qū)間，上是增函數(shù)，例如當時，函數(shù)無意義，故排除，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題．3．【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值0，1，比較即可得出．【解答】解：由題意可得，，而，所以有，故選：．【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．4．【分析】設(shè)，則函數(shù)化成，其中，．然后根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，即可求出函數(shù)的值域．【解答】解：設(shè)，則，，，當時，；當時，；因此，函數(shù)的值域是，．故選：．【點評】本題給出含有三角函數(shù)式的“類二次”函數(shù)，求函數(shù)的值域，著重考查了三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識，屬于中檔題．5．【分析】由可求，由可求得，由，可求得，從而可求得點的坐標．【解答】解：設(shè)其周期為，由圖象可知，，，，，又的圖象經(jīng)過，，解得；點的坐標為．故選：．【點評】本題考查由的部分圖象確定其解析式，解決的關(guān)鍵是根據(jù)圖象提供的信息確定，，考查學(xué)生讀圖的能力與解決問題的能力，屬于中檔題．6．【分析】把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，結(jié)合圖像即可得解．【解答】解：根據(jù)題意可得，故轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖像的交點，如圖所示， 易知的圖像的兩個交點為和，當過點時，當過點時，所以的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查函數(shù)的零點與方程的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．7．【分析】由已知可解得：和，從而求得的值小于0，故的終邊所在象限可能為3，4象限，的值小于0，故的終邊所在象限可能為2，4象限，進而求解結(jié)論．【解答】解：（法一），且是第二象限角，可解得：，，，，故的終邊所在象限可能為3，4象限；，故的終邊所在象限可能為2，4象限；綜上可知，故的終邊所在象限為第4象限；（法二），且是第二象限角，可解得：，，，，，的終邊所在象限為第4象限；故選：．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，結(jié)合是三角形的內(nèi)角，可得，，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，平方差公式可求的值．【解答】解：因為，兩邊平方，可得，解得，又因為是三角形的內(nèi)角，所以，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，平方差公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由題意根據(jù)三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：由于，當時，，不是最值，故它的圖象不關(guān)于直線對稱，故排除．由于函數(shù)的最小正周期為；當時，，為最大值，故的圖象關(guān)于直線對稱；在區(qū)間上，，，故函數(shù)單調(diào)遞增，故滿足題意．在區(qū)間上，，，故函數(shù)單調(diào)遞減，故不滿足題意．由于函數(shù)的最小正周期是，故排除，故選：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及圖象的對稱性，屬于中檔題．10．【分析】由，知是奇函數(shù)．所以在上是增函數(shù)，可得（a）（b）成立；若（a）（b）則（a）（b）由函數(shù)是增函數(shù)知成立是（a）（b）的充要條件．【解答】解：，的定義域為．是奇函數(shù)在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)可得（a）（b）（a）（b）成立若（a）（b）則（a）（b）由函數(shù)是增函數(shù)知成立是（a）（b）的充要條件．【點評】本題考查充要條件的判斷，解題時要注意單調(diào)性的合理運用．11．【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的最大值，判斷當，時，的取得最大值，從而求得的最大值．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到的圖象．若，則和都取得最大值3，故和相差一個周期的整數(shù)倍．故當，時，的取得最大值．，，的取得最大值為，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】求出兩個函數(shù)的值域，結(jié)合對任意，，總存在，使，等價為的值域是值域的子集，利用數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：對任意，，則，即函數(shù)的值域為，，若對任意，，總存在，使，設(shè)函數(shù)的值域為，則滿足，，即可，當時，函數(shù)為減函數(shù)，則此時，當時，，，①當時，即時，滿足條件，，②當時，此時，要使，成立，則此時當時，，，此時滿足，即，得，綜上或，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的 值域，轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題13．【分析】直接利用正切函數(shù)的周期以及定義域求解即可．【解答】解：函數(shù)的最小正周期是：，因為，解得，，所以函數(shù)的定義域：，．故答案為：；，．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期以及正切函數(shù)的定義域的求法，是基礎(chǔ)題．14．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【解答】解：原式，故答案為：2．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．15．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知可求的值，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可求解．【解答】解：因為，所以，可得，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以求出點，把點代入一次函數(shù)，得出，然后利用不等式的性質(zhì)進行求解．【解答】解：函數(shù)的圖象恒過定點，可得，點在一次函數(shù)的圖象上，，，，，，（當且僅當，時等號成立），故答案為4．【點評】此題主要考查的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查的均值不等式的性質(zhì)，把不等式和函數(shù)聯(lián)系起來進行出題，是一種常見的題型17．【分析】由已知及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，，再利用兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式求解即可．【解答】解：由，且，得，由，，得，故，即，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式在求三角函數(shù)值中的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．【分析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0的限制建立關(guān)于的不等式，可求．【解答】解：令，由題意得，，解得，故答案為：，．【點評】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，要注意界點處真數(shù)大于0，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】利用函數(shù)的周期與余弦函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，求解即可．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有取到最大值1，也沒有取到最小值，可得：或，解得，，．故答案為：，，．【點評】本題考查三角函數(shù)的最值以及函數(shù)的周期的綜合應(yīng)用，是難題．三、解答題（共5小題，共67分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）20．【分析】（1）由題意和三角函數(shù)的定義求出，和的值，即可求解；（2）直接利用同角三角函數(shù)的值的應(yīng)用和和角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知，，，則，所以，，，所以．（2）已知，且，所以，，所以，由于，所以，故．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（1）利用輔助角公式進行化簡，根據(jù)周期公式和對稱軸公式進行計算即可．（2）求出角的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：（1），則最小正周期，由，，得，，即，即函數(shù)的對稱軸方程為，．（2）當時，，則，則當時，即時，函數(shù)取得最大值，最大值，當或，即或時，函數(shù)取得最小值，最小值．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，利用輔助角公式進行化簡，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．22．【分析】（1）利用對數(shù)的真數(shù)大于零可求得集合．（2）對的取值進行分類討論，求出集合，根據(jù)可得出關(guān)于的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可知，解得，集合．（2）由，可得，①當時，則有，解得，即，此時，符合題意，②當時，，不等式的解集為，即，，，解得，③當時，，不等式的解集為或，即或，此時，符合題意，④當時，則有，解得，即，此時，符合題意，⑤當時，，不等式的解集為或，即或，此時，符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【點評】本題主要考查了函數(shù)的定義域，考查了含參數(shù)的一元二次不等式得解法，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．23．【分析】（1）由已知結(jié)合二次函數(shù)取得最值的條件及，可建立關(guān)于，，的方程，可求；（2）結(jié)合已知二次函數(shù)與此時函數(shù)的性質(zhì)可建立關(guān)于的不等式組，解不等式可求的范圍．【解答】解：（1）由題意得，，解得，，，，所以，（2）若，，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，則需滿足，解得，或，所以的范圍為或．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)求解函數(shù)解析式，還考查了不等式的恒成立求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．24．【分析】（Ⅰ）根據(jù)定義直接得答案；（Ⅱ）對于已知集合、，①若且，則△△；②若且，則△△，據(jù)此結(jié)論找出滿足條件的集合，從而求出△△的最小值．（Ⅲ）由，，且△△△△求出集合，所滿足的條件，進而確定集合對的個數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）結(jié)合所給定義知，（1），（1），△，6，10，．（Ⅱ）根據(jù)題意可知：對于集合，，①若且，則△△；②若且，則△△．所以要使△△的值最小，2，4，8一定屬于集合；1，6，10，16是否屬于不影響△△的值，但集合不能含有之外的元素．所以當為集合，6，10，的子集與集合，4，的并集時，△△取到最小值4．所以△△的最小值（Ⅲ）因為△，所以△△．由定義可知：．所以對任意元素，，．所以．所以△△△△．由△△△△知：△△△△．所以△△△△△△△△．所以△△．所以△，即．因為，，所以滿足題意的集合對的個數(shù)為．【點評】該題是一道與集合相關(guān)的信息題，難度較大，高考中很少出現(xiàn)．

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