2023北京十二中高一（上）期末數(shù)    學第一部分  選擇題（共60分）一、選擇題．本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，集合，那么（    ）A.  B.  C.  D. 2. 下列說法正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則3. 已知弧長為的扇形圓心角為，則此扇形的面積為（    ）A.  B.  C.  D. 4. 函數(shù)的零點所在區(qū)間為（    ）A.  B.  C.  D. 5. “”是“”成立的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件6. 若對任意的都有，則的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 7. 函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 8. 若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 9. 設是定義域為偶函數(shù)，且在上單調遞增，設，，，則（    ）A.  B. C.  D. 10. 下列結論中錯誤的是（    ）A. 終邊經過點的角的集合是B. 將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數(shù)是；C. ，，則；D. 若是第三象限角，則是第二象限角．11. 酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上人定為醉酒駕車，某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會以每小時25%的速度減少，那么他至少要經過幾個小時后才能駕車（參考數(shù)據(jù)：，）（    ）A 3 B. 4 C. 5 D. 712. 定義域為的函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，且對任意，有，，則方程實數(shù)根的個數(shù)為（    ）A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027第二部分  非選擇題（共90分）二、填空題．本大題共6小題，每小題5分，共30分．13. ______．14. 函數(shù)的定義域是__________．15. 已知函數(shù)可用列表法表示如下，則的值是______．123 16. 已知，，，為銳角，則的值是______．17. 定義：若存在常數(shù)，使得對定義域內的任意兩個不同的實數(shù)，，均有成立，則稱函數(shù)在定義域上滿足利普希茨條件．已知函數(shù)滿足利普希茨條件，則常數(shù)的可能取值是______．（寫出一個滿足條件的值即可）18. 已知函數(shù)（其中，），，恒成立，且在區(qū)間上單調，給出下列命題：①是偶函數(shù)；②；③是奇數(shù)；④的最大值為3．其中正確的命題有______．三、解答題．本大題共5小題，共60分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．19 已知角終邊上一點．（1）求和的值；（2）求的值．20. 已知函數(shù)，且.（Ⅰ）若，求a的值.（Ⅱ）若在上的最大值與最小值的差為1，求a的值.21. 已知函數(shù)（1）求的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值．22. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明；（3）對于任意，恒成立，求的取值范圍．23. 已知函數(shù)的定義域為，且的圖象連續(xù)不間斷，若函數(shù)滿足：對于給定的實數(shù)且，存在，使得，則稱具有性質．（1）已知函數(shù)，判斷否具有性質，并說明理由；（2）求證：任取，函數(shù)，具有性質；（3）已知函數(shù)，，若具有性質，求的取值范圍．
參考答案第一部分  選擇題（共60分）一、選擇題．本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 【答案】B【解析】【分析】先化簡集合，再根據(jù)集合間的運算關系即可求解.【詳解】，，，.故選：B2. 【答案】B【解析】【分析】利用特殊值判斷A、C，根據(jù)不等式的性質判斷B，利用作差法判斷D.【詳解】對于A：當時，，故A錯誤；對于B：若，，則，故B正確；對于C：當時滿足，但，故C錯誤；對于D：若，，則，．所以，所以，故D錯誤．故選：B．3. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式即可得解.【詳解】解：設扇形的半徑為，因為弧長為的扇形圓心角為，所以，所以，所以此扇形面積為.故選：C.4. 【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)，分別求得區(qū)間端點的函數(shù)值，結合函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理，即可求解.【詳解】函數(shù)，可得函數(shù)在上單調遞增，因為，，，，，所以，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：C.5. 【答案】B【解析】【分析】由題意分別考查充分性和必要性即可求得最終結果.【詳解】當時，一定有，即必要性滿足；當時，其正切值不存在，所以不滿足充分性；所以“”是“”成立的必要不充分條件，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：該題主要考查的是有關充分必要條件的判斷，正確解題的關鍵是要注意正切值不存在的情況.6. 【答案】A【解析】分析】利用基本不等式，可求得最小值，即可求得答案.【詳解】因為，則，當且僅當，即x=1時等號成立，所以，故選：A7. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結合當時函數(shù)值的符號性分析判斷.【詳解】∵，即，∴為偶函數(shù)；又∵當時，則，故，∴；綜上所述：A正確，B、C、D錯誤.故選：A.8. 【答案】C【解析】【分析】對參數(shù)分類討論，結合三個二次的關系可得結果.【詳解】函數(shù)的定義域為等價于恒成立，當時，顯然不恒成立；當時，由，得，綜上，實數(shù)的取值范圍為．故選：C．9. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)指對數(shù)判斷的大小關系，在根據(jù)單調性結合偶函數(shù)的性質分析判斷.【詳解】∵，，∴.又函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調遞增，∴，且在上單調遞減.又，∴.故選：C.10. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的集合的概念以及特征可判斷AC；定義根據(jù)角的概念可判斷B；由象限角的概念可判斷D.【詳解】終邊經過點，則該終邊為第一象限角平分線，即角的集合是，故A正確；將表的分針撥慢10分鐘，則旋轉的角度為，即分針轉過的角的弧度數(shù)是，故B正確；表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線的角的集合，表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線以及坐標軸上的角的集合，即，故C正確；由于為第三象限角，所以，故，所以是第二或第四象限角，故D錯誤；故選：D.11. 【答案】B【解析】【分析】由題意可知經過小時后，體內的酒精含量為，令求出t的取值范圍，即可求出結果．【詳解】解：經過t小時后，體內的酒精含量為：，只需，∴t＞＝＝≈＝3.8，∴他至少要經過4個小時后才能駕車.故選：B．12. 【答案】B【解析】【分析】由于題意可得函數(shù)以4為周期，分，，三種情況討論，把問題轉化函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，作出函數(shù)圖象，結合函數(shù)的周期性即可得解．【詳解】對任意有，得，則函數(shù)以4為周期，由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，又，所以，則函數(shù)的圖象關于對稱．當時，，由得，則，作出與的大致圖象如圖，令，則，而，由圖可知，與在上有個交點；當時，，由得：，令，，得，由上述可知，與在上有個交點，故與在上有個交點，又時，成立，所以方程實數(shù)根的個數(shù)為．故選：B．第二部分  非選擇題（共90分）二、填空題．本大題共6小題，每小題5分，共30分．13. 【答案】3【解析】【分析】利用指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質求解即可．【詳解】．故答案為：3．14. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達式,列出不等式組即可解得其定義域.【詳解】因為函數(shù),所以解得且，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.15. 【答案】3【解析】【分析】根據(jù)表格由內向外求解即可．【詳解】根據(jù)表格可知，∴．故答案為：3．16. 【答案】【解析】【分析】利用平方關系求出及，又，利用兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】因為均為銳角，所以，又，，所以，，所以.故答案為：.17. 【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足利普希茨條件，分離參數(shù)，并化簡，求得常數(shù)的范圍，即可寫出答案．【詳解】當時，單調遞增，由題意，不妨設，則，由，得，因為，所以，所以，所以，所以常數(shù)的取值可以是：1．故答案為：1（答案不唯一）．18. 【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)得到，根據(jù)單調區(qū)間得到，得到或，故③④正確，求得的解析式即可判斷①，由函數(shù)的對稱性可判斷②.【詳解】設的周期為，∵，，∴，， 故，則，，由，則，故，，，當時，，，∵在區(qū)間上單調，∴，故，即，則，故，即，又，，所以或，故③④正確；當時，，，又，則，此時不是偶函數(shù)；當時，，，又，則，此時不是偶函數(shù)，故①錯誤；由題可知是函數(shù)的一條對稱軸，故成立，故②正確.故答案為：②③④.三、解答題．本大題共5小題，共60分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．19. 【答案】（1）    （2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出的值；（2）由誘導公式化簡后求解.小問1詳解】由題意可得，.【小問2詳解】.20. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)，化簡計算，即可得答案.（Ⅱ）若，則為單調遞增函數(shù)，根據(jù)x的范圍，可得的最大值和最小值，結合題意，列出方程，化簡計算，即可求得a值；若，則為單調遞減函數(shù)，根據(jù)x的范圍，可得的最大值和最小值，結合題意，列出方程，化簡計算，即可求得a值，綜合即可得答案.【詳解】（Ⅰ）因為，所以所以，即，解得或（舍）；（Ⅱ）若，則上 為單調遞增函數(shù)，所以的最大值為，最小值為，根據(jù)題意可得，所以，所以，即，解得或（舍）；若，則上 為單調遞減函數(shù)，所以的最大值為，最小值為， 根據(jù)題意可得，所以，所以，即，解得或（舍）綜上，a的值為或.21. 【答案】（1）最小正周期為；單調遞減區(qū)間為，    （2）最大值3；最小值2【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡，由周期公式計算得最小正周期，由三角函數(shù)的性質求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）求出的范圍，然后結合三角函數(shù)的性質即可求得最值．【小問1詳解】．的最小正周期，令，，解得，，的單調遞減區(qū)間為，；【小問2詳解】因為，所以，當，即時，取最大值3；當，即時，取最小值2．22. 【答案】（1）    （2）答案見解析    （3）或．【解析】【分析】（1）由函數(shù)的奇偶性的定義可得結果；（2）利用單調性的定義判斷并證明即可；（3）由的奇偶性和單調性，可得恒成立，令，，由二次函數(shù)的性質分類討論求得的最小值，即可得的取值范圍．【小問1詳解】為奇函數(shù)，且定義域為，則對于任意恒成立，∴ ∴．【小問2詳解】，在定義域上任取，且，則，，又，故，即，因此，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)．【小問3詳解】函數(shù)在定義域上為增函數(shù)．對于任意，恒成立，則，因為在上為增函數(shù)，可得，即恒成立，令，當，即時，在上單調遞增，，則，解得或，又，則；當，即時，在上單調遞減，恒成立，則符合題意；當，即時，，則，解得或，又，則．綜上所述，或．23. 【答案】（1）具有性質，理由見解析    （2）證明見解析    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義可知，即，代入求即可進行判斷；（2）根據(jù)條件驗證時的取值范圍即可；（3）考慮和兩種情況，再用反證法即可求出取值范圍．【小問1詳解】解：具有性質，設，令，則，解得，又，所以具有性質；【小問2詳解】證明：任取，令，則，因為，解得，又，所以，當，時，，即，即任取實數(shù)，都具有性質；【小問3詳解】解：若，取，則且，故，又，，所以具有性質；假設存在使得具有性質，即存在，使得，若，則，，，，若，則，進而，，，，，所以假設不成立，所以． 

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