2021北京八中高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在答題卡上）1．已知集合，0，1，，，則　　A．，0， B．， C．， D．，1，2．化簡(jiǎn)等于　　A． B． C． D．3．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，那么　　A． B． C． D．4．，，，則與的夾角　　A． B． C． D．5．以下函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是　　A． B． C． D．6．，兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示，若，兩人的平均成績(jī)分別是，，觀察莖葉圖，下列結(jié)論正確的是　　A．，比成績(jī)穩(wěn)定 B．，比成績(jī)穩(wěn)定 C．，比成績(jī)穩(wěn)定 D．，比成績(jī)穩(wěn)定7．函數(shù)的圖象是　　A．    B．    C．    D．8．設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，則所在的區(qū)間為　　A． B． C． D．9．已知函數(shù)的定義域是，滿足（2）且對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有成立，那么（2）（4）的值為　　A．1 B．2 C．3 D．410．已知函數(shù)，．若存在2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡的橫線上）11．已知冪函數(shù)為常數(shù)）過點(diǎn)，則　 　．12．設(shè)，向量，，若，則等于　　．13．某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下： 醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04派出的醫(yī)生至少2人的概率　 　．14．已知點(diǎn)、分別在函數(shù)和的圖象上，連接，兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離為　 　．15．如圖，向量，若，則　　．16．已知數(shù)集，，，（其中，，2，，，，若對(duì)任意的，2，，都存在，，使得下列三組向量中恰有一組共線：①向量，與向量，；②向量，與向量，；③向量，與向量，，則稱具有性質(zhì)，例如，2，具有性質(zhì)．（1）若，3，具有性質(zhì)，則的取值為　　（2）若數(shù)集，3，，具有性質(zhì)，則的最大值與最小值之積為　　．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）有一個(gè)問題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，如果兩人都試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，計(jì)算：（1）兩人都未解決的概率；（2）問題得到解決的概率．18．（12分）某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在，兩家餐廳用餐的滿意度，從在，兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分，滿分均為60分．整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：，，，，，，，，，，，，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)，2，3，5，15，40，35（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對(duì)餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)；（Ⅱ）從對(duì)餐廳評(píng)分在，范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人中恰有1人評(píng)分在，范圍內(nèi)的概率；（Ⅲ）如果從，兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說明理由．19．（12分）平面內(nèi)給定三個(gè)向量．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求滿足的實(shí)數(shù)和；（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)．20．（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的范圍；（3）求函數(shù)的值域．21．（12分）已知集合是滿足下列條件的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)．使得（1）成立．（Ⅰ）判斷冪函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)，，若，求的取值范圍．22．（12分）已知是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成的集合：對(duì)任何，（其中為函數(shù)的定義域），均有成立．（Ⅰ）已知函數(shù)，判斷與集合的關(guān)系，并說明理由；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得，，屬于集合？若存在，求的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）對(duì)于實(shí)數(shù)，，用表示集合中定義域?yàn)閰^(qū)間，的函數(shù)的集合，定義：已知是定義在，上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對(duì)區(qū)間，的任意劃分：，和式恒成立，則稱為，上的“絕對(duì)差有界函數(shù)”，其中常數(shù)稱為的“絕對(duì)差上界”， 的最小值稱為的“絕對(duì)差上確界”，符號(hào)．求證：集合中的函數(shù)是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，并求的“絕對(duì)差上確界”．
參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在答題卡上）1．【分析】解求出中的不等式，找出與的交集即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，0，1，，，所以，0，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩個(gè)集合的交集和一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．2．【分析】直接利用向量的加減法求法即可．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜率加減法的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．3．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【解答】解：由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求出與的夾角的余弦值，可得與的夾角．【解答】解：，，，則設(shè)與的夾角為，，，由，求得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷即可．【解答】解：對(duì)于，函數(shù)在遞增，不合題意；對(duì)于，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；對(duì)于，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；對(duì)于，函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減，符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題，是一道基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)，色彩、的成績(jī)，分別計(jì)算二人的平均分，再根據(jù)兩人的成績(jī)分布判斷方差大?。?/span>【解答】解：由莖葉圖知，的成績(jī)?yōu)?/span>81、82、85、94、118，平均成績(jī)?yōu)?/span>92；的成績(jī)?yōu)?/span>88、98、97、104、103，平均成績(jī)?yōu)?/span>98；從莖葉圖上可以看出的數(shù)據(jù)比的數(shù)據(jù)集中，比成績(jī)穩(wěn)定，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用莖葉圖計(jì)算平均數(shù)和方差的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7．【分析】求出函數(shù)的定義域，利用定義域進(jìn)行排除即可．【解答】解：由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，排除，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用定義域是否滿足，結(jié)合排除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8．【分析】由函數(shù)的解析式可得（2），（3），再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【解答】解：是函數(shù)的零點(diǎn)，（2），（3），函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由（4）（2）（2）（2），可得（4），從而得到所求．【解答】解：（4）（2）（2）（2），（4）．（2）（4），故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，求出（4），是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10．【分析】由得，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由得，作出函數(shù)和的圖象如圖：當(dāng)直線的截距，即時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象都有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)與零點(diǎn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡的橫線上）11．【分析】使用待定系數(shù)法求出的解析式．【解答】解：冪函數(shù)為常數(shù)）過點(diǎn)，，解得．．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：設(shè)派出的醫(yī)生至少2人事件，則（A）．故答案為：0.74【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握對(duì)立事件的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)題意，由求出；由求出，作差等于【解答】解：根據(jù)題意，，；又，；、兩點(diǎn)之間的距離為，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化條件，從而求出解答，是基礎(chǔ)題．15．【分析】先將中的所有向量用，，表示，從而求出，的值，即可求出所求．【解答】解：，，即，，，，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義，解題的關(guān)鍵是將所有向量用，，表示，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】（1）由題意可得：與；與；與中恰有一組共線，分別求出相應(yīng)的的值即可；（2）由（1）知，可得，，9，再利用新定義驗(yàn)證，得到，3，，具有性質(zhì)時(shí)的，，，，9，27，同理分別得到，3，，以及，3，9，具有性質(zhì)時(shí)的的值，即可得到的最大值與最小值之積．【解答】解：（1）由題意可得：與；與；與中恰有一組共線，當(dāng)與共線時(shí)，可得，此時(shí)另外兩組不共線，符合題意，當(dāng)與共線時(shí)，可得，此時(shí)另外兩組不共線，符合題意，當(dāng)與共線時(shí)，可得，此時(shí)另外兩組不共線，符合題意，故的取值為：，，9；（2）由（1）的求解方法可得，，9，當(dāng)時(shí)，由數(shù)集，3，，具有性質(zhì)，①若與；與，；與中恰有一組共線，可得，；②若與，；與，；，與中恰有一組共線，可得，；③若與，；與，；，與中恰有一組共線，可得，27；故，3，，具有性質(zhì)可得，，，，9，27；同理當(dāng)時(shí)，，3，，具有性質(zhì)可得，，，，，9；同理當(dāng)時(shí)，可得，，，，，27，81；則的最大值為90，最小值為，故的最大值與最小值之積為．故答案為：（1），，9；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查平面向量共線的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）兩人都試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式能求出兩人都未解決的概率．（2）問題得到解決的對(duì)立事件是兩人都未解決，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出問題得到解決的概率．【解答】解：（1）有一個(gè)問題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，兩人都試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率．（2）問題得到解決的對(duì)立事件是兩人都未解決，問題得到解決的概率．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）由餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)；（Ⅱ）用列舉法求基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值；（Ⅲ）從兩個(gè)餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例分析，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）由餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，得：對(duì)餐廳評(píng)分低于30分的頻率為，所以，對(duì)餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)為；（Ⅱ）對(duì)餐廳評(píng)分在，范圍內(nèi)的有2人，設(shè)為、；對(duì)餐廳評(píng)分在，范圍內(nèi)的有3人，設(shè)為、、；從這5人中隨機(jī)選出2人的選法為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種．其中，恰有1人評(píng)分在，范圍內(nèi)的選法為：，，，，，，，，，，，共6種；故2人中恰有1人評(píng)分在，范圍內(nèi)的概率為；（Ⅲ）從兩個(gè)餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例來看：由（Ⅰ）得，抽樣的100人中，餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)為20，所以，餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例為；餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)為，所以，餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例為；所以會(huì)選擇餐廳用餐．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布表與直方圖的應(yīng)用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是綜合題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得若，必有，求出、的值，即可得答案；（Ⅲ）根據(jù)題意，求出與的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得，求出的值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，向量．則，故；（Ⅱ）若，即，，，，則有，解可得，故，；（Ⅲ）根據(jù)題意，，，若，則，解可得，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)和向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）可看出的定義域?yàn)?/span>，即在原點(diǎn)有定義，并且是奇函數(shù)，從而得出，從而得出；（2）由即可得出，從而求出的范圍；（3）分離常數(shù)得出，根據(jù)即可求出的范圍，即得出的值域．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?/span>；在原點(diǎn)有定義，且是奇函數(shù)；；；；（2）由得：；；（3）；；，；；的值域?yàn)?/span>．【點(diǎn)評(píng)】考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，指數(shù)函數(shù)的值域，分離常數(shù)法的運(yùn)用．21．【分析】（Ⅰ）令（1），解得，判斷是否屬于集合，即可得出結(jié)論．（Ⅱ）根據(jù)題意可得，解得，則（1）在上有解，即，令，則，問題轉(zhuǎn)化為，在上有解，進(jìn)而可得的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），理由如下：令（1），則，即，解得，，均滿足定義域，所以當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，解得，由題知，（1）在上有解，所以，所以，令，則，所以，即，所以，，從而，原問題等價(jià)于或，所以或，又在上恒成立，所以，所以．所以的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．22．【分析】（Ⅰ）利用已知條件，通過任取，，，證明成立，說明屬于集合．（Ⅱ）若，則有，然后可求出當(dāng)，時(shí)，．（Ⅲ）直接利用新定義加以證明，并求出的“絕對(duì)差上確界”的值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，，，則，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以函數(shù)屬于集合．（Ⅱ）若函數(shù)，，屬于集合，則當(dāng)，，時(shí)，恒成立，即，對(duì)，，恒成立，所以，對(duì)，，恒成立，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，即，所以的取值范圍為，．（Ⅲ）取，，則對(duì)區(qū)間，的任意劃分，和式，所以集合中的函數(shù)是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，且的“絕對(duì)差上確界” ．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的新定義，解題中需要一定的閱讀理解能力，屬于中檔題．

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