2021北京八中高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在答題卡上）1．（4分）若，且，則角是　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（4分）已知角終邊經(jīng)過點，，則的值為　　A． B． C．0 D．或3．（4分）若向量，，則與的夾角等于　　A． B． C． D．4．（4分）教室里有一把直尺，無論怎樣放置，地面上總有一直線與該直尺所在的直線保持　　A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．異面5．（4分），，的大小關(guān)系是　　A． B． C． D．6．（4分）使成立的的一個變化區(qū)間是　　A． B．， C．， D．，7．（4分）已知，且，則　　A． B． C． D．8．（4分）函數(shù)（其中，的圖象的一部分如圖所示，則　　A． B． C． D．9．（4分）在銳角中，設(shè)，．則，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．10．（4分）已知，則函數(shù)的值域是　　A．， B．， C．， D．，二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的橫線上）11．（5分）　　．12．（5分）已知，則　　．13．（5分）在中，，，，則的長是　　．14．（5分）已知向量，的夾角為，，，則　　．15．（5分）對于函數(shù)，給出下列四個命題：①函數(shù)為奇函數(shù)；②存在，使；③存在，使恒成立；④存在．使函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；其中正確的命題序號是　　．三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．已知，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若，，求的最大值與最小值．18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面積為，求的周長．19．如圖所示，在正方體中，、、、分別是、、、的中點．求證：（1）；（2）平面；（3）平面平面．20．已知函數(shù)，且滿足_______．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個不同解，求實數(shù)的取值范圍．從①的最大值為1，②的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，③的圖象過點這三個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作答．21．對于定義域分別是，的函數(shù)，，規(guī)定：函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)，，，寫出函數(shù)的解析式并求函數(shù)值域；（Ⅱ）若，其中是常數(shù)，且，，請設(shè)計一個定義域為的函數(shù)及一個的值，使得，并予以證明．
參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在答題卡上）1．【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的符號進行判斷即可．【解答】解：，是第三或第四象限或軸的非正半軸，，是第一或第四象限或軸的非負半軸，綜上是第四象限的角．故選：．【點評】本題主要考查角的象限的確定，根據(jù)三角函數(shù)值的符號關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．【分析】利用三角函數(shù)的定義，求出、，即可得到結(jié)論．【解答】解：角的終邊經(jīng)過點，；，，，，；故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由已知中向量，，我們可以計算出與的坐標(biāo)，代入向量夾角公式即可得到答案．【解答】解：，，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查的知識點是數(shù)量積表示兩個向量的夾角，其中利用公式，是利用向量求夾角的最常用的方法，一定要熟練掌握．4．【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及三垂線定理分析得答案．【解答】解：①直尺所在直線與地面垂直時，地面上的所有直線都與直尺垂直，則底面上存在直線與直尺所在直線垂直；②直尺所在直線與地面不垂直時，直尺所在的直線必在地面上有一條投影線（直尺在底面上時投影線為直尺本身），在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，則地面上總有直線與直尺所在的直線垂直．綜上，直尺無論怎樣放置，在地面總有與直尺所在直線垂直的直線．故選：．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．5．【分析】利用正切函數(shù)在上單調(diào)遞增的性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故選：．【點評】本題考查正切函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解答的基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】在單位圓中畫出角的三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線的大小確定角的范圍．【解答】解：如圖角的正弦線，余弦線分別是，，當(dāng)角的終邊與弧相交時，，此時，不等式的解集為，，．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)線，利用數(shù)形結(jié)合根據(jù)三角函數(shù)線的大小確定角的范圍．7．【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得出．【解答】解：，，，，則，故選：．【點評】本題考查了誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先利用圖象中求得函數(shù)的周期，求得，最后根據(jù)時取最大值，求得，即可得解．【解答】解：如圖根據(jù)函數(shù)的圖象可得：函數(shù)的周期為，又，，當(dāng)時取最大值，即，可得：，，，，，，故選：．【點評】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的運用和圖象觀察能力，屬于基本知識的考查．9．【分析】運用特殊值法，令，代入和的表達式，可分別求得和的值，則二者的大小可知．【解答】解：令，，，．故選：．【點評】考查了兩角和與差的余弦函數(shù)．對于選擇題和填空題來說，用特殊值法有時更便捷．10．【分析】把的表達式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)可解決此題．【解答】解：，，．，，，，．故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)、函數(shù)思想、配方法，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的橫線上）11．【分析】根據(jù)可以得到答案．【解答】解：故答案為：【點評】本題主要考查弧度和角度的互化．12．【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡即可求出的值．【解答】解：將兩邊平方得：，．故答案為：【點評】此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．13．【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式得，由正弦定理得，由此能求出．【解答】解：在中，，，，，解得．故答案為：．【點評】本題考查線段長的求法，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．14．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長即可．【解答】解：【解法一】向量，的夾角為，且，，，．【解法二】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示； 結(jié)合圖形；在中，由余弦定理得，即．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用數(shù)量積求出模長，是基礎(chǔ)題．15．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷①②③④的結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，對于①，函數(shù)，故函數(shù)不為奇函數(shù)，故①錯誤；對于②，由于，由于，所以，故，由于，故②正確；對于③，，所以，故函數(shù)的最小正周期為，由于，所以，所以函數(shù)的周期為，故③錯誤．對于④，存在，，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故④正確；故答案為：②④．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可得解．（Ⅱ）利用倍角公式化簡后，代入即可求值得解．【解答】解：（Ⅰ），，且．，，．（Ⅱ）．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式，倍角公式的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）先結(jié)合二倍角公式，輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式及單調(diào)性可求；（Ⅱ）由的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解．【解答】解：（Ⅰ）；所以，令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（Ⅱ）由，得，所以，，所以，即函數(shù)的值域，．【點評】本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式在三角化簡中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)不為0求出的值，即可確定出的度數(shù)；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出的值，即可求的周長．【解答】解：（Ⅰ）在中，，已知等式利用正弦定理化簡得：，整理得：，即，；（Ⅱ）由余弦定理得，，，，，，的周長為．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）取的中點，連接、，四邊則是平行四邊形，即可證明；（2）取的中點，易證四邊形為平行四邊形，故有，從而證明平面．（3）由正方體得，由四邊形是平行四邊形，可得，可證 平面平面．【解答】證明：（1）取的中點，連接、，四邊則是平行四邊形，．又，．（2）取的中點，連接、，則，．又，，，，四邊形是平行四邊形，．又平面，平面．（3）由（1）知，又，、平面，、平面，且，，平面平面．【點評】本題考查證面面平行、線面平行的方法，直線與平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，取的中點，是解題的突破口．20．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，若滿足①，利用最大值求出的值，寫出的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令求得方程的解，根據(jù)方程在區(qū)間，上有兩個不同解找出這兩個解，從而寫出實數(shù)的取值范圍．若滿足②，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出方程求得的值，以下解法均相同．若滿足③，利用的圖象過點，代入求出的值，以下解法均相同．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)，若滿足①的最大值為1，則，解得，所以；的最小正周期為；（Ⅱ）令，得，解得，；即，；若關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個不同解，則或；所以實數(shù)的取值范圍是，．若滿足②的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，且的最小正周期為，所以，解得；以下解法均相同．若滿足③的圖象過點，則，解得；以下解法均相同．【點評】本題考查了利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解析式問題，也考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．21．【分析】先根據(jù)題意分和討論來求函數(shù)的解析式，進而再求每一段的值域，最后取并集即可得到分段函數(shù)的值域；（Ⅱ）構(gòu)造，求出，進而可證明．【解答】解：，則，當(dāng) 時，；當(dāng) 時，．所以．當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，此時，所以函數(shù)的值域為．（Ⅱ）令，則，于是．【點評】本題考查分段函數(shù)的及其應(yīng)用，考查函數(shù)解析式及其值域的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于難題．

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