第一講　平面向量的概念及其線性運(yùn)算
知識(shí)梳理 · 雙基自測(cè)
知識(shí)點(diǎn)一　向量的有關(guān)概念(1)向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或稱(chēng)______)．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量記作______.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于______個(gè)單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或________的________向量；平行向量又叫________向量．規(guī)定：0與任一向量________.(5)相等向量：長(zhǎng)度________且方向________的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度________且方向________的向量．
知識(shí)點(diǎn)二　向量的線性運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)三　共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使________.
題組一　走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)向量就是有向線段．( )(2)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無(wú)關(guān)．( )(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.( )
3．(必修2P15T3改編)向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量a－b等于( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2
[解析]　由圖可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故選C.
4．(必修2P14例6改編)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
6．(2015·新課標(biāo)2,13,5分)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝______.
考點(diǎn)突破 · 互動(dòng)探究
(1)(多選題)(2023·臨沂模擬)下列命題中的真命題是( )A．若|a|＝|b|，則a＝b
[解析]　(1)A不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同．
C正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.D不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．故選BC.
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．(3)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的；但相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
角度1　向量加、減法的幾何意義 設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則( )A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|
從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.
角度2　向量的線性運(yùn)算
角度3　根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)
平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)考查向量加法或減法的幾何意義．(2)求已知向量的和或差．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；求首尾相連的向量的和用三角形法則．(3)與三角形綜合，求參數(shù)的值．求出向量的和或差，與已知條件中的式子比較，求得參數(shù)．(4)與平行四邊形綜合，研究向量的關(guān)系．畫(huà)出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．
〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是( )A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb
設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．
[分析]　(1)利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí)，首先要證明兩個(gè)非零向量共線，然后再說(shuō)明兩向量有公共點(diǎn)，這時(shí)才能說(shuō)明三點(diǎn)共線；(2)利用共線向量定理求解．
[引申]　本例(2)中，若ka＋b與a＋kb反向，則k＝________；若ka＋b與a＋kb同向，則k＝______.[解析]　由本例可知ka＋b與a＋kb反向時(shí)λ0，從而k＝1.
平面向量共線的判定方法(1)向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．
〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2022·濟(jì)南模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
(2)已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于( )A．a(chǎn) B．b C．c D．0
(2)解法一：∵a＋b與c共線，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c與a共線，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.
名師講壇 · 素養(yǎng)提升
下列命題正確的是( )A．向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa
易錯(cuò)警示——都是零向量“惹的禍”
[解析]　易知ABC錯(cuò)誤．對(duì)于D.∵向量a與b不共線，∴向量a，b，a＋b與a－b均不為零向量．若a＋b與a－b共線，則存在實(shí)數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
在向量的有關(guān)概念中，定義長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且規(guī)定：0與任一向量平行．由于零向量的特殊性，在兩個(gè)向量共線或平行問(wèn)題上，如果不考慮零向量，那么往往會(huì)得到錯(cuò)誤的判斷或結(jié)論．在向量的運(yùn)算中，很多學(xué)生也往往忽視0與0的區(qū)別，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤．
〔變式訓(xùn)練3〕下列敘述正確的是( )A．若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b與a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b的方向相同

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