知識梳理1.向量的有關(guān)概念及表示
微點撥1.注意0與0的區(qū)別,0是一個實數(shù),0是一個向量,且|0|=0.2.單位向量有無數(shù)個,它們的模相等,但方向不一定相等.3.任意一組平行向量都可以平移到同一直線上.
微思考平行向量與平行直線有什么關(guān)系?
提示 平行向量和平行直線是有區(qū)別的,平行直線不包括重合的情況,而平行向量所在直線是可以重合的.換句話說,向量平行,向量所在直線不一定平行,還有可能是同一條直線.
微點撥兩個法則的使用條件不同:三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.
微思考向量加法的三角形法則的推論是什么?
3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使得　　　　　　　　　.?
微點撥1.在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”.若忽視“a≠0”,則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個.
2.證明或判斷三點共線的方法(1)一般來說,要判定A,B,C三點共線,只需看是否存在非零實數(shù)λ,使得
微思考向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0?
提示 (1)若將條件a≠0去掉,即當(dāng)a=0時,顯然a與b共線;(2)當(dāng)a=0時,若b≠0,則不存在實數(shù)λ,使得b=λa,但此時向量a與b共線;(3)當(dāng)a=0時,若b=0,則對任意實數(shù)λ,都有b=λa,與有唯一一個實數(shù)λ矛盾.
3.對于任意兩個向量a,b,都有:(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.
(2)若兩個向量共線,則其方向必定相同或相反.(　　)
(4)若a∥b,b∥c,則a∥c.(　　)
2.(多選)下列關(guān)于向量的結(jié)論,其中正確的選項為(　　)A.若|a|=|b|,則a=b或a=-bB.非零向量a與非零向量b平行,則a與b的方向相同或相反C.起點不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量D.若向量a與b同向,且|a|=|b|,則a>b
答案 BC　解析 |a|=|b|,但a,b方向不能確定,故A錯誤;非零向量a與非零向量b平行,則a與b的方向相同或相反,故B正確;根據(jù)相等向量的定義,知C正確;向量不能比較大小,故D錯誤.故選BC.
3.設(shè)a與b是兩個不共線向量,且向量a+λb與-(b-2a)共線,則λ=　　　　.?
典例突破例1.(多選)給出下列說法,其中不正確的有(　　)A.若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同B.若A,B,C,D是不共線的四點,且 ,則四邊形ABCD為平行四邊形C.a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥bD.已知λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線
解析 A錯誤,兩個向量起點相同,終點相同,則兩個向量相等;但兩個向量相等,不一定有相同的起點和終點;
C錯誤,當(dāng)a∥b且方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件;D錯誤,當(dāng)λ=μ=0時,a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線.故選ACD.
名師點析平面向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)平面向量定義的關(guān)鍵是方向和大小.(2)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.(3)單位向量的關(guān)鍵是長度都是1個單位長度.(4)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.
考向1.平面向量的線性運算典例突破
例2.在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記
A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n
方法總結(jié)平面向量的線性運算的求解策略
考向2.向量加、減運算的幾何意義典例突破
考向3.利用向量的線性運算求參數(shù)典例突破
方法總結(jié)解決與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題,一般是構(gòu)造三角形,利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算,然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
考向1.向量共線典例突破
名師點析向量共線的兩種情況
對點訓(xùn)練5已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c與d共線且方向相反,則實數(shù)λ的值為(　　)
考向2.三點共線典例突破
名師點析三點共線問題的解題技巧

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