專題10 二項(xiàng)式定理常見考題——2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專題復(fù)習(xí)學(xué)案+期末模擬卷（人教A版2019）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題10 二項(xiàng)式定理常見考題
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1、定義
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：
（），
這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．
式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)
2、二項(xiàng)式（a+b）n的展開式的特點(diǎn)：
（1）項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；
（2）二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；
（3）次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；
3、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：
（）
公式特點(diǎn)：
①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
4、二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)
（1）的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：
①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；
②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大．
③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；
④二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，
即．
考點(diǎn)詮釋：
二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別
二項(xiàng)展開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等．
（2）展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）

考點(diǎn)詮釋：
三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開式問題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決．
5、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
（1）求展開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）．
（2）利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和．
（3）利用二項(xiàng)式定理證明整除問題及余數(shù)的求法．
（4）證明有關(guān)的不等式問題．
（5）進(jìn)行近似計(jì)算．
【典型例題】
例1．（2023春·山西忻州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）的個(gè)位數(shù)字為（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】因?yàn)?br /> ，
而個(gè)位數(shù)均為0，
所以的個(gè)位數(shù)字與相同，
而
因?yàn)閭€(gè)位數(shù)均為0，
所以的個(gè)位數(shù)字與相同，
故的個(gè)位數(shù)字為7.
故選：B
例2．（2023·上海·高二專題練習(xí)）被9除所得的余數(shù)為（????）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【解析】由題意可得：，
可知的展開式為，
當(dāng)時(shí)，均可被9整除；
當(dāng)時(shí)，被9除所得的余數(shù)為7；
綜上所述：被9除所得的余數(shù)為7.
故選：D.
例3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，化簡(jiǎn)（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
故，
故選：B.
例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】的展開式的通項(xiàng)，
令得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值3，
故選：B
例5．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（????）
A． B．60 C． D．30
【答案】A
【解析】的展開式中含的項(xiàng)為，
的展開式中含的項(xiàng)為，
的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：A.
例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的展開式中，共有多少項(xiàng)？（????）
A．45 B．36 C．28 D．21
【答案】A
【解析】當(dāng)展開式的項(xiàng)只含有1個(gè)字母時(shí)，有3項(xiàng)，
當(dāng)展開式的項(xiàng)只含有2個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),
當(dāng)展開式的項(xiàng)含有3個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),
所以的展開式共有45項(xiàng)；
故選：A.
例7．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（????）
A．10 B．－10 C．2 D．－2
【答案】C
【解析】的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是由兩個(gè)因式相乘而得到的，
即“第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)乘第二個(gè)因式的一次項(xiàng)”+“第一個(gè)因式的一次項(xiàng)乘第二個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)”，
為，
其系數(shù)為.
故選：C.
例8．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為（????）
A． B．24 C． D．16
【答案】D
【解析】的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為.
故選：D
例9．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）若，則（????）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】令，由
可得
即
故選：C
例10．（2023春·山西太原·高二山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為M，二項(xiàng)式系數(shù)和為N，若，則展開式中有理項(xiàng)共有（????）
A．1項(xiàng) B．2項(xiàng) C．3項(xiàng) D．4項(xiàng)
【答案】C
【解析】二項(xiàng)式系數(shù)和為，
在中，令，得，
由，
二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，則，所以展開式中有理項(xiàng)共有3項(xiàng)，
故選：C
例11．（2023春·山西太原·高二太原五中校考階段練習(xí)）設(shè)，則下列說法正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
B錯(cuò)；
對(duì)于CD選項(xiàng)，，
所以，，
，C對(duì)D錯(cuò).
故選：C.
例12．（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是___________.
【答案】
【解析】由題意可知從題中的6個(gè)因式中，
其中5個(gè)選x，余下的一個(gè)選常數(shù)相乘，即可得到項(xiàng)，
比如都選x，此時(shí)系數(shù)為，
都選x，此時(shí)系數(shù)為，
依此類推，
直到都選x，此時(shí)系數(shù)為，
共6種情況，將這6項(xiàng)合并，即可得，
故含的項(xiàng)的系數(shù)是，
故答案為：
例13．（2023春·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，．則=_______．
【答案】
【解析】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則
所以，則
所以
故答案為：
例14．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）已知，其中，求的值；
（2）設(shè)，求
【解析】（1）由題意，
在中，
設(shè)，
的展開式通項(xiàng)為：，
∴，
即，
∴，解得，
∴，
.
（2）由題意及（1）得，
在中，
兩邊求導(dǎo)得：，
令，
有，
∵二項(xiàng)展開式中，
∴.
例15．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于16.
(1)求展開式的第二項(xiàng)；
(2)若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)等于54，求的值.
【解析】（1）展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于，
由題意得，∴，
∴展開式的第二項(xiàng)為；
（2）由（1）可得，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第三項(xiàng)，
∴，
∴.
例16．（2023春·河北邯鄲·高二校考階段練習(xí)）在的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：
(1)展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和；
(2)展開式中的有理項(xiàng)；
(3)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
【解析】（1）展開式通項(xiàng)為，
則前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，，
又展開項(xiàng)的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，
則有，即，解得或者（舍去）；
故展開式的通項(xiàng)公式為，
令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為．
（2）結(jié)合（1）有，
當(dāng)為整數(shù)時(shí)，為有理項(xiàng)，則，4，8，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以展開式中的有理項(xiàng)為，，．
（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，
因?yàn)?，所以或，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，．
例17．（2023春·江蘇南通·高二海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，
令，則①，
令，則②，
得：，
故.
（2）
所以，
即成立；
當(dāng)時(shí)，則，
故展開式的通項(xiàng)公式為，可得，
故.
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由二項(xiàng)式的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，
則，
其展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，則其該展開式中的系數(shù)是.
故選：A.
2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則（????）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)為，
令可得，
所以二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為，
所以，
所以，
故選：C.
3．（2023春·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（????）
A．70 B． C．16 D．64
【答案】A
【解析】，該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，
二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以常數(shù)項(xiàng)為，
故選：A
4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）被7除的余數(shù)為（????）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【解析】，
因?yàn)?1是7的倍數(shù)，只有最后一項(xiàng)1不能被7整除，故余數(shù)為1，
故選：A．
二、多選題
5．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】令，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，展開式的第項(xiàng)為，
因此，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，顯然展開式的所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)均為負(fù)數(shù)，所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，
因此，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，則，D正確.
故選：ACD
6．（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習(xí)）設(shè)，則下列說法正確的是（????）
A． B．
C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng) D．
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，令得，故A不正確；
對(duì)于B，令得，
而由A知：，因此，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)榈恼归_式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)榈恼归_式中，，
所以，，
因此，，所以，故D正確．
故選：BD.
7．（2023春·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，下列命題中，正確的有（????）
A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為 B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為
C．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為 D．
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故A正確；
對(duì)于B，令，，故B正確；
對(duì)于C，令，則，
兩式相加得展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為，故C正確；
對(duì)于D，令，則，
令，則，
所以，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
8．（2023春·湖北黃岡·高二浠水縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，下列結(jié)論正確的有（????）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因?yàn)椋?br /> 令，則，令，則，
所以，故B錯(cuò)誤；
令，則，故C錯(cuò)誤：
令，則，所以，
通項(xiàng)為，所以，故A正確；
令，
則，
令，得，故D正確.
故選：AD
9．（2023春·山西太原·高二山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由題意，
所以，
所以，故A正確．
令，則，
即為，
令，得，故B正確；
對(duì)于，
令，得，
令，得：，
兩式相加再除以2可得，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于，
令，得，
令，得，
故，故D正確，
故選：ABD
三、填空題
10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是__________.
【答案】14
【解析】的展開式的通項(xiàng)為，
令，則，
令，則，
故的系數(shù)是.
故答案為：14.
11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是________.
【答案】
【解析】的展開式中含的項(xiàng)由以下兩部分相加得到：
①中的二次項(xiàng)乘以中的一次項(xiàng)，即；
②中的三次項(xiàng)乘以中的常數(shù)項(xiàng)－1，
即.
所以的展開式中的系數(shù)是，
故答案為：.
12．（2023春·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.
【答案】
【解析】的展開式通項(xiàng)，
令，得；令，得，
故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：.
13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若在的展開式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則______________．
【答案】12
【解析】設(shè)展開式中第項(xiàng)為，則，
又展開式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，
∴時(shí)，，
∴
故答案為：12
14．（2023春·吉林·高二東北師大附中?？茧A段練習(xí)）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是______．
【答案】
【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，
令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為，
故答案為：．
15．（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為20，則其中系數(shù)最大的項(xiàng)是__________.
【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),
【解析】由通項(xiàng)可得，令，解得，
則，；
當(dāng)時(shí)，,其中系數(shù)最大的項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，，其中系數(shù)最大的項(xiàng)為.
故答案為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),
16．（2023春·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為__________.
【答案】
【解析】展開式的通項(xiàng)為.
令，則，展開式的通項(xiàng)為，令，
則的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：
17．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是______．
【答案】
【解析】
因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，
又因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，
則，
令，則，，，
所以當(dāng)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為，
當(dāng)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為，
當(dāng)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為，
當(dāng)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為，
所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是.
故答案為：
18．（2023春·河北邯鄲·高二?？计谥校┑恼归_式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．
【答案】
【解析】，
的展開式的通項(xiàng)為．
令，則，．
令，則，，
故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．
故答案為：
四、解答題
19．（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）若，其中為實(shí)數(shù).
(1)求；
(2)求的值.
【解析】（1）由題意可得，
那么其展開式通項(xiàng)為，令r=3代入，
故.
（2）令,則，
又令，則,
兩式相減，則，
所以.
20．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于二項(xiàng)式：
(1)若展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；
(2)若展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式的中間項(xiàng).
【解析】（1）因?yàn)檎归_式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
所以，解得，
則展開式通項(xiàng)為
，
令，解得，代入通項(xiàng)有：
，所以的系數(shù)為；
（2）二項(xiàng)式通項(xiàng)為：
，
所以第一項(xiàng)的系數(shù)為：，第二項(xiàng)的系數(shù)為：，
第三項(xiàng)的系數(shù)為：，由于前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，
所以，解得，或，
因?yàn)橹辽儆星叭?xiàng)，所以（舍），故，
所以展開式有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)為.
21．（2023春·河南三門峽·高二靈寶市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中，其前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于56.
(1)求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；
(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
【解析】（1）前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，
解得或-11（舍去），
中，展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為；
（2）的展開式通項(xiàng)公式為，
令得，故.
22．（2023春·山西忻州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知（n為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式．
(1)若，求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和；
(2)若，求展開式中的無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；
(3)若，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
【解析】（1）由可得，
令可得，
所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729；
（2）若，則，解得，或舍去，
設(shè)的通項(xiàng)為，
且，
所以當(dāng)時(shí)可得展開式中的無理項(xiàng)，所以共有15個(gè)無理項(xiàng)；
（3）設(shè)的通項(xiàng)為，
且，
則，解得，
，，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為和．
23．（2023春·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的值．
【解析】（1）令，有
所在的項(xiàng)為，
得，即，解得.
（2）由（1）可知，

對(duì)照系數(shù)知，.
令，得，令，得
故.
24．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中.
(1)求第三項(xiàng)的系數(shù)；
(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？
(3)求系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最小的項(xiàng).
【解析】（1）的展開式的通項(xiàng)為，
則，
所以第三項(xiàng)的系數(shù)為；
（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，
則，即，解得
所以或，
故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)；
（3）由（2）知，展開式中的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)的系數(shù)為正，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為，
系數(shù)最小的項(xiàng)為.
25．（2023春·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)比為．
(1)求n的值及展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)；
(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？
【解析】（1）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為．
因?yàn)榈?項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)比為，所以，
化簡(jiǎn)得，解得，所以．
令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為第17項(xiàng)．
（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，則，
解得．
因?yàn)?，所以或，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng)和第8項(xiàng)．
26．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且.
(1)求的值
(2)求展開式中的奇次項(xiàng)系數(shù)之和
(3)求的值
【解析】（1）令得，
令得：，因?yàn)橹许?xiàng)為，所以，
所以，解得；
（2）取得，
取得
兩式相減得，所以；
（3）令，
，
令得
27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求證：
(1)能被7整除；
(2)能被64整除．
【解析】（1）,
易知除以外各項(xiàng)都能被7整除．
又顯然能被7整除，
所以能被7整除．
（2）是64的倍數(shù)，
故原式可被64整除．
28．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理證明()能被25整除.
【解析】因?yàn)?br /> ，
所以，
當(dāng)時(shí)，能被25整除；
當(dāng)時(shí)，能被25整除；
所以，當(dāng)時(shí)能被25整除.
29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列各數(shù)的近似值（精確到0.001）：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由二項(xiàng)式定理展開式得

由于精確到0.001，所以
（2）由二項(xiàng)式定理展開式得，
由于精確到0.001，所以

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