第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用．本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述． 一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2) 當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3) 當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)： (1)   (2)   (3) 解：(1) ，∴ 原方程有兩個不相等的實數(shù)根． (2) 原方程可化為：    ，∴ 原方程有兩個相等的實數(shù)根． (3) 原方程可化為：    ，∴ 原方程沒有實數(shù)根．說明：在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．練：說出下列各方程的根的情況（1）    （2）    （3）【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根；   (2) 方程有兩個相等的實數(shù)根 (3)方程有實數(shù)根；      (4) 方程無實數(shù)根．解： (1) ；  (2) ； (3) ；  (4) ．二、一元二次方程的根解法進(jìn)一步地，在一元二次方程有實數(shù)根的前提下，該實數(shù)根具體是多？這就涉及到一元二次方程的根的求法解法一（因式分解法）若可分解為，那么由可得從而得到或【典例】解一元二次方程解：原方程可化為  故練：解一元二次方程（1） （2） （3）解法二（配方法）一元二次方程，用配方法將其變形為：兩邊開方即可得到方程的根【典例】解一元二次方程解：原方程可化為  即  故 從而 即練：解一元二次方程（1） （2） （3）解法三（公式法）對于一元二次方程，(1) 當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2) 當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：【典例】解一元二次方程解：由所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根所以即練：解一元二次方程（1） （2） （3）三、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一元二次方程的兩個根為： 所以：，   定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是．【例3】若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計算．這里，可以利用韋達(dá)定理來解答．解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，，，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．練：若是方程的兩個根，試求下列各式的值（1）            （2）        (3) ； (3) ；      (4) ；  (5)      A    組1．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是( ) A．  B． C．   D．2．若是方程的兩個根，則的值為( ) A．   B．    C．    D．3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于( ) A．   B．    C．   D．4．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A．  B．   C．   D．大小關(guān)系不能確定5．若實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為( ) A．   B．    C．   D．6．如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 ______ 7．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _______ ．8．若方程的兩根之差為1，則的值是 _____ ．9．設(shè)是方程的兩實根，是關(guān)于的方程的兩實根，則= _____ ，= _____ ．10．已知實數(shù)滿足，則= _____ ，= _____ ，= _____ ．11．對于二次三項式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實數(shù)，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請您說明理由．12．若，關(guān)于的方程有兩個相等的的正實數(shù)根，求的值．13．已知關(guān)于的一元二次方程． (1) 求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； (2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值．14．已知關(guān)于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長． (1) 取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？ (2) 當(dāng)矩形的對角線長是時，求的值． B    組1．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根． (1) 求的取值范圍； (2) 是否存在實數(shù)，使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由．2．已知關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于11．求證：關(guān)于的方程有實數(shù)根．3．若是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于1． (1) 求實數(shù)的取值范圍； (2) 若，求的值．             第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案 A組1． B 2． A 3．A 4．A 5．A6．7． 3  8． 9或   9．10．   11．正確   12．413．14． B組1．  (2) 不存在2． (1)當(dāng)時，方程為，有實根；(2) 當(dāng)時，也有實根．3．(1)  ； (2) ． 

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